第4章根軌跡法

第四章根軌跡法Chapter4ROOTLOCUS

本章重點(diǎn)內(nèi)容根軌跡的基本概念根軌跡繪制的基本規(guī)則參量根軌跡的繪制用根軌跡法分析閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能!系統(tǒng)特征根的圖解方法根軌跡：當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)在規(guī)定范圍內(nèi)變化時(shí)，相應(yīng)的系統(tǒng)閉環(huán)特征方程根在s平面上的位置也隨之變化移動(dòng)，形成一條軌跡。1、希望按性能要求置于合適的位置。閉環(huán)極點(diǎn)（即閉環(huán)特征方程根）閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、瞬態(tài)響應(yīng)特性2、系統(tǒng)的某些參數(shù)（如開環(huán)增益）變化時(shí)，反復(fù)求解，不方便。4.1.1根軌跡的概念4.1根軌跡法的基本概念設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為廣義根軌跡:系統(tǒng)的任意一變化參數(shù)形成根軌跡。狹義根軌跡（通常情況）：變化參數(shù)為開環(huán)增益K，且其變化取值范圍為0到∞。閉環(huán)特征方程式為顯然，特征方程式的根是

由上式可見，特征根s1和s2都將隨著參變量K的變化而變化。下表列出了當(dāng)參變量K由零變化到無窮大時(shí)，特征根s1和s2相應(yīng)的變化關(guān)系。K＝0時(shí)兩個(gè)負(fù)實(shí)根K值增加相對靠近移動(dòng)離開負(fù)實(shí)軸，分別s=-1/2直線向上和向下移動(dòng)。一對共軛復(fù)根-1-1/204.1.2根軌跡與系統(tǒng)性能1.穩(wěn)定性當(dāng)開環(huán)增益從零變到無窮時(shí)，右圖中的根軌跡不會(huì)越過虛軸進(jìn)入右半s平面，因此例1系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。如果分析高階系統(tǒng)的根軌跡圖，那么根軌跡就有可能越過虛軸進(jìn)入s右半平面，此時(shí)根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的K值，就是臨界開環(huán)增益。2.穩(wěn)態(tài)性能由右圖可見，開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，所以系統(tǒng)屬I型系統(tǒng)，因而根軌跡上的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍。在一般情況下，根軌跡圖上標(biāo)注出來的參數(shù)不是開環(huán)增益，而是所謂根軌跡增益。

3.動(dòng)態(tài)性能由右圖可見，當(dāng)時(shí)，所有閉環(huán)極點(diǎn)位于實(shí)軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程；當(dāng)時(shí)，閉環(huán)兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)仍為非周期過程，但響應(yīng)速度較情況為快；當(dāng)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程，且超調(diào)量將隨K值的增大而增大，但調(diào)節(jié)時(shí)間變化不會(huì)顯著。、閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)間的關(guān)系前向通道傳遞函數(shù)G(S)的一般表達(dá)式前向通道增益前向通道根軌跡增益開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益前向通道零點(diǎn)反饋通道零點(diǎn)前向通道極點(diǎn)反饋通道極點(diǎn)m個(gè)零點(diǎn)(m=f+l)n個(gè)極點(diǎn)(n=q+h)反饋通道根軌跡增益m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)(m=f+l)n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)(n=q+h)開環(huán)傳遞函數(shù)3）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益=開環(huán)系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益。1）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)=前向通道的零點(diǎn)+反饋通道的極點(diǎn)；2）閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)、零點(diǎn)以及根軌跡增益均有關(guān)；

！根軌跡法：由開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，不通過解閉環(huán)特征方程找出閉環(huán)極點(diǎn)。單位反饋系統(tǒng)（1）閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益；（2）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)就是開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)。、根軌跡方程根軌跡是系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的集合閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：如果已知有m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)和n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)幅角條件和幅值條件m個(gè)零點(diǎn)n個(gè)極點(diǎn)（nm）幅值條件1）幅值條件不但與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；幅角條件（k=0,1,2,…）2）幅角條件只與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)幅角條件是確定s平面上的根軌跡的充分必要條件。

由上述兩式可見，幅值條件與k有關(guān)，而相角條件與k無關(guān)。因此，把滿足相角條件的值代入到幅值條件中，一定能求得一個(gè)與之相對應(yīng)的k值。這就是說，相角條件是確定s平面上的根軌跡的充分必要條件。換言之,凡是滿足相角條件的點(diǎn)必然也同時(shí)滿足幅值條件,反之,滿足幅值條件的點(diǎn)未必都能滿足相角條件.綜上所述，根軌跡就是平面上滿足相角條件點(diǎn)的集合。

由于相角條件是繪制根軌跡的基礎(chǔ)，因而繪制根軌跡的一般步驟是：先找出s平面上滿足相角條件的點(diǎn)，并把它們連成曲線；然后根據(jù)實(shí)際需要，用幅值條件確定相關(guān)點(diǎn)對應(yīng)的值。模值條件與相

角條件的應(yīng)用s1=-0.825s2,3=-1.09±j2.07-1.5-1-20.52.2678.8o2.112.61127.53o92.49o2.072K*=2.26×2.11×2.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=–180o-1.09+j2.0766.27o求模求角例題已知根軌跡如圖所示求增益例4-1利用幅值條件和相角條件繪制如圖所示系統(tǒng)的根軌跡。解：(1)本例的開環(huán)傳遞函數(shù)為它的開環(huán)極點(diǎn)為0和–1，沒有開環(huán)零點(diǎn)。(2)用相角條件繪制根軌跡本例的相角條件為根據(jù)上式，用試探法尋求s平面上滿足相角條件的點(diǎn)。1)在正實(shí)軸上任取一試驗(yàn)點(diǎn)s1，如圖4-4(a)所示，由于，因而該點(diǎn)不滿足根軌跡的相角條件。由此可知，在正實(shí)軸上不存在系統(tǒng)的根軌跡。。因而該點(diǎn)不滿足相角條件，即–1點(diǎn)左側(cè)的實(shí)軸上不存在該系統(tǒng)的根軌跡。。因而該點(diǎn)滿足相角條件。由此可知，(0,–1)間的實(shí)軸是該系統(tǒng)的根軌跡。

2)在(0,–1)間的實(shí)軸上任取一試驗(yàn)點(diǎn)s2，如圖4-4(b)所示，由于，3)在–1點(diǎn)左側(cè)實(shí)軸上任取一試驗(yàn)點(diǎn)s3，如圖4-4(c)所示，由于4)在s平面上任取一點(diǎn)s4，如圖4-4(d)所示，令，。如果點(diǎn)s4位于根軌跡上，則應(yīng)滿足相角條件，即。

顯然，只有當(dāng)時(shí)，才能滿足此條件。由此可知，坐標(biāo)原點(diǎn)與–1之間的實(shí)軸的垂直平分線上的點(diǎn)均能滿足相角條件，因而該垂直平分線也是系統(tǒng)根軌跡的一部分。(3)用幅值條件確定增益K系統(tǒng)的幅值條件為由上式可以求得根軌跡上各點(diǎn)所對應(yīng)的K值。例如，圖4-4(d)中的重根s1,2=–0.5，其對應(yīng)的K值為幅值條件K＝2幅值條件成立！