高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第15講導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題(高階拓展)專項(xiàng)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2020年新I卷，第21題,12分導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題不等式恒成立問(wèn)題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)基本問(wèn)題2掌握函數(shù)零點(diǎn)存在性定理及其應(yīng)用3能設(shè)而不求進(jìn)行隱零點(diǎn)的相關(guān)替換求值或范圍【命題預(yù)測(cè)】零點(diǎn)問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，隱零點(diǎn)的代換與估計(jì)問(wèn)題是函數(shù)零點(diǎn)中常見(jiàn)的問(wèn)題之一,其源于含指對(duì)函數(shù)的方程無(wú)精確解,這樣我們只能得到存在性之后去估計(jì)大致的范圍，高考中曾多次考查隱零點(diǎn)代換與估計(jì),所以本節(jié)我們做一個(gè)專門的分析與討論，方便學(xué)生高考綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解在求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們一般對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過(guò)一種整體代換和過(guò)渡，再結(jié)合題目條件最終解決問(wèn)題，我們稱這類問(wèn)題為“隱零點(diǎn)問(wèn)題”．解題步驟第1步:用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性,列出零點(diǎn)方程,并結(jié)合的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍;第2步:以零點(diǎn)為分界點(diǎn),說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),進(jìn)而得到的最值表達(dá)式;第3步:將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形,整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn):（1）要么消除最值式中的指對(duì)項(xiàng)（2）要么消除其中的參數(shù)項(xiàng);從而得到最值式的估計(jì).2.隱零點(diǎn)的同構(gòu)實(shí)際上,很多隱零點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生的原因就是含有指對(duì)項(xiàng),而這類問(wèn)題由往往具有同構(gòu)特征,所以下面我們看到的這兩個(gè)問(wèn)題,它的隱零點(diǎn)代換則需要同構(gòu)才能做出,否則,我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡(jiǎn)方向.我們看下面兩例:一類同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用:原理分析所以在解決形如,這些常見(jiàn)的代換都是隱零點(diǎn)中常見(jiàn)的操作.考點(diǎn)一、隱零點(diǎn)綜合問(wèn)題1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．2．證明3．求的極值4．已知函數(shù)，若,求的取值范圍.1．已知函數(shù)，當(dāng)且時(shí),不等式在上恒成立,求的最大值.2．已知函數(shù)對(duì)任意的恒成立,其中實(shí)數(shù),求的取值范圍.3．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，且.(1)求a；(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且.4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極小值．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，且這兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)．【能力提升】1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）已知為函數(shù)的極值點(diǎn)．(1)求；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求證：存在唯一的，使得；(2)若存在實(shí)數(shù)a，b，使得恒成立，求的最小值．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．4．（2023春·福建廈門·高二福建省廈門第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=-ln(x+m).(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；（2）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.5．（2023春·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，求：(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，總有，求整數(shù)的最小值.6．（2022秋·福建莆田·高二莆田一中?？计谥校┰O(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于x的不等式有解？若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：）7．（2021·江西撫州·高三臨川一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）若，討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)的最大值.8．（2021秋·四川成都·高三雙流中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程(2)證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；(3)若對(duì)于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．9．（2022春·浙江舟山·高三浙江省普陀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若不等式對(duì)任意的恒成立，求整數(shù)的最大值．10．（2021·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？级＃┮阎瘮?shù)在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值，并求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；(2)若整數(shù)使得在上恒成立，求的最大值．

導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2020年新I卷，第21題,12分導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題不等式恒成立問(wèn)題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)基本問(wèn)題2掌握函數(shù)零點(diǎn)存在性定理及其應(yīng)用3能設(shè)而不求進(jìn)行隱零點(diǎn)的相關(guān)替換求值或范圍【命題預(yù)測(cè)】零點(diǎn)問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，隱零點(diǎn)的代換與估計(jì)問(wèn)題是函數(shù)零點(diǎn)中常見(jiàn)的問(wèn)題之一,其源于含指對(duì)函數(shù)的方程無(wú)精確解,這樣我們只能得到存在性之后去估計(jì)大致的范圍，高考中曾多次考查隱零點(diǎn)代換與估計(jì),所以本節(jié)我們做一個(gè)專門的分析與討論，方便學(xué)生高考綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解在求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們一般對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過(guò)一種整體代換和過(guò)渡，再結(jié)合題目條件最終解決問(wèn)題，我們稱這類問(wèn)題為“隱零點(diǎn)問(wèn)題”．解題步驟第1步:用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性,列出零點(diǎn)方程,并結(jié)合的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍;第2步:以零點(diǎn)為分界點(diǎn),說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),進(jìn)而得到的最值表達(dá)式;第3步:將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形,整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn):（1）要么消除最值式中的指對(duì)項(xiàng)（2）要么消除其中的參數(shù)項(xiàng);從而得到最值式的估計(jì).2.隱零點(diǎn)的同構(gòu)實(shí)際上,很多隱零點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生的原因就是含有指對(duì)項(xiàng),而這類問(wèn)題由往往具有同構(gòu)特征,所以下面我們看到的這兩個(gè)問(wèn)題,它的隱零點(diǎn)代換則需要同構(gòu)才能做出,否則,我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡(jiǎn)方向.我們看下面兩例:一類同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用:原理分析所以在解決形如,這些常見(jiàn)的代換都是隱零點(diǎn)中常見(jiàn)的操作.考點(diǎn)一、隱零點(diǎn)綜合問(wèn)題1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)切線方程，即可得到坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a=1時(shí)，由得,符合題意；當(dāng)a>1時(shí)，可證，從而存在零點(diǎn)，使得，得到，利用零點(diǎn)的條件，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)后，利用基本不等式可以證得恒成立；當(dāng)時(shí)，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.【詳解】（1），，.，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立.當(dāng)時(shí)，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時(shí)，∴不是恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構(gòu)由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時(shí)為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．所以．［方法四］：因?yàn)槎x域?yàn)椋遥?，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)椋詴r(shí)，有，即．下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立．令，只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．因此要證明時(shí)，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個(gè)不等式兩邊相加可得，故時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；方法二：利用同構(gòu)思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過(guò)先換元，令，再同構(gòu)，可將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進(jìn)行充分性證明即可．2．證明證明:要證明左邊大于右邊,只需證明左邊的最小值大于右邊即可然后求導(dǎo),單增,,因此存在零點(diǎn),有一個(gè)極小值設(shè)的零點(diǎn)為(1),兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù),(2)將(1)、(2)帶入,得,證畢3．求的極值解:存在一個(gè)零點(diǎn)設(shè)的零點(diǎn)為令,即極小值為4．已知函數(shù)，若,求的取值范圍.解：記,依題意,恒成立,求導(dǎo)得,令,則在上單調(diào)遞增,又,則,使得,即成立,則當(dāng)單調(diào)遞減;當(dāng)單調(diào)遞增,,由,得,于是得,當(dāng)時(shí),令,有在上單調(diào)遞減,而在上單調(diào)遞增,即有函數(shù)在上單調(diào)遞減,于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減,則當(dāng)時(shí),,不合題意;當(dāng)且時(shí),由(1)中知,,有,從而,由吅,因此滿足,又在上單調(diào)遞增,則有,而,所以實(shí)數(shù)的取值范困是.1．已知函數(shù)，當(dāng)且時(shí),不等式在上恒成立,求的最大值.解：依題分離參數(shù)得:,令,則,令.則在上遞增,,存在,使.即,當(dāng)時(shí),;當(dāng).2．已知函數(shù)對(duì)任意的恒成立,其中實(shí)數(shù),求的取值范圍.解：由已知得由得在上遞增,又,而,所以存在,使得得.當(dāng)時(shí),遞減;當(dāng)時(shí),遞增:故得,又因?yàn)樵谏线f增,且,,由得.3．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，且.(1)求a；(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）令且，討論、研究單調(diào)性，求其最小值，結(jié)合恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立求參數(shù)即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值情況，依據(jù)單調(diào)性證極大值的范圍.【詳解】（1）由恒成立，令且，①當(dāng)時(shí)，（舍）；②當(dāng)時(shí)，，在上，遞減，在上，遞增，令，，在上，遞增，在上，遞減，所以，則.（2）由（1）知：，所以，則，令，則，在上，則遞減，在上，則遞增，，，有兩個(gè)根，圖象如下，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴存在唯一極大值為，又，所以，令，在上，故單調(diào)遞增.，故，且為極大值，所以，，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問(wèn)，討論參數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究且最小值，根據(jù)不等式恒成立確定參數(shù)值；第二問(wèn)，導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn)分布，進(jìn)而證極大值的范圍.4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極小值．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)與極值，求導(dǎo)數(shù)代入計(jì)算，即可得的值；（2）設(shè)，求，確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與取值情況，即可得的取值情況，從而得結(jié)論.【詳解】（1），由題意知，則，即，由，知，即．（2）由（1）得，設(shè)，則．設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一，使得，即．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明函數(shù)不等式的常用的方法：（1）構(gòu)造差函數(shù)法：構(gòu)造差函數(shù)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，從而得函數(shù)最值，讓最值與比較大小即可得答案；（2）分離函數(shù)法：確定中間函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分別證明，，即可證明結(jié)論；（3）放縮法：利用不等式對(duì)所證不等式進(jìn)行放縮，證明放縮后的不等式成立，即可得結(jié)論.5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，且這兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先求出的定義域，由設(shè)，，由的單調(diào)性，得出，得出，即可得出的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，并將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明等于零即可．【詳解】（1），定義域?yàn)?，，設(shè)，，則，令，得，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增，所以，所以，故的單調(diào)增區(qū)間為．（2），構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，則，且當(dāng)x趨近于或時(shí)，均趨近于，如圖所示：

所以在，內(nèi)均存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于，則，且當(dāng)x趨近于時(shí)，均趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，均趨近于，所以在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為函數(shù)在的零點(diǎn)，要證在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，且這兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)，只需證明，已知所以，所以當(dāng)時(shí)，在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，且這兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)求解．這類問(wèn)題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．【能力提升】1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）已知為函數(shù)的極值點(diǎn)．(1)求；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，即可求出的值，再檢驗(yàn)即可；（2）設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到，再由零點(diǎn)存在性定理得到存在唯一，使，即可得到的單調(diào)性，再結(jié)合特殊值，即可證明.【詳解】（1）定義域?yàn)?，，由，解得，若時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，符合題意，因此．（2）設(shè)，則，又，因?yàn)?，，所以存在唯一，使，且?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．由得，所以，因此當(dāng)時(shí)，，而，于是當(dāng)時(shí)，．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求證：存在唯一的，使得；(2)若存在實(shí)數(shù)a，b，使得恒成立，求的最小值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求出，即可得到的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可；（2）分、和三種情況討論，當(dāng)時(shí)，由（1）可得的最小值為，則，從而得到，令，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的最小值，即可得解；【詳解】（1）證明：∵，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上的單調(diào)遞增，又，，∴存在唯一的，使得．（2）解：當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，這與矛盾；當(dāng)，由，得，∴；當(dāng)，由（1）知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，其中滿足，故且，∵恒成立，∴，即，于是，記，，則，由得，即函數(shù)在上單調(diào)時(shí)遞減，由得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，綜上得的最小值為，此時(shí)．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意得方程在上有兩不等實(shí)根，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布求解即可；（2）根據(jù)題意得，進(jìn)而得，再構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性得在單調(diào)遞增，進(jìn)而.【詳解】（1）解：∵，∴，∵函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且∴由題意知方程在上有兩不等實(shí)根，設(shè)，其圖像的對(duì)稱軸為直線，故有，解得所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）證明：由題意知是方程的較大的根，故，由于，∴，∴．設(shè)，，，∴在單調(diào)遞增，∴，即成立．∴不等式成立,證畢.4．（2023春·福建廈門·高二福建省廈門第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=-ln(x+m).(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；（2）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.【答案】(1)在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)（2）見(jiàn)解析【詳解】(1)．由x=0是f(x)的極值點(diǎn)得f'(0)=0，所以m=1．于是f(x)=ex－ln(x+1)，定義域?yàn)?－1，+∞)，．函數(shù)在(－1，+∞)上單調(diào)遞增，且f'(0)=0，因此當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，f'(x)<0;當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，f'(x)>0．所以f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增．(2)當(dāng)m≤2，x∈(－m，+∞)時(shí)，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需證明當(dāng)m=2時(shí)，f(x)>0．當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)在(－2，+∞)上單調(diào)遞增．又f'(－1)<0，f'(0)>0，故f'(x)=0在(－2，+∞)上有唯一實(shí)根，且．當(dāng)時(shí)，f'(x)<0;當(dāng)時(shí)，f'(x)>0，從而當(dāng)時(shí)，f(x)取得最小值．由f'(x0)=0得=，，故．綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f(x)>0．5．（2023春·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，求：(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，總有，求整數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)-3【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，計(jì)算出斜率，再用點(diǎn)斜式即可；（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程為即（2）由題意，，即，即，又，恒成立.令，令，則恒成立.在上遞減，，使，即，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，且，，即整?shù)k的最小值為-3【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于零點(diǎn)不可求問(wèn)題，可以設(shè)而不求，整體替換從而求出范圍。6．（2022秋·福建莆田·高二莆田一中?？计谥校┰O(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于x的不等式有解？若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)存在，的最小值為0【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就的不同取值可求的解，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（2）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合虛設(shè)零點(diǎn)可求，從而可得整數(shù)的最小值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，由，解得；②當(dāng)時(shí)，由，解得；③當(dāng)時(shí)，由，解得；④當(dāng)時(shí)，由，解得；⑤當(dāng)時(shí)，由，解得，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；時(shí)，的增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，而，因?yàn)榫鶠樯系脑龊瘮?shù)，故為上的增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因?yàn)?，所以，所以，而整?shù)，使得關(guān)于x的不等式有解，故，故存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值時(shí)，如果導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不易求得，則可以虛設(shè)零點(diǎn)，利用零點(diǎn)滿足的關(guān)系式化簡(jiǎn)最值，從而得到最值的范圍或符號(hào).7．（2021·江西撫州·高三臨川一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）若，討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）最大值為3.【分析】（1）求，計(jì)算方程的，分別討論和時(shí)的單調(diào)性，由單調(diào)性可得極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）先求出，再計(jì)算，再構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性以零點(diǎn)存在定理可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得的最小值，只需，再結(jié)合是整數(shù)即可求解.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋磺?，因?yàn)榉匠痰?，①?dāng)，即時(shí)，恒成立，此時(shí)對(duì)于恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為；②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)方程的兩根分別為和，則，，所以，，設(shè)，則，，由即可得：或，由即可得：所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；綜上所述，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.（2）時(shí)，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，而，，所以存在，使，即，故，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，因?yàn)椋吹淖畲笾禐?.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時(shí)，（1）可對(duì)不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）可根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.8．（2021秋·四川成都·高三雙流中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程(2)證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；(3)若對(duì)于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．【答案】(1)y＝－1；(2)見(jiàn)解析；(3)3﹒【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可切線；(2)先利用導(dǎo)數(shù)證明在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得證；(3)參變分離得，令，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，結(jié)合(2)中結(jié)論和隱零點(diǎn)的思維，即可得解．【詳解】（1），，，，在處的切線為；（2）證明：，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，（3），（4），在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．（3），且，，令，則，，由（2）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則，故當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，即，在，上單調(diào)遞增，，，故整數(shù)的最大值為3．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，以及不等式問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．9．（2022春·浙江舟山·高三浙江省普陀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若不等式對(duì)任意的恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值；(2)；(3).【分析】（1）利