高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第49講平面的性質(zhì)與點(diǎn)線面的位置關(guān)系(原卷版+解析)

第49講平面的性質(zhì)與點(diǎn)線面的位置關(guān)系1、平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(注意：三點(diǎn)不一定能確定一個(gè)平面)．推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．2、空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(1)兩條異面直線不能確定一個(gè)平面．(2)不能把異面直線誤解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線.(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．(4)定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么 這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．(1)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．(2)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)．(3)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個(gè)角相等．知識(shí)點(diǎn)三空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．3、知識(shí)必備1．唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．2．異面直線的兩個(gè)結(jié)論(1)平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．(2)分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面．1、【2022年新高考1卷】已知正方體ABCD?AA．直線BC1與DA1所成的角為90° B．直線BC．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°2、(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)3、(2019·全國卷Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線1、a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是()A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c2、如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線ACB．直線ABC．直線CDD．直線BC3、如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確是()A．A，M，O三點(diǎn)共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面4、在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)考向一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用例1、以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①不共面的四點(diǎn)中，任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A.0B.1C.2D.3變式1、平面α，β相交，在α，β內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定______個(gè)平面．變式2、如圖，已知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD上的點(diǎn)，且CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC.求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)直線FH，EG，AC共點(diǎn)．變式2、如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點(diǎn)，G，H分別是CD和AD上的點(diǎn).若EH與FG相交于點(diǎn)K.求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn).方法總結(jié)：1．證明點(diǎn)或線共面問題的2種方法(1)首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．2．證明點(diǎn)共線問題的2種方法(1)先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；(2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．3．證明線共點(diǎn)問題的常用方法先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)考向二判斷空間直線的位置關(guān)系例2、若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題中正確的是________．(填序號(hào))①l與l1，l2都不相交；②l與l1，l2都相交；③l至多與l1，l2中的一條相交；④l至少與l1，l2中的一條相交．變式1、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列判斷中錯(cuò)誤的是________．(填序號(hào))①M(fèi)N與CC1垂直；②MN與AC垂直；③MN與BD平行；④MN與A1B1平行．變式2、(1)(多選)(2022·福州質(zhì)檢)四棱錐P－ABCD的所有棱長都相等，M，N分別為PA，CD的中點(diǎn)，下列說法正確的是()A.MN與PD是異面直線B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關(guān)系是()A.相交但不垂直 B.相交且垂直C.異面 D.平行方法總結(jié)：1.異面直線的判定方法：(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面.(2)定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線.2.點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.考向三異面直線所成的角例3、如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)變式、(1)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6) C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)(2)(2022·湖北重點(diǎn)高中聯(lián)考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，且斜邊BC＝2，D是BC的中點(diǎn)，若AA1＝eq\r(2)，則異面直線A1C與AD所成角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°方法總結(jié)：方法總結(jié)：用平移法求異面直線所成的角的三步驟(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角1、(2022·廈門模擬)下列說法正確的是()A．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形確定一個(gè)平面B．和同一條直線異面的兩直線一定共面C．與兩異面直線分別相交的兩直線一定不平行D．一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交2、(2022·渭南模擬)在空間中，給出下面四個(gè)命題，其中假命題為________．(填序號(hào))①過平面α外的兩點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平面α垂直；②若平面β內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面α的距離都相等，則α∥β；③若直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α；④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線．3、已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(\r(3),3)4、如圖，A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角的大?。?9講平面的性質(zhì)與點(diǎn)線面的位置關(guān)系1、平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(注意：三點(diǎn)不一定能確定一個(gè)平面)．推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．2、空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(1)兩條異面直線不能確定一個(gè)平面．(2)不能把異面直線誤解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線.(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．(4)定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么 這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．(1)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．(2)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)．(3)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個(gè)角相等．知識(shí)點(diǎn)三空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．3、知識(shí)必備1．唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．2．異面直線的兩個(gè)結(jié)論(1)平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．(2)分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面．1、【2022年新高考1卷】已知正方體ABCD?AA．直線BC1與DA1所成的角為90° B．直線BC．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°【答案】ABD【解析】如圖，連接B1C、BC1，因?yàn)镈A1//B1因?yàn)樗倪呅蜝B1C1C為正方形，則B1C⊥B連接A1C，因?yàn)锳1B1⊥平面BB因?yàn)锽1C⊥BC1，A1又A1C?平面A1連接A1C1，設(shè)A因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C因?yàn)镃1O⊥B1D1，所以∠C1BO為直線B設(shè)正方體棱長為1，則C1O=22，所以，直線BC1與平面BB因?yàn)镃1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC為直線B故選：ABD2、(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)【答案】D【解析】如圖，連接C1P，因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點(diǎn)，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1?平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以有C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則在Rt△C1PB中，C1P＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).3、(2019·全國卷Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【答案】B【解析】過E作EQ⊥CD于Q，連接BD，QN，BE，易知點(diǎn)N在BD上．∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，∴EQ⊥平面ABCD，∴EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，設(shè)CD＝2，易知EQ＝eq\r(3)，QN＝1，則EN＝eq\r(EQ2＋QN2)＝eq\r(3＋1)＝2，BE＝eq\r(BC2＋CE2)＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2).易知BE＝BD，又∵M(jìn)為DE的中點(diǎn)，∴BM⊥DE，∴BM＝eq\r(BE2－EM2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7)，∴BM＝eq\r(7)>2＝EN.∴BM≠EN.又∵點(diǎn)M，N，B，E均在平面BED內(nèi)，∴BM，EN在平面BED內(nèi)，又BM與EN不平行，∴BM，EN是相交直線，故選B.1、a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是()A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c【答案】C【解析】若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．故選C.2、如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線ACB．直線ABC．直線CDD．直線BC【答案】C【解析】由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上．又因?yàn)镃∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.3、如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確是()A．A，M，O三點(diǎn)共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面【答案】A【解析】連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四點(diǎn)共面，∴A1C?平面ACC1A1，∵M(jìn)∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．∴A，M，O三點(diǎn)共線．4、在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)【答案】C【解析】如圖，因?yàn)锳B∥CD，所以AE與CD所成角為∠EAB.在Rt△ABE中，設(shè)AB＝2，則BE＝eq\r(5)，則tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2)，所以異面直線AE與CD所成角的正切值為eq\f(\r(5),2).考向一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用例1、以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①不共面的四點(diǎn)中，任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A.0B.1C.2D.3【解析】①顯然是正確的，可用反證法證明；②若A，B，C三點(diǎn)共線，則A，B，C，D，E五點(diǎn)不一定共面；③構(gòu)造長方體或正方體，如圖，顯然b，c異面，故不正確；④空間四邊形中四條線段不共面．故正確命題的個(gè)數(shù)為1.【答案】B變式1、平面α，β相交，在α，β內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定______個(gè)平面．【解析】若過四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的連線與另外兩點(diǎn)的連線相交或平行，則確定一個(gè)平面；否則確定四個(gè)平面．【答案】1或4變式2、如圖，已知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD上的點(diǎn)，且CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC.求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)直線FH，EG，AC共點(diǎn)．【解析】(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD.又CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC，所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)易知直線FH與直線AC不平行，但共面，所以設(shè)FH∩AC＝M，所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又因?yàn)槠矫鍱FHG∩平面ABC＝EG，所以M∈EG，所以FH，EG，AC共點(diǎn)變式2、如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點(diǎn)，G，H分別是CD和AD上的點(diǎn).若EH與FG相交于點(diǎn)K.求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn).證明因?yàn)镵∈EH，EH?平面ABD，所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，因此K∈BD，所以EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn).方法總結(jié)：1．證明點(diǎn)或線共面問題的2種方法(1)首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．2．證明點(diǎn)共線問題的2種方法(1)先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；(2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．3．證明線共點(diǎn)問題的常用方法先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)考向二判斷空間直線的位置關(guān)系例2、若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題中正確的是________．(填序號(hào))①l與l1，l2都不相交；②l與l1，l2都相交；③l至多與l1，l2中的一條相交；④l至少與l1，l2中的一條相交．【解析】若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，所以l至少與l1，l2中的一條相交．【答案】④變式1、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列判斷中錯(cuò)誤的是________．(填序號(hào))①M(fèi)N與CC1垂直；②MN與AC垂直；③MN與BD平行；④MN與A1B1平行．【解析】如圖，連接B1C，B1D1，則M是B1C的中點(diǎn)，MN是△B1CD1的中位線，所以MN∥B1D1.又BD∥B1D1，所以MN∥BD.因?yàn)镃C1⊥B1D1，AC⊥B1D1，所以MN⊥CC1，MN⊥AC.又因?yàn)锳1B1與B1D1相交，所以MN與A1B1不平行．故①②③正確，④錯(cuò)誤．【答案】④變式2、(1)(多選)(2022·福州質(zhì)檢)四棱錐P－ABCD的所有棱長都相等，M，N分別為PA，CD的中點(diǎn)，下列說法正確的是()A.MN與PD是異面直線B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB【答案】ABD【解析】如圖所示，取PB的中點(diǎn)H，連接MH，HC，由題意知，四邊形MHCN為平行四邊形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，設(shè)四邊形MHCN確定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P?平面α，D?MN，因此MN與PD是異面直線；故A，B說法均正確.若MN∥AC，由于CH∥MN，則CH∥AC，事實(shí)上AC∩CH＝C，C說法不正確；因?yàn)镻C＝BC，H為PB的中點(diǎn)，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D說法正確.(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關(guān)系是()A.相交但不垂直 B.相交且垂直C.異面 D.平行【答案】D【解析】連接D1E并延長，與AD交于點(diǎn)M，由A1E＝2ED，可得M為AD的中點(diǎn)，連接BF并延長，交AD于點(diǎn)N，因?yàn)镃F＝2FA，可得N為AD的中點(diǎn)，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且eq\f(ME,ED1)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,BF)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(ME,ED1)＝eq\f(MF,BF)，所以EF∥BD1.方法總結(jié)：1.異面直線的判定方法：(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面.(2)定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線.2.點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.考向三異面直線所成的角例3、如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)【答案】D【解析】連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1或其補(bǔ)角為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(4,5).變式、(1)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6) C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)【答案】C【解析】法一如圖，補(bǔ)上一相同的長方體CDEF－C1D1E1F1，連接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，則∠B1DE1為異面直線AD1與DB1所成角.因?yàn)樵陂L方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以DE1＝eq\r(DE2＋EEeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋（\r(3)）2)＝eq\r(5)，B1E1＝eq\r(A1Beq\o\al(2,1)＋A1Eeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝eq\f(22＋（\r(5)）2－（\r(5)）2,2×2×\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).法二如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM，易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角.因?yàn)樵陂L方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).(2)(2022·湖北重點(diǎn)高中聯(lián)考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，且斜邊BC＝2，D是BC的中點(diǎn)，若AA1＝eq\r(2)，則異面直線A1C與AD所成角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】如圖，取B1C1的中點(diǎn)D1，連接A1D1，則AD∥A1D1，∠CA1D1(或其補(bǔ)角)就是異面直線A1C與AD所成的角.連接D1C.∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，∴A1D1⊥平面BCC1B1，∵D1C?平面BCC1B1，∴A1D1⊥D1C，∴△A1D1C為直角三角形，在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝eq\r(3)，∴∠CA1D1＝60°.方法總結(jié)：方法總結(jié)：用平移法求異面直線所成的角的三步驟(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角1、(2022·廈門模擬)下列說法正確的是()A．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形確定一個(gè)平面B．和同一條直線異面的兩直線一定共面C．與兩異面直線分別相交的兩直線一定不平行D．一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交【答案】C【解析】兩組對(duì)邊分別相等的四邊形可能是空間四邊形，故A錯(cuò)誤；如圖1，直線DD1與B1C1都是直線AB的異面直線，同樣DD1與B1C1也是異面直線，故B錯(cuò)誤；如圖2，設(shè)直線AB與CD是異面直線，則直