《直線和圓的方程》教學(xué)分析和教學(xué)建議

人教A版高中數(shù)學(xué)新課標教材選擇性必修（第一冊）第二章直線和圓的方程的教材分析與教學(xué)建議一、本章教材的內(nèi)容結(jié)構(gòu)直線和圓是平面幾何中已經(jīng)研究過的問題，把它們作為解析幾何開始階段的研究對象，通過建立直線和圓的方程，研究與它們的問題.本章在平面直角坐標系中探究確定直線、圓的幾何要素，并利用坐標表示這些幾何元素，進而得到直線、圓上的點的坐標所滿足的關(guān)系式，建立直線的方程、圓的方程；通過它們的方程，用代數(shù)方法研究有關(guān)幾何問題，包括兩直線的位置關(guān)系，兩直線的交點坐標，兩點間的距離、點到直線間的距離、兩平行線間的距離，以及直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等.二、本章教材在整冊教材及高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用解析幾何是17世紀法國數(shù)學(xué)家笛卡兒和費馬創(chuàng)立的，它的基本內(nèi)涵和方法是：通過坐標系，把幾何的基本元素——點和代數(shù)的基本元素——數(shù)（有序數(shù)對或數(shù)組）對應(yīng)起來，在此基礎(chǔ)上建立曲線（點的軌跡）的方程.從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再通過代數(shù)問題研究幾何圖形的性質(zhì)。解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個里程碑，數(shù)學(xué)從此進入變量數(shù)學(xué)時期，它為微積分的創(chuàng)建奠定了基礎(chǔ)。在以往的幾何學(xué)習(xí)中，我們常常通過直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法研究幾何圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，也就是通常說的綜合法.本章采用坐標研究幾何圖形的性質(zhì)，可以使學(xué)生體會解析幾何方法的特點，感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想.本章是在學(xué)習(xí)了平面向量的基礎(chǔ)上，以向量為主要工具之一，利用坐標法來研究直線和圓有關(guān)的幾何問題。通過坐標系，把點和坐標、曲線和方程等聯(lián)系起來，達到了形和數(shù)的結(jié)合，蘊含了對應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想。本章在一定程度上綜合地運用了一些三角知識、平面幾何知識、平面向量知識等。直線和圓的方程是最基本的曲線方程，是后繼學(xué)習(xí)圓錐曲線及其它曲線方程的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)、微分、積分等知識的基礎(chǔ)。三、本章教材的課程標準及課程目標分析本章的研究對象是直線與圓。根據(jù)課標要求，通過本單元的學(xué)習(xí)使學(xué)生在平面直角坐標系中認識直線和圓的幾何特征.在此基礎(chǔ)上，建立它們的標準方程，并用代數(shù)方法進一步認識它們的位置關(guān)系，運用平面解析幾何方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題，感悟平面解析幾何蘊含的數(shù)學(xué)思想.“確定幾何要素（或特征）代數(shù)刻畫檢驗完備性建立方程應(yīng)用”的研究路徑.在此基礎(chǔ)上，可以進一步研究它們的位置關(guān)系，通過直觀定性認知代數(shù)定量刻畫應(yīng)用的研究路徑，在比較中體會坐標法的特點以及它在研究平面解析幾何問題的普適性和重要性.鏈接高考鏈接高考——2021年全國新課標Ⅰ卷（山東卷）11.——2022年全國新課標Ⅰ卷（山東卷）11.——2022年全國新課標Ⅰ卷（山東卷）14.——2021年全國新課標Ⅰ卷（山東卷）21.——2023年全國新課標Ⅰ卷（山東卷）6.四、本章的教學(xué)建議（一）課時分配，本章教學(xué)時間共計約需16課時章節(jié)主題建議課時2.1直線的傾斜角與斜率

2課時直線的方程

3課時直線的交點坐標與距離公式4課時圓的方程2課時直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系3課時小結(jié)小結(jié)2課時（二）重難點突破及其策略（二）重難點突破及其策略本章重點：直線的方程、圓的方程，以及運用它們研究兩條直線的位置關(guān)系、交點坐標、點到直線的距離，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等.本章難點：用向量方法推導(dǎo)點到直線的距離公式，以及對直線與直線的方程,圓與圓的方程之間關(guān)系的認識,理解有關(guān)應(yīng)用.“曲線的方程”與“方程的曲線”的理解第一，要特別重視點斜式方程的教學(xué)，這里的關(guān)鍵是要加強對“在平面直角坐標系中，給定一個點P0(x0,y0)和斜率k,就能唯一確定一條直線”的幾何意義、代數(shù)意義的.第二，在求出直線的方程后，要“通過直線上任意一點的坐標都滿足方程（純粹性），且以方程的解為坐標的點都在直線上（完備性）”，再一次引導(dǎo)學(xué)生認識“唯一確定”的含義.2.注重引導(dǎo)學(xué)生對基礎(chǔ)公式的推導(dǎo)，加深對公式的理解（1）在點到直線距離公式的推導(dǎo)過程中，運用坐標法求點到直線的距離，計算思路與方法容易得到，但運算難度較大；用向量方法推導(dǎo)點到直線的距離公式，將幾何元素“向量化”并以投影向量為紐帶，通過向量運算，可以非常簡捷地推導(dǎo)出公式.通過不同的推導(dǎo)方法，討論、對比、優(yōu)化、反思，可以使學(xué)生用聯(lián)系的觀點看待問題，加深對公式本質(zhì)的認識及其蘊含的思想方法，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).“坐標法”中的應(yīng)用將實際問題坐標化是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點，為了突破這一難點，先通過問題引導(dǎo)學(xué)生思考如何根據(jù)問題的條件建立適當?shù)淖鴺讼担瑢栴}代數(shù)化.用坐標法解決實際問題的基本步驟，得出“三步曲”.第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担米鴺撕头匠瘫硎締栴}中的幾何要素，如點、直線、圓，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.（三）教法、學(xué)法建議1.抓住一切機會滲透解析幾何的基本思想.首先，要注重章引言的學(xué)習(xí)，發(fā)揮章引言的先行組織者作用，使學(xué)生形成對坐標法思想的宏觀認識.其次，緊緊圍繞坐標法，在每一個具體問題的研究過程中，都強調(diào)“先用幾何眼光觀察再用代數(shù)方法解決”，引導(dǎo)學(xué)生明確問題的幾何意義、涉及的幾何元素和幾何關(guān)系，再用坐標法的語言進行轉(zhuǎn)化，得出問題的代數(shù)表達，在此基礎(chǔ)上進入代數(shù)運算求解.2.注重全面調(diào)動已有知識，特別是與三角函數(shù)、平面向量等知識的聯(lián)系，在建立相關(guān)知識的聯(lián)系中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.直線斜率的定義、判定兩直線垂直的充要條件，點到直線的距離、以及解決一些與圓有關(guān)的簡單問題，圓的參數(shù)方程的推導(dǎo)，都用到了平面向量、三角函數(shù)的有關(guān)知識。運用坐標法通過代數(shù)運算解決幾何問題過程程序化，但在具體操作過程中難免會遇到運算復(fù)雜的情況，簡化運算的一個基本途徑是調(diào)動已有的幾何知識，數(shù)形結(jié)合地解決問題，這也是強調(diào)“先用幾何眼光觀察、再用代數(shù)方法解決”的坐標法思想的體現(xiàn).“曲線和方程”的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生在一般觀念引領(lǐng)下構(gòu)建和把握曲線方程的整體結(jié)構(gòu).曲線與方程之間一一對應(yīng)的關(guān)系是解析幾何的基石.雖然教科書正文中沒有明確提出曲線與方程的關(guān)系，但是兩者的對應(yīng)關(guān)系在直線的點斜式方程、圓的標準方程的建立過程中有所體現(xiàn).從大的范圍看,曲線與方程之間的一一對應(yīng)反映了數(shù)量關(guān)系與空間形式之間的關(guān)系.有了這種關(guān)系，就可以用方程表示曲線，對曲線進行“運算”；建立方程的幾何直觀表達，把方程“形象化”，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.4.在教學(xué)中滲透分類討論思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.直線傾斜角的定義、直線斜率的定義、如何用直線的點斜式和斜截式設(shè)直線方程、過圓外一點求圓的切線方程的注意事項、由截距相等設(shè)直線的截距式方程時的注意事項、用斜率就要討論斜率等.5.充分注意各種曲線線方程的“個性”，歸納“共性”，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性.每一種曲線方程都有自己的特殊意義，反映了確定曲線位置的特殊條件.直線的方程都是二元一次方程，圓的方程都是二元二次方程，進而可以拓展到圓錐曲線的方程也是二元二次方程.在直線各種形式的方程中，當斜率存在或表達式有意義時，一般式方程與其他形式的方程可以互化.圓的一般方程與標準方程雖然形式不同，但本質(zhì)上是一致的，兩者形式之間可以互相轉(zhuǎn)化.6.在求軌跡方程時，注意步驟的嚴謹性和完整性.以建立曲線方程的一般步驟為指導(dǎo)提出問題,以坐標法思想統(tǒng)領(lǐng)整個研究過程，讓學(xué)生經(jīng)歷求曲線方程的完整過程.7.加強與綜合法、向量方法的比較，使學(xué)生體會坐標法的特點.綜合法是不借助其他教學(xué)工具，用邏輯推理的方法，通過抽象思維解決問題；坐標法以平面直角坐標系為媒介，用方程表示直線與圓，通過代數(shù)運算解決幾何問題，具有程序性；向量方法以向量為工具，發(fā)揮向量集數(shù)與形于一身的優(yōu)勢，用向量及其運算來表示幾何元素及其關(guān)系，再通過向量運算得出結(jié)果.在完成本章的學(xué)習(xí)后，學(xué)生自主回顧包括基礎(chǔ)知識、思想方法、研究路徑等方面內(nèi)容，回答課本101頁的9個問題，對本章進行梳理總結(jié)，已達到對本章基本知識、思想的融會貫通，基本技能、方法的靈活運用，提高求解與直線、圓有關(guān)的問題的能力.9.設(shè)計專題訓(xùn)練，結(jié)合解題過程，加強方法的總結(jié)，落實解題技能.以課本復(fù)習(xí)參考題2的第16題為例，以習(xí)題結(jié)合變式的方式，通過不同方法的比較讓學(xué)生理解，借助于幾何關(guān)系，特別是垂徑定理，可以使得代數(shù)計算得到簡化，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法.題，讓學(xué)生理解這些問題求解依據(jù)的一致性，又通過追問讓學(xué)生看到只要突破了點關(guān)于直線對稱，即可破解其它對稱問題.培養(yǎng)學(xué)生抓核心概念，讓學(xué)生充分理解一個新的問題可以歸結(jié)為舊的、已解決的問題，在梳理的過程中提升學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸素養(yǎng).發(fā)展學(xué)生分析問題、解決問題的能力和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).以復(fù)習(xí)參考題2第20題為例，解決了兩個問題，一是直線恒過定點的問題，二是與圓有關(guān)的最值問題，并且解決了其它與圓有關(guān)的最值問題.可以看出它們反映出的共性是：用坐標法解決問題，建立在幾何直觀基礎(chǔ)上的運算是有效解題的關(guān)鍵.17.已知0<x<1，0<y<1.求證：并求使等式成立的條件；說明上述不等式的幾何意義．以習(xí)題2.3第17為例，幫助學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想的另一個方面，代數(shù)表達式的幾何直觀，這是數(shù)形結(jié)合的重要方面，在處理某些代數(shù)問題時，利用幾何直觀，發(fā)揮圖形的功能，有助于代數(shù)問題的解決.這些專題全部基于教科書中的題目，并進行引申、拓展.使學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合一方面是幾何圖形的代數(shù)表達，另一方面是代數(shù)表達式的幾何直觀，這是數(shù)形結(jié)合的兩個方面，兩者都不可或缺.而且始終貫穿一種觀念：用坐標法解決問題，建立在幾何直觀基礎(chǔ)上的運算是有效解題的關(guān)鍵，運算具有“數(shù)形結(jié)合”的特點，不僅僅是代數(shù)運算.這個過程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)和提出問題，從解決問題的過程中感受數(shù)學(xué)的魅力.“書寫規(guī)范、運算準確、過程完整”的要求、為下一步學(xué)習(xí)圓錐曲線打下基礎(chǔ).（一）大單元教學(xué)設(shè)計實施框架單元整體教學(xué)主要指的是教師從《直線和圓的方程》整個一章出發(fā)，綜合使用各種教學(xué)方式來讓學(xué)生完整的掌握本章內(nèi)容，有利于對教學(xué)內(nèi)容進行整合，也有利于幫助學(xué)生構(gòu)建本章的知識結(jié)構(gòu)體系，讓學(xué)生能夠?qū)@一單元知識形成一個較為完整的理解和把握。（二）大單元教學(xué)設(shè)計理念1.有機整合幾何知識：將直線與圓的方程與其他相關(guān)的幾何知識點進行整合，比如點與直線的關(guān)系、直線與平面的關(guān)系等，幫助學(xué)生建立全面的幾何知識體系。通過對不同幾何知識點的聯(lián)系和區(qū)別進行比較和分析，促進學(xué)生綜合思維的發(fā)展。2.引導(dǎo)學(xué)生跨越思維：通過引導(dǎo)學(xué)生分析和解決一些相對復(fù)雜的問題，幫助他們跨越不同幾何知識點之間的思維鴻溝。3.提供綜合運用的練習(xí)和問題：設(shè)計綜合性的練習(xí)和問題，讓學(xué)生運用所學(xué)的直線與圓的方程知識來解決實際問題。這些練習(xí)和問題可以涉及到實際生活中的應(yīng)用場景，也可以涉及到其他學(xué)科領(lǐng)域的知識點，幫助學(xué)生將所學(xué)的知識與實際應(yīng)用相結(jié)合，培養(yǎng)問題解決能力。（三）確定大單元教學(xué)目標大單元教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)發(fā)展核心素養(yǎng)的要求：教師要準確理解核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及相互關(guān)系，根據(jù)課程目標、內(nèi)容要求和學(xué)業(yè)要求等制訂大單元目標，將培養(yǎng)核心素養(yǎng)的要求具體化，體現(xiàn)核心素養(yǎng)的綜合性、發(fā)展性和實踐性等特點。大單元目標應(yīng)體現(xiàn)核心素養(yǎng)的綜合性、發(fā)展性和實踐性。崔允漷：“教學(xué)‘有效’的唯一證據(jù)在于目標的達成，在于學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的質(zhì)量，在于何以證明學(xué)生學(xué)會了什么?！贝髥卧繕撕蛯W(xué)業(yè)要求：大單元目標是學(xué)生應(yīng)當知道、理解或能夠做的事情，它是完成某項學(xué)習(xí)活動或?qū)W習(xí)任務(wù)的結(jié)果；學(xué)業(yè)質(zhì)量是根據(jù)學(xué)生目標達成的依據(jù)即學(xué)習(xí)成果（產(chǎn)品、行為、過程），標明其表現(xiàn)程度或質(zhì)量標準的評估方案。（四）探究大單元教學(xué)實施策略1.提升學(xué)生參與探討的興趣在教學(xué)中，教師要想幫助學(xué)生更快速地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，就要與實際相關(guān)聯(lián)，使教學(xué)設(shè)計層層遞進，由淺入深，并給學(xué)生充分的探究空間，以達到促進學(xué)生全身心參與其中的目的.2.小組合作，提升學(xué)生的探究能力在教學(xué)中，保證學(xué)生能夠?qū)Α按髥卧痹O(shè)計的問題進行探究和實踐的同時，提升學(xué)生的合作能力.教師引導(dǎo)學(xué)生分組、共同協(xié)作解決問題在這個過程中就顯得尤為重要.學(xué)生分組能夠更好地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，能夠統(tǒng)合聯(lián)系出高中數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的脈絡(luò)，提高對高中數(shù)學(xué)知識體系的探究能力，從而發(fā)揮“大單元”設(shè)計在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用.3.增加實踐活動設(shè)計，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力如何把數(shù)學(xué)知識運用到實踐活動中去？教師合理地設(shè)計課堂教學(xué)內(nèi)容和層次可以幫助學(xué)生從生活實際出發(fā)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而掌握新的數(shù)學(xué)知識，這樣才能夠有效形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力得到提升.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》給出普通高中數(shù)學(xué)課程目標為：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”）；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)分析等數(shù)學(xué)核心素