人教版必修二高中數(shù)學(xué)筆記講義

第1講第1章§1.1.1柱、錐、臺'球的結(jié)構(gòu)特征

口學(xué)習(xí)目標(biāo)：認(rèn)識柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).逐步培養(yǎng)觀察能力和抽

象概括能力.

CI知識要點：

結(jié)構(gòu)特征圖例

(1)兩底面相互平行；(2)側(cè)面的母

(1)兩底面相互平行，￡

棱線平行于圓柱的軸；

其余各面都是平行四邊圓

柱(3)是以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)

形；柱,*50

軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的

(2)側(cè)棱平行且相等.

幾何體.\B

(1)底面是多邊形，各(1)底面是圓；(2)是以直角三角形

棱

側(cè)面均是三角形；圓的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其

錐

(2)各側(cè)面有一個公共錐余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何

頂點.體.公:一

(1)兩底面相互平行；

棱(1)兩底面相互平行；

(2)是用一個平行于棱圓

臺(2)是用一個平行于圓錐底面的平面

錐底面的平面去截棱錐，臺

去截圓錐，底面和截面之間的部分.

底面和截面之間的部分.

(1)球心到球面上各點的距離相等；(2)是以半圓的直徑所在直線為

球

旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體.

0例4誕精講：

1.下列說法錯誤的是()

A.多面體至少有四個面B.九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形

C.長方體、正方體都是棱柱D.三棱柱的側(cè)面為三角形

分析：多面體至少應(yīng)有四個頂點組成(否則至多3個頂點，而3個頂點只圍成一個平面圖形)，而四個頂點當(dāng)然必須圍成

四個面，所以A正確；棱柱側(cè)面為平行四邊形，其側(cè)棱和側(cè)面的個數(shù)與底面多邊形的邊數(shù)相等，所以B正確；長方體、正

方體都是棱柱，所以C正確；三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，不是三角形，所以D錯誤.

答案：D

2.?個棱柱有10個頂點，所有的側(cè)棱長的和為60cm,則每條側(cè)棱長為cm.

分析：n棱柱有2n個頂點，由于此棱柱有10個頂點，那么此棱柱為五棱柱，又因棱柱的側(cè)棱都相等，五條側(cè)棱長的和為

60cm，可知每條側(cè)棱長為12cm.

答案：12

3.在本節(jié)我們學(xué)過的常見幾何體中，如果用一個平面去截幾何體，如果截面是三角形，那么這個幾何體可能是.

分析：棱錐、棱柱、棱臺、圓錐等幾何體的截面都可以是三角形，因此本題答案是開放的，作答時要考慮周全.

答案：棱錐、棱柱、棱臺、圓錐

第2講§1.1.2簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

口學(xué)習(xí)目標(biāo)：認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).

口知識要點：觀察周圍的物體，大量的幾何體是由柱、錐、臺等組合而成的，這些幾何體稱為組合體.

0例題精講：［例1］在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有().

A.1個B.2個C.3個D,4個

解：在長方體A8C￡)-48'C'。'中，取四棱錐A'-A8C￡>,它的四個側(cè)面都是直角三角形.選D.

【例2】已知球的外切圓臺上、下底面的半徑分別為r,R,求球的半徑.

解：圓臺軸截面為等腰梯形，與球的大圓相切，由此得

梯形腰長為R+r,梯形的高即球的直徑為7(r+/?)2-(T?-r)2=2麻,

所以，球的半徑為而.

第3講§1.2.2空間幾何體的三視圖

學(xué)習(xí)目標(biāo)：能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述的三視圖

所表示的立體模型，會使用材料(如：紙板)制作模型.

0知識要點.

1.“蘇圖’”是將物體按正投影法向投影面投射時所得到的投影圖.光線自物體的前面向后投影所得的投影圖成為“正

視圖”，自左向右投影所得的投影圖稱為“側(cè)視圖”，自上向下投影所得的圖形稱為“俯視圖”.用這三種視圖即可刻劃空

間物體的幾何結(jié)構(gòu)，稱為“三視圖”.

2.畫三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個正前方，從幾何體的正前方、左側(cè)（和右側(cè)）、正上方三個不

同的方向看幾何體，畫出所得到的三個平面圖形，并發(fā)揮空間想象能力.在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線

畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來.

!3例題精講：

【例1】畫出下列各幾何體的三視圖：

<1><2>

解：這兩個兒何體的三視圖如下圖所示.

【例2】畫出下列三視圖所表示的幾何體.

解：先畫幾何體的正面，再側(cè)面，然后結(jié)合三個視圖完成幾何體的輪廓.如下圖所示.

【例3】如圖，圖（1）是常見的六角螺帽，圖（2）是一個機器零件（單位：cm）,所給的方向為物體的正前方.試分

別畫出它們的三視圖.

解：圖（1）為圓柱和正六棱柱的組合體.圖（2）是由長方體切割出來的規(guī)則組合體.

從三個方向觀察，得到三個平面圖形，繪制的三視圖如下圖分別所示.

第

第4講§1.2.3空間幾何體的直觀圖

口學(xué)習(xí)目標(biāo)：會用斜二側(cè)法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的直觀圖.了解空間

圖形的不同表示形式.

口知識要點：“直觀圖”最常用的畫法是斜二測畫法，由其規(guī)則能畫出水平放置的直觀圖，其實質(zhì)就是在坐標(biāo)系中確

定點的位置的畫法.基本步驟如下：（1）建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和），軸，得到直角坐標(biāo)系wy,直觀圖中

畫成斜坐標(biāo)系x'。｝',兩軸夾角為45。.

（2）平行不變：已知圖形中平行于x軸或），軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于￡或y'軸的線段.

（3）長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半.

口例題精講：【例1】下列圖形表示水平放置圖形的直觀圖，畫出它們原來的圖形.

解：依據(jù)斜二測畫法規(guī)則，逆向進行，如圖所示.

【例2】（1）畫水平放置的一個直角三角形的直觀圖；（2）畫棱長為4cm的正方體的直觀圖.

解：（1）畫法：如圖，按如下步驟完成.

第一步，在已知的直角三角形ABC中取直角邊C8所在的直線為x軸，與8c垂直的直線為y軸，畫出對應(yīng)的x'軸和

y'軸，使Nr'O'y'=45.

第二步，在/軸上取O'C'=BC,過C'作了軸的平行線，取C'A'=，C4.

2

第三步，連接A'。'，即得到該直角三角形的直觀圖.

苦心人，天不負(fù)，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳2

（2）畫法：如圖，按如下步驟完成.

第一步，作水平放置的正方形的直觀圖ABCD,使N8A。=45,A8=4?！?AO=2的.

第二步，過A作z'軸，使NBAz'=90.分別過點8,C,。作z'軸的平行線，在z'軸及這組平行線上分別截取

A4'=BB'=CC'=DD'=4cm.

第三步，連接A'8',8'C',CZ>',D'A,所得圖形就是正方體的直觀圖.

點評：直觀圖的斜二測畫法的關(guān)鍵之處在于將圖中的關(guān)鍵點轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的水平方向與垂直方向的坐標(biāo)長度，然后

運用“水平長不變，垂直長減半”的方法確定出點，最后連線即得直觀圖.注意被遮擋的部分畫成虛線.

第5講§1.3.1柱體、錐體、臺體的表面積

!□學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解棱柱、棱錐、臺的表面積的計算公式（不要求記憶公式）；能運用柱、錐、臺的表面積進行計算和

解決有關(guān)實際問題.

Q知識要點：

表面積相關(guān)公式表面積相關(guān)公式

S全=S側(cè)+2s底,

棱柱圓柱S全=2萬一+2乃歷（r：底面半徑，/?：高）

其118惻=/側(cè)棱長c自截面周長

棱錐S全=S側(cè)+5底圓錐S全二萬,+乃”（r：底面半徑，/：母線長）

S全=^（r'2+r2+r7+rZ）

棱臺S全=§側(cè)+S上底+S下底圓臺

3?:下底半徑，尸：上底半徑，/：母線長）

CH列題精講：

【例1】己知圓臺的上下底面半徑分別是2、5,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長.

解：設(shè)圓臺的母線長為/,則圓臺的上底面面積為5卜=4?22=4萬，圓臺的上底面面積為S下=4-52=25%，

所以圓臺的底面面積為S=S上+S卜=294.又圓臺的側(cè)面積SffilJ=4（2+5）/=,

29

于是7乃/=254，即/==為所求.

7

【例2】一個正三棱柱的三視圖如右圖所示，求這個正三棱柱的表面積.

解：由三視圖知正三棱柱的高為2〃〃〃.

由左視圖知正三棱柱的底面三角形的高為26機機.

設(shè)底面邊長為小則#a=2道，a=4.

正三棱柱的表面積為5=S；對+25底=3x4x2+2x；x4x2=24+8月（加加）.

【例31牧民居住的蒙古包的形狀是一個圓柱與圓錐的組合體，尺寸如右圖所示，請你幫助算出要搭建這樣的一個蒙

古包至少需要多少平方米的篷布？（精確到0.01療）

解：上部分圓錐體的母線長為J1.2?+2.52,

其側(cè)面積為$=萬x2xV1.22+2.52.

2

下部分圓柱體的側(cè)面積為S,=^-x5xl.8.

所以，搭建這樣的一個蒙古包至少需要的篷布為

5=5,+5,=^-X|X>/1.22+2.52+^x5xl.8?50.05（m2）.

點評：正確運用錐體和柱體的側(cè)面積計算公式，解決制作殼形幾何體時的用料問題.注意區(qū)分是面積計算，還是體枳計算.

第6講§1.3.1柱體、錐體、臺體的體積

CS學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解棱柱、棱錐、臺體的體積的計算公式（不要求記憶公式）；能運用柱、錐、臺的體積公式進行計算

和解決有關(guān)實際問題.

CS知識要點：1.體積公式：

體積公式體積公式

棱柱v=s&%圓柱V=7tr2h

丫=手底%

棱錐圓錐V=-7rr2h

3

V=^^(r>2+r'r+r2)h

棱臺v=g(s'+V^?+s)〃圓臺

2.柱、椎、臺之間，可以看成一個臺體進行變化，當(dāng)臺體的上底面逐漸收縮為?個點時，它就成了錐體；當(dāng)臺體的上

底面逐漸擴展到與下底面全等時，它就成了柱體.因而體積會有以下的關(guān)系：

腺=京力<sf=1（5'+>/S;5+5）/z*JV^=Sh.

0例題精講：[例1]一個長方體的相交于一個頂點的三個面的面積分別是2、3、6,則長方體的體

積是.解：設(shè)長方體的長寬高分別為a,,則必=2,℃=3,a=6,

三式相乘得（"c）2=36.所以，長方體的體積為6.

[例2]?塊邊長為10加的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個

正四棱錐形容器，試建立容器的容積丫與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的定義域.

解：如圖，設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長為皿.

在RtAEOF中，EF=5cm,OF=—xctn,

所以E0=小25-；/,于是V=；x2《25-；x2.

依題意函數(shù)的定義域為{x[0<x<10}.

【例3】一個無蓋的圓柱形容器的底面半徑為、萬，母線長為6,現(xiàn)將該容器盛滿水，然后平穩(wěn)緩慢地將容器傾斜讓水

流出，當(dāng)容器中的水是原來的°時，圓柱的母線與水平面所成的角的大小為

6

解：容器中水的體積為丫=萬//=萬X（6）2X6=18I.

流出水的體積為V'=（l—2）v=3?,如圖，r=—=—率7=2.

6萬廣萬x（6）2

設(shè)圓柱的母線與水平面所成的角為a,則tana=38=Ji,解得a=60。.

2

所以，圓柱的母線與水平面所成的角的大小為60°.

點評：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一個平面去平分了一個短圓柱.從而由等體積法可計算出高度，解

直角三角形而得所求角.

第7講§1.3.2球的體積和表面積

口學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解球的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）：能運用球的表面積和體積公式進行計算和解決

有關(guān)實際問題.

!□知識要點：1.表面積：S球面=4乃R-（R：球的半徑）.2?體積:%而=鏟8

口例題精講：

【例1】有一種空心鋼球，質(zhì)量為142g,測得外徑等于5cm，求它的內(nèi)徑（鋼的密度為7.9g/的？，精確到0.憶機）.

解：設(shè)空心球內(nèi)徑（直徑）為2x加，則鋼球質(zhì)量為

7.9.[--^-（-）3--^-X3]=142,

323

...=53——142x3_*]]§,xa2.24,

27.9x4x3.14

.??直徑2x=4.5,即空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.

【例2】表面積為324〃的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個正四棱柱的表面積.

解：設(shè)球半徑為R,正四棱柱底面邊長為。，則作軸截面如圖，A4'=14,/TC=，2a,

又???44/?2=324），???R=9,???人。=，4。'2—8'2=8應(yīng)，???。=8,

.?,S表=64x2+32x14=576.

【例3】（04年遼寧卷.10）設(shè)4、B、C、。是球面上的四個點，且在同一平面內(nèi),AB=BC=CD=DA=3,球心到該平面

的距離是球半徑的一半，則球的體積是（）.

A.8底兀B.64瓜兀C.2401D.72叵冗

【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一個小圓上.

%、歷

'：AB=BC=CD=DA=3,：.四邊形ABCD為正方形.小圓半徑八=、一.

2

由R2=/+"得R2=（述）2+（￡『，解得R=遙

苦心人，天不負(fù)，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳4

...球的體積丫=壯萬六=3萬（后）3=8底.所以選A.

33

點評：解答球體中相關(guān)計算，一定要牢記球的截面性質(zhì)R?=/+爐，體積和表面積公式.

第8講§2.1.1平面

0學(xué)習(xí)目標(biāo)：能夠從日常生活實例中抽象出數(shù)學(xué)中所說的“平面”；理解平面的無限延展性；正確地用圖

形和符號表示點、直線、平面以及它們之間的關(guān)系；初步掌握文字語言、圖形語言與符號語言三種語言之間的

轉(zhuǎn)化；理解可以作為推理依據(jù)的三條公理.

0知識要點：

1.點A在直線上，記作Aea；點A在平面a內(nèi)，記作4ea；直線a在平面a內(nèi)，記作aua.

2.平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語言”、"符號語言圖形語言”列表如下：

公理1公理2公理3

圖形

L二/

語言

如果一條直線上的兩點在過不在一條直線上的三點，有如果兩個不重合的平面有一個公

文字

一個平面內(nèi)，那么這條直線且只有一個平面.共點，那么它們有且只有一條過該

語言

在此平面內(nèi).點的公共直線.

Awl,Bsl][ap—l

符號AB,C不共線n…，…氣人/

語言Aea,BGa)A,8,C確定平面a

3.公理2的三條推論：

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

0例題精講：

【例1】如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線是否共面？（尸56A組5題）

解：根據(jù)公理2的推論3,可知兩條平行直線確定一個平面，又由公理1可知，與兩條平行直線相交的第

三條直線在這個平面內(nèi)，所以一條直線與兩條平行直線都相交時，這三條直線是共面的關(guān)系.

【例2】空間四邊形A88中，E、F、G、”分別是AB、BC、CD,D4上的點，己知E尸和GH交于P

點，求證：EF、GH、AC三線共點.（同尸5sB組3題）

解：；PeEF,EFu面ABC,面ABC.同理Pw面AOC.

P在面ABC與面AOC的交線上，

又：面A8CC面AOC=AC,：.PeAC,即EF、HG、AC三線共點.

【例3】求證：兩兩相交且不過同一個點的三條直線必在同一平面內(nèi).

己知：直線4B,8C,C4兩兩相交，交點分別為A,B,C,

求證：直線AB,8C,C4共面.

證明：因為A,B,C三點不在一條直線上，所以過4,B,C三點可以確定平面a.

因為4Ga,BWa,所以ABUa.同理BCUa,ACUa.

所以A8,BC,C4三直線共面.

點評：先依據(jù)公理2,由不共線的三點確定一個平面，再依據(jù)公理1,證三條直線在平面內(nèi).注意文字語言

給出的證明題，先根據(jù)題意畫出圖形，然后給出符號語言表述的已知與求證.常根據(jù)三條公理，進行“共面”

問題的證明.

【例4】在正方體ABC。-AqGR中，

（1）AA與CG是否在同一平面內(nèi)？（2）點8,G，。是否在同一平面內(nèi)？

（3）畫出平面AC|與平面BG。的交線，平面ACR與平面8OG的交線.

解：（1）在正方體ABCD-A4clp中，

VA4.//CC,,二由公理2的推論可知，AA與CG可確定平面AG，

...4A與CG在同一平面內(nèi).

（2）?..點B，G，。不共線，由公理3可知，點民G，?？纱_定平面8G。，點8,G，。在同一平面內(nèi).

（3）VACBD=O,RCDC,=E,...點Oe平面Oe平面BCR,

又Ge平面AG，0€平面86；力，.I平面4G平面

同理平面ACD,平面BDC,=OE.

點評：確定平面的依據(jù)有公理2（不在同一條直線上的三點）和一些推論（兩條平行直線、兩條相交直線、直

線和直線外一點）.對幾條公理的作用，我們必須十分熟練.

第9講§2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

0學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解空間兩條直線的三種位置關(guān)系，理解異面直線的定義，掌握平行公理，掌握等角定理，

掌握兩條異面直線所成角的定義及垂直.

0知識要點：

［升,吉江［相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；

1.空間兩條直線的位置關(guān)系：'I平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.

2.已知兩條異面直線a,〃，經(jīng)過空間任一點。作直線，〃a力'〃b,把a',"'所成的銳角（或直角）叫異面

直線所成的角（或夾角）所成的角的大小與點0的選擇無關(guān)，為了簡便，點。通常取在異面直線的

一條上；異面直線所成的角的范圍為（0,90。］,如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，

記作求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點一平移一定角一計算.

0例題精講：

【例1】己知異面直線。和b所成的角為50°,P為空間一定點，則過點P且與小〃所成角都是30°的

直線有且僅有（）.

A.1條B.2條C.3條D.4條

解：過P作“'〃小b'//h,若PGa,則取a為，，若PGb,則取萬為，.這時優(yōu)，少相交于尸點，它

們的兩組對頂角分別為50°和130°.

記優(yōu)，〃所確定的平面為B,那么在平面B內(nèi)，不存在與a',〃都成30°的直線.

過點P與。'，〃都成30°角的直線必在平面B外,這直線在平面B的射影是a',6'所成對頂角的平分線.其

中射影是50°對頂角平分線的直線有兩條/和廠，射影是130°對頂角平分線的直線不存在.故答案選B.

【例2】如圖正方體ABCD-A4GR中，E、F分別為01G和8G的中點，P、。分別為AC與80、4G

與E尸的交點.（1）求證：D、B、F、E四點共面；

（2）若AC與面。BFE交于點R,求證：P、。、R三點共線.

證明：（1）；正方體ABC。-AgCQ中，BB、&DDt,：.BD//8Q.

又,/BR0中,E、F為中點，

EF//：.EF//BD,即。、B、F、E四點共面.

=2

（2）；Qe平面AC；,Qe平面BE,Pw平面Ag,Pe平面BE,

平面4G平面BE=PQ.

又AC,平面BE=H,ARe平面A6，Re平面BE,R&PQ.即P、Q、R三點共線.

【例3】已知直線a//b〃c,直線d與a、b、c分別相交于A、B、C,求證：a、b、c、"四線共面.

證明：因為a//b,由公理2的推論，存在平面a,使得aua,%ua.

又因為直線“與a、b、c分別相交于A、B、C,由公理1,dua.

假設(shè)c<za,則ca=C,在平面a內(nèi)過點C作c'〃》，

因為6〃c,則?！?。'，此與cc'=C矛盾.故直線cue.

綜上述，a、b、c、d四線共面.

點評：證明一個圖形屬于平面圖形，需要緊扣公理2及其三條推論，尋找題中能確定平面的已知條件.此

例拓展的證明先構(gòu)建出一個平面，然后從假設(shè)出發(fā)，推出矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，這就是證明問題的

一種反證法的思路.

【例4】如圖中，正方體ABCD-A向G。，E、F分別是A。、制的中點.

（1）求直線A5和CG所成的角的大??；

（2）求直線A5和EF所成的角的大小.

解：（1）如圖，連結(jié)。G,"DC^/AB1,

二DC,和CG所成的銳角ZCC,D就是AB1和CG所成的角.

VZCC；Z>45°,/.ABt和CG所成的角是45°.

（2）如圖，連結(jié)。4卜A/G，

VEF/ZAyD,AB}//DCi，：.NAQG是直線AS和EF所成的角.

a

AAQG是等邊三角形，/.ZAtDC}=60,即直線45和EF所成的角是60°.

點評：求解異面直線所成角時，需緊扣概念，結(jié)合平移的思想，發(fā)揮空間想象力，把兩異面直線成角問題

苦心人，天不負(fù)，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳6

轉(zhuǎn)化為與兩相交直線所成角，即將異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題，運用化歸思想將難化易.解題中常借助正方體等

幾何模型本身的性質(zhì)，依照選點、平移、定角、計算的步驟，逐步尋找出解答思路.

第10講§2.1.3直線與平面、平面與平面位置關(guān)系

0學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解直線與平面的三種位置關(guān)系，理解直線在平面外的概念，了解平面與平面的兩種位置關(guān)系.

0知識要點：

1.直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個公共點）；（2）直線與平面相交（有且只有一個

公共點）；（3）直線與平面平行（沒有公共點）.分別記作：/ua；Ia=P-,IHa.

2.兩平面的位置關(guān)系：平行（沒有公共點）；相交（有一條公共直線）.分別記作a〃￡；a/?=/.

0例題精講：

【例I】己知空間邊邊形ABC。各邊長與對角線都相等，求異面直線AB和所成的角的大小.

解：分別取AC、AD.BC的中點P、M、N連接PM、PN,由三角形的中位線性質(zhì)知PN〃AB,PM//CD,

于是NMPN就是異面直線AB和CD成的角（如圖所示）.

連結(jié)MN、DN,設(shè)AB=2,：.PM=PN=\.

而AN=DN=G,由MN±AD,AM=\,得MN=&,

.,.MMW/A+NP2,.../MPAfegO。..?.異面直線A8、CD成90。角.

【例2】在空間四邊形A8C。中，E、”分別是AB、A。的中點，F(xiàn)、G分別是CB、C。的中點，若AC+8。

=a,AC-BD=b,求EG2+F〃2.

解：四邊形EFG”是平行四邊形，

EG2+FH2=2（￡F2+FG2）=-（AC2+BD2）=-（a2-2b）.

22

【例3】已知空間四邊形ABC。中，E、H分別是AB*。的中點,F、G分別是BC、C￡）上的點，且紅=受=2.

CBCD3

求證：（1）&F、G、H四點共面；（2）三條直線EF、GH、AC交于一點.

證明：（1）在△AB。和△CB。中，

*/E、H分別是AB和CZ）的中點，/.EH//-BD.

=2

P..CF_CG2

乂?--------——/.FGH-BD.

CBCD3=3

???EH//FG.所以,E、F.G、”四點共面.

第11講§2.2.1直線與平面平行的判定

0學(xué)習(xí)目標(biāo)：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理

解空間中線面平行的判定，掌握直線與平面平行判定定理，掌握轉(zhuǎn)化思想“線線平行n線面平行”.

0知識要點：1.定義：直線和平面沒有公共點，則直線和平面平行.

2.判定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

符號表示為：a（Za,b（^a,a//b^>a//a.圖形如右圖所示.

0例題精講：

【例1】已知P是平行四邊形ABC。所在平面外一點，E、尸分別為A8、P。的中點，求證：4F〃平面PEC

證明：設(shè)PC的中點為G,連接EG、FG.

,/尸為PO中點，.IGF//CDS.GF=-CD.

2

,/AB//CD,AB=CD,E為A3中點，

GF//AE,GF=AE,四邊形AEGF為平行四邊形.

EG//AF,

又：Afa平面PEC,EGu平面PEC,AF〃平面PEC.

【例2】在正方體ABCQ-A向GQ中，E、F分別為棱BC、G"的中點.求證：EF〃平面88QQ.

證明：連接AC交BD于。，連接。E,則。E〃￡?C,OE=~DC.

2

?/DC//DtCi，DC=D|G，尸為。iG的中點，

OE//DtF,OE=DtF,四邊形QFEO為平行四邊形.EF//DXO.

又；EFcZ平面BBNQ,DQu平面BBQi。，/.EF〃平面

【例3】如圖，已知E、F、G、M分別是四面體的棱A。、CD、BD、BC的中點，求證：AM//

平面EFG.

證明：如右圖，連結(jié)9W,交GF于。點，連結(jié)0E,

在ABC。中，G、F分別是3D、CO中點，AGF//BC,

；G為班）中點，；.0為MD中點,

在A4W中，?:E、。為4）、用D中點，AEO//AM,

又?.?加/u平面EFG,EOu平面EFG,4W〃平面EFG.

點評：要證明直線和平面平行，只須在平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了.注意適當(dāng)添加輔助

線，重視中位線在解題中的應(yīng)用.

【例4】如圖，己知P是平行四邊形A8CD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點.

（1）求證：MW平面BW；（2）若MN=BC=4,PA=4后,求異面直線以與MN所成的角的大小.

解：（1）取PD的中點H,連接由N是PC的中點，

NH/I-DC.由M是48的中點，NH//AM,

~2_

即AMNH為平行四邊形.Z.MN//AH.

由W平面AHu平面PA。，/.MN//平面PA。.

（2）連接AC并取其中點為。，連接。M、ON,

：.OMU-BC,ONU-PA,所以NONM就是異面直線PA與MN所成的角，且MOA.NO.由

-2-2

MN=BC=4,PA=4后，得OM=2,0N=2也.

所以NOMW=30°,即異面直線以與MN成30°的角.

點評：已知中點，牢牢抓住中住線得到線線平行，通過線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行.求兩條異面直線所成角，

方法的關(guān)鍵也是平移其中一條或者兩條直線，得到相交的線線角，通過解三角形而得.

第12講§2.2.2平面與平面平行的判定

0學(xué)習(xí)目標(biāo)：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理

解空間中面面平行的判定，掌握兩個平面平行的判定定理與應(yīng)用及轉(zhuǎn)化的思想.

0知識要點：面面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面

平行.用符號表示為：\=>PHa.

alla,bIIaJ

0例題精講：

【例1】如右圖，在正方體A8C￡）—A|81Goi中，M、N、P分別是C|C、B。、GQ的中點，求證：平面

MNP〃平面48D

證明：連結(jié)55，：P、N分別是。Ci、BiG的中點，,PN〃B、D\.

又B\D\〃BD,：.PN//BD.

又PN不在平面A|BO上，；.PN〃平面A|BD

同理，MN〃平面AiBD.又PNCMN=N,二平面PMN〃平面A|BD

【例2】正方體ABCD—中.（1）求證：平面AB?！ㄆ矫?QC；

（2）若E、F分別是A4，CG的中點，求證；平面EBQ〃平面FBO.

證明：（1）由BiB乜DDi，得四邊形BBQQ是平行四邊形，

又B￡><Z平面B|O|C,BQiu平面BQ|C,〃平面與功仁

同理4?！ㄆ矫鍮Q|C.而...平面〃平面BjCO.

（2）由80〃8］得8。〃平面EBQ1.取中點G,：.AE//ByG.

從而得B1E〃AG,同理GF〃A。.J.AG//DF.：.BXE//DF.

：.DF//平面EBQi.：.平面EBQi//平面FBD.

【例3】己知四棱錐尸-ABCD中，底面ABCO為平行四邊形.點M、N、Q分別在出、BD、P。上，且PM：

MA=BN：ND=PQ：QD.

求證：平面MNQ〃平面PBC.

證明：PM：MA=BN：ND=PQ：QD.

：.MQIIAD,NQ//BP,

而BPu平面PBC,NQ平面P8C,；.N。//平面PBC.

又A8CQ為平行四邊形，BC//AD,：.MQ//BC,

而BCu平面PBC,MQ<Z平面PBC,/.MQ〃平面P8C.

由MQNQ=Q,根據(jù)平面與平面平行的判定定理，平面仞V。〃平面PBC.

苦心人，天不負(fù)，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳8

點評：由比例線段得到線線平行，依據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，證得兩條相交直線平行于一個

平面后，轉(zhuǎn)化為面面平行.一般證“面面平面”問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行.

第13講§2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)

0學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中線面平行的性質(zhì)，掌握直線和平面

平行的性質(zhì)定理，靈活運用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握‘‘線線"''線面”平行的轉(zhuǎn)化.

0知識要點：線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那

alia

么這條直線和交線平行.即：au/3，=a"b.

a0=b

0例題精講：

【例1】經(jīng)過正方體ABCO-AISGOI的棱BBi作一平面交平面AAQQ于E|E,求證：E出〃B】B.

證明：AA,〃,AA,B平面BEE4,BB,u平面BEE再,

A4,//平面

又A4,u平面ADRA，平面A￡)RA平面BEEM=E%,

：.AA./ZEE^

A4,//1

則=BB,〃EE、

【例2】如圖，ABHa,AC//BD,Cea,Dea,求證：AC=BD.

證明：連結(jié)C。，

AC//BD,

二.直線AC和3?？梢源_定一個平面，記為夕，

VC,Dea,C,D&(3,：.a/3=CD,

VAB//a,ABu。，a/J=CD

：.ABIICD,

又?:AC//BD,

，四邊形ACZJB為平行四邊形，/.AC=BD.

第14講§2.2.4平面與平面平行的性質(zhì)

0學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中面面平行的性質(zhì)，掌握面面平行的

性質(zhì)定理，靈活運用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線”“線面”“面面”平行的轉(zhuǎn)化.

0知識要點：

1.面看平容的性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行.用符號語言表示為:

all(3,ya=a,y/?=b=>a//b.

2.其它性質(zhì)：①a〃/,/ua=>〃//；②allf3,l，anl，/3；

③夾在平行平面間的平行線段相等.

0例題精講：

【例1】如圖，設(shè)平面a〃平面B,A8、8是兩異面直線，M、N分別是43、8的中點，且4、Cda,

B、DGP.求證：MN//a.

證明：連接BC,取BC的中點E,分別連接ME、NE,

則ME〃AC,ME〃平面a,又NE〃B￡>,NE//P,

又MECNE=E,：.平面MEN//平面a,:MNu平面MEN,：.MN//a.

【例2】如圖，A,B,C,。四點都在平面a,。外，它們在a內(nèi)的射影A，B”G，5是平行四邊形的四

個頂點，在0內(nèi)的射影A?,B”C2,A在一條直線上，求證：ABCO是平行四邊形.

證明：；A,B,C,。四點在。曲的射影A?,B”C”A在一條直線上，

；.A,B,C,。四點共面.

又4,B,C,。四點在a內(nèi)的射影A"G，Q是平行四邊形的四個頂點，

二平面A8BA〃平面CDDG.

：.AB,CQ是平面ABC。與平面ABBA，平面CDD￡的交線.

：.AB//CD.同理A￡>〃BC.二四邊形ABC。是平行四邊形.

第15講§2.3.1直線與平面垂直的判定

0學(xué)習(xí)目標(biāo)：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理

解空間中線面垂直的判定，掌握直線與平面垂直的定義，理解直線與平面垂直的判定定理，并會用定義和判定

定理證明直線與平面垂直的關(guān)系.掌握線面角的定義及求解.

0知識要點：

1.定義：如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線/與平面a互相垂直，記作/_La./一平

面a的垂線，a一直線/的垂面，它們的唯一公共點P叫做垂足.（線線垂直7線面垂直）

2.判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與該平面垂直.符號語言表示為：

若I1.n,〃？C〃=B,mua,naa,則/_La

3.斜線和平面所成的角，簡稱“線面角”，它是平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角.求直線和平面所

成的角，幾何法一般先定斜足，再作垂線找射影，然后通過解直角三角形求解，可以簡述為“作（作出線面角）

一證（證所作為所求）一求（解直角三角形）”.通常，通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜

足的連線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵.

0例題精講：

【例1】四面體ABC。中，AC=8￡）,E,尸分別為A。,8c的中點，且EF=Y2AC,ZBDC=90,求證：

2

平面ACO.

證明：取C。的中點G,連結(jié)EG,FG,尸分別為A￡）,8c的中點，EG」,AC,FGU-BD.

22

又=FG」AC,.?.在AE/G中，EG2+FG2=-AC2=EF2,

22

：.EG1FG,：.BD1AC,又NBDC=90,即8￡>1CO,ACCD=C,

：.班>_L平面AC。.

【例2】已知棱長為1的正方體ABCO-ABiGA中，E是A8的中點，求直線AE與平面ABCQi所成

的角的正弦值.

解：取CQ的中點F,連接EF交平面ABCQ于O,連AO.

由已知正方體，易知E。J.平面A8GR,所以NE4。為所求.

在R/AEOA中，EO=*F=；削=去,AE=拈）2+1?=與，

.E0710

sinZ.EAO=---=----.

AE5

所以直線AE與平面ABCR所成的角的正弦值為手.

【例3】三棱錐P-ABC中，PA±BC,PBrAC,尸。J?平面ABC,垂足為0,求證：O為底面△ABC

的垂心.

證明：連接。A、OB、OC,,/尸。1平面ABC,；.PO±BC,PO1AC.

又PAVBC,PBVAC,

BC±平面尸AO,AC±平面尸80，得A。_LBC,80_LAC,

/.O為底面△ABC的垂心.

點評：此例可以變式為“已知PA_LBC,P8_LAC,求證PC_LAB”，其思路是接著利用射影是垂心的結(jié)論得

到OCJ.AB后進行證明.三條側(cè)棱兩兩垂直時，也可按同樣