軸對稱最值問題專項(xiàng)提升附答案

...wd......wd......wd...授課教案學(xué)員姓名：________________學(xué)員年級：________________授課教師：_________________所授科目：_________上課時(shí)間：______年____月____日〔～〕；共_____課時(shí)〔以上信息請教師用正楷字手寫〕軸對稱最值問題專項(xiàng)提升【知識點(diǎn)】最短路徑兩點(diǎn)之間，線段最短例：四邊形ABCD中，BAD=，B=D=,在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使AMN周長最小，則AMN+ANM的度數(shù)是〔〕A.B.C.D.例：如圖，P，Q分別為ABC的邊AB，AC上的定點(diǎn),在BC上求作一點(diǎn)M，使PQM周長最小。一．解答題〔共6小題〕1．：如以以下圖，M〔3，2〕，N〔1，﹣1〕．點(diǎn)P在y軸上使PM+PN最短，求P點(diǎn)坐標(biāo)．2．如圖，△ABC的邊AB、AC上分別有定點(diǎn)M、N，請?jiān)贐C邊上找一點(diǎn)P，使得△PMN的周長最短．保存作圖痕跡〕3．如圖△ABC是邊長為2的等邊三角形，D是AB邊的中點(diǎn)，P是BC邊上的動點(diǎn)，Q是AC邊上的動點(diǎn)，當(dāng)P、Q的位置在何處時(shí)，才能使△DPQ的周長最小并求出這個(gè)最值．4．如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10，OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一定點(diǎn)R．假設(shè)△PQR周長最小，求它的最小值．5．如圖，A、B是銳角α的OM邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，P在ON邊上運(yùn)動．問P點(diǎn)在什么位置時(shí)，PA2+PB2的值最小6．如圖，兩個(gè)生物制藥廠A與B座落于運(yùn)河河岸的同一側(cè)．工廠A和B距離河岸l分別為4千米和2千米，兩個(gè)工廠的距離為6千米．現(xiàn)要在運(yùn)河的工廠一側(cè)造一點(diǎn)C，在C處擬設(shè)立一個(gè)貨物運(yùn)輸中轉(zhuǎn)站，并建設(shè)直線輸送帶分別到兩個(gè)工廠和河岸，使直線運(yùn)送帶總長最小．如圖建設(shè)直角坐標(biāo)系．〔1〕如果要求貨物運(yùn)動中轉(zhuǎn)站C距離河岸l為a千米〔a為一個(gè)給定的數(shù)，0≤a≤2〕，求C點(diǎn)設(shè)在何處時(shí)，直線輸送帶總長S最小，并給出S關(guān)于a的表達(dá)式．〔2〕在0≤a≤2范圍內(nèi)，a取何值時(shí)直線輸送帶總長最小，并求其最小值．2014年09月09日752444625的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．解答題〔共6小題〕1．：如以以下圖，M〔3，2〕，N〔1，﹣1〕．點(diǎn)P在y軸上使PM+PN最短，求P點(diǎn)坐標(biāo)．考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：找出點(diǎn)N關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接M與對稱點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為P點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短得到此時(shí)點(diǎn)P在y軸上，且能使PM+PN最短．根據(jù)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的特點(diǎn)，找出N對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線MP的方程，把N的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)和M的坐標(biāo)代入即可確定出直線MP的方程，然后令x=0求出直線與y軸的交點(diǎn)，寫出交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)P的坐標(biāo)．解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，找出點(diǎn)N關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)N′，連接MN′，與y軸交點(diǎn)為所求的點(diǎn)P，∵N〔1，﹣1〕，∴N′〔﹣1，﹣1〕，設(shè)直線MN′的解析式為y=kx+b，把M〔3，2〕，N′〔﹣1，﹣1〕代入得：，解得，所以y=x﹣，令x=0，求得y=﹣，則點(diǎn)P坐標(biāo)為〔0，〕．點(diǎn)評：此題考察了對稱的性質(zhì)，以及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．利用對稱的方法找出線段之和的最小值的步驟為：1、找出其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于直線的對應(yīng)點(diǎn)；2、連接對應(yīng)點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)，求出與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；3、根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知求出的交點(diǎn)坐標(biāo)即為滿足題意的點(diǎn)的坐標(biāo)．2．如圖，△ABC的邊AB、AC上分別有定點(diǎn)M、N，請?jiān)贐C邊上找一點(diǎn)P，使得△PMN的周長最短．〔寫出作法，保存作圖痕跡〕考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題．專題：作圖題．分析：作點(diǎn)N關(guān)于BC的對稱點(diǎn)N′，連接MN′交BC于點(diǎn)P，由兩點(diǎn)之間線段最短可知P點(diǎn)即為所求點(diǎn)．解答：解：①作點(diǎn)N關(guān)于BC的對稱點(diǎn)N′，連接MN′交BC于點(diǎn)P，②由對稱的性質(zhì)可知PN=PN′，故PN+PM=MN′，③由兩點(diǎn)之間線段最短可知，△PMN的最短周長即為MN′+MN．點(diǎn)評：此題考察的是最短線路問題，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的知識作出N的對稱點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖△ABC是邊長為2的等邊三角形，D是AB邊的中點(diǎn)，P是BC邊上的動點(diǎn)，Q是AC邊上的動點(diǎn)，當(dāng)P、Q的位置在何處時(shí)，才能使△DPQ的周長最小并求出這個(gè)最值．考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；等邊三角形的性質(zhì)．專題：幾何圖形問題．分析：作出D關(guān)于BC、AC的對稱點(diǎn)D'、D''，連接D'D''，DQ，DP，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)將三角形的周長最值問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題，利用等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)即可解答．解答：解：作D關(guān)于BC、AC的對稱點(diǎn)D'、D''，連接D'D''，DQ，DP．∵DQ=D''Q，DP=D'P，∴△DPQ的周長為PQ+DQ+DP=PQ+D''Q+D'P=D'D''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，D'D''的長即為三角形周長的最小值．∵∠A=∠B=60°，∠BED=∠AFD=90°，∴∠α=∠β=90°﹣60°=30°，∠D'DD''=180°﹣30°﹣30°=120°，∵D為AB的中點(diǎn)，∴DF=AD?cos30°=1×=，AF=，易得△ADF≌△QD''F，∴QF=AF=，∴AQ=1，BP=1，Q、P為AC、BC的中點(diǎn)．∴DD''=×2=，同理，DD'=×2=，∴△DD'D''為直角三角形，∴∠D'=∠D''==30°，∴D''D'=2DD'?cos30°=2××=3．點(diǎn)評：此題考察了軸對稱﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，涉及正三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識，有一定難度．4．如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10，OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一定點(diǎn)R．假設(shè)△PQR周長最小，求它的最小值．考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題．專題：計(jì)算題．分析：先畫出圖形，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形．再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出△PQR=EF，再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出△EOF的形狀即可求解．解答：解：設(shè)∠POA=θ，則∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分線，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分線，∴FR=RP，∴△PQR的周長=EF．∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2〔30°﹣θ〕=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的條件下△PQR的最小周長為10．故答案為：10．點(diǎn)評：此題考察的是最短距離問題，解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出各點(diǎn)的對稱點(diǎn)，即把求三角形周長的問題轉(zhuǎn)化為求線段的長解答．5．如圖，A、B是銳角α的OM邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，P在ON邊上運(yùn)動．問P點(diǎn)在什么位置時(shí)，PA2+PB2的值最小考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題．專題：動點(diǎn)型；探究型；存在型．分析：由余弦定理，可得二次函數(shù)，然后可求最值．解答：解：設(shè)OA=a，OB=b，OP=x，∵PA2=a2+x2﹣2axcosα，PB2=b2+x2﹣2bxcosα，∴PA2+PB2=a2+x2﹣2axcosα+b2+x2﹣2bxcosα=2x2﹣2〔a+b〕cosαx+a2+b2，∴當(dāng)x=cosα?xí)r，PA2+PB2的值最?。c(diǎn)評：此題考察的是最短路線問題，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵．6．如圖，兩個(gè)生物制藥廠A與B座落于運(yùn)河河岸的同一側(cè)．工廠A和B距離河岸l分別為4千米和2千米，兩個(gè)工廠的距離為6千米．現(xiàn)要在運(yùn)河的工廠一側(cè)造一點(diǎn)C，在C處擬設(shè)立一個(gè)貨物運(yùn)輸中轉(zhuǎn)站，并建設(shè)直線輸送帶分別到兩個(gè)工廠和河岸，使直線運(yùn)送帶總長最小．如圖建設(shè)直角坐標(biāo)系．〔1〕如果要求貨物運(yùn)動中轉(zhuǎn)站C距離河岸l為a千米〔a為一個(gè)給定的數(shù)，0≤a≤2〕，求C點(diǎn)設(shè)在何處時(shí)，直線輸送帶總長S最小，并給出S關(guān)于a的表達(dá)式．〔2〕在0≤a≤2范圍內(nèi)，a取何值時(shí)直線輸送帶總長最小，并求其最小值．考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；直角梯形．專題：探究型．分析：〔1〕過B作直線BE⊥y軸于E點(diǎn)，再根據(jù)所建直角坐標(biāo)系及A和B距離河岸l分別為4千米和2千米求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用a表示出B′點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解；〔2〕根據(jù)〔1〕中S的表達(dá)式及a的取值范圍進(jìn)展解答即可．解答：解：〔1〕如以以下圖：過B作直線BE⊥y軸于E點(diǎn)，∵A和B距離河岸l分別為4千米和2