山西省陽泉市城區(qū)重點名校2025年初三下學期期中（第三次月考）考試數學試題含解析

山西省陽泉市城區(qū)重點名校2025年初三下學期期中（第三次月考）考試數學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．如圖，已知數軸上的點A、B表示的實數分別為a，b，那么下列等式成立的是()A． B．C． D．2．如圖，已知邊長為2的正三角形ABC頂點A的坐標為（0，6），BC的中點D在y軸上，且在點A下方，點E是邊長為2、中心在原點的正六邊形的一個頂點，把這個正六邊形繞中心旋轉一周，在此過程中DE的最小值為（）A．3 B．4﹣ C．4 D．6﹣23．用加減法解方程組時，若要求消去，則應（）A． B． C． D．4．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=1．點P是斜邊AB上一點．過點P作PQ⊥AB，垂足為P，交邊AC（或邊CB）于點Q，設AP=x，△APQ的面積為y，則y與x之間的函數圖象大致為（）A．B．C．D．5．右圖是由四個小正方體疊成的一個立體圖形，那么它的俯視圖是（）A． B． C． D．6．內角和為540°的多邊形是（）A． B． C． D．7．下列四個圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．8．用尺現作圖的方法在一個平行四邊形內作菱形，下列作法錯誤的是（）A． B． C． D．9．我國古代數學著作《九章算術》中，將底面是直角三角形，且側棱與底面垂直的三棱柱稱為“塹堵”某“塹堵”的三視圖如圖所示（網格圖中每個小正方形的邊長均為1），則該“塹堵”的側面積為（）A．16+16 B．16+8 C．24+16 D．4+410．一個布袋內只裝有1個黑球和2個白球,這些球除顏色不同外其余都相同,隨機摸出一個球后放回攪勻,再隨機摸出一個球,則兩次摸出的球都是黑球的概率是()A． B． C． D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M，N為圓心．大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限內交于點p(a，b)，則a與b的數量關系是________．12．某班有54名學生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新學期準備調整座位，設某個學生原來的座位為（m，n），如果調整后的座位為（i，j）,則稱該生作了平移[a,b]=[m-i,n-j]，并稱a+b為該生的位置數.若某生的位置數為10，則當m+n取最小值時，m?n的最大值為_____________.13．如圖，四邊形ABCD中，∠D=∠B=90°，AB=BC，CD=4，AC=8，設Q、R分別是AB、AD上的動點，則△CQR的周長的最小值為_________．14．的倒數是_____________．15．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=2，點C在⊙O上，∠CAB=30°，D為的中點，P是直徑AB上一動點，則PC+PD的最小值為________．16．已知扇形的弧長為，圓心角為45°，則扇形半徑為_____．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）凱里市某文具店某種型號的計算器每只進價12元，售價20元，多買優(yōu)惠，優(yōu)勢方法是：凡是一次買10只以上的，每多買一只，所買的全部計算器每只就降價0.1元，例如：某人買18只計算器，于是每只降價0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所買的18只計算器都按每只19.2元的價格購買，但是每只計算器的最低售價為16元．（1）求一次至少購買多少只計算器，才能以最低價購買？（2）求寫出該文具店一次銷售x（x＞10）只時，所獲利潤y（元）與x（只）之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）一天，甲顧客購買了46只，乙顧客購買了50只，店主發(fā)現賣46只賺的錢反而比賣50只賺的錢多，請你說明發(fā)生這一現象的原因；當10＜x≤50時，為了獲得最大利潤，店家一次應賣多少只？這時的售價是多少？18．（8分）請根據圖中提供的信息，回答下列問題：一個水瓶與一個水杯分別是多少元？甲、乙兩家商場同時出售同樣的水瓶和水杯，為了迎接新年，兩家商場都在搞促銷活動，甲商場規(guī)定：這兩種商品都打八折；乙商場規(guī)定：買一個水瓶贈送兩個水杯，另外購買的水杯按原價賣．若某單位想要買5個水瓶和n（n＞10，且n為整數）個水杯，請問選擇哪家商場購買更合算，并說明理由．（必須在同一家購買）19．（8分）如圖，在樓房AB和塔CD之間有一棵樹EF，從樓頂A處經過樹頂E點恰好看到塔的底部D點，且俯角α為45°，從樓底B點1米的P點處經過樹頂E點恰好看到塔的頂部C點，且仰角β為30°.已知樹高EF=6米，求塔CD的高度（結果保留根號）.20．（8分）如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為(m，n)（m＜0，n＞0），E點在邊BC上，F點在邊OA上．將矩形OABC沿EF折疊，點B正好與點O重合，雙曲線y=k(1)若m＝－8，n＝4，直接寫出E、F的坐標；(2)若直線EF的解析式為y=3(3)若雙曲線y=k21．（8分）如圖矩形ABCD中AB=6，AD=4，點P為AB上一點，把矩形ABCD沿過P點的直線l折疊，使D點落在BC邊上的D′處，直線l與CD邊交于Q點．（1）在圖（1）中利用無刻度的直尺和圓規(guī)作出直線l．（保留作圖痕跡，不寫作法和理由）（2）若PD′⊥PD，①求線段AP的長度；②求sin∠QD′D．22．（10分）如圖，小明在一塊平地上測山高，先在B處測得山頂A的仰角為30°，然后向山腳直行60米到達C處，再測得山頂A的仰角為45°，求山高AD的長度．（測角儀高度忽略不計）23．（12分）如圖，小明今年國慶節(jié)到青城山游玩，乘坐纜車，當登山纜車的吊箱經過點A到達點B時，它經過了200m，纜車行駛的路線與水平夾角∠α＝16°，當纜車繼續(xù)由點B到達點D時，它又走過了200m，纜車由點B到點D的行駛路線與水平面夾角∠β＝42°，求纜車從點A到點D垂直上升的距離．(結果保留整數)(參考數據：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74)24．我市某外資企業(yè)生產的一批產品上市后30天內全部售完，該企業(yè)對這批產品上市后每天的銷售情況進行了跟蹤調查．其中，國內市場的日銷售量y1（萬件）與時間t（t為整數，單位：天）的部分對應值如下表所示．而國外市場的日銷售量y2（萬件）與時間t（t為整數，單位：天）的關系如圖所示．（1）請你從所學過的一次函數、二次函數和反比例函數中確定哪種函數能表示y1與t的變化規(guī)律，寫出y1與t的函數關系式及自變量t的取值范圍；（2）分別探求該產品在國外市場上市20天前（不含第20天）與20天后（含第20天）的日銷售量y2與時間t所符合的函數關系式，并寫出相應自變量t的取值范圍；（3）設國內、外市場的日銷售總量為y萬件，寫出y與時間t的函數關系式，并判斷上市第幾天國內、外市場的日銷售總量y最大，并求出此時的最大值．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、B【解析】

根據圖示，可得：b＜0＜a，|b|＞|a|，據此判斷即可．【詳解】∵b＜0＜a，|b|＞|a|，

∴a+b＜0，

∴|a+b|=-a-b．

故選B．此題主要考查了實數與數軸的特征和應用，以及絕對值的含義和求法，要熟練掌握．2、B【解析】分析：首先得到當點E旋轉至y軸上時DE最小，然后分別求得AD、OE′的長，最后求得DE′的長即可．詳解：如圖，當點E旋轉至y軸上時DE最??；∵△ABC是等邊三角形，D為BC的中點，∴AD⊥BC∵AB=BC=2∴AD=AB?sin∠B=，∵正六邊形的邊長等于其半徑，正六邊形的邊長為2，∴OE=OE′=2∵點A的坐標為（0，6）∴OA=6∴DE′=OA-AD-OE′=4-故選B．點睛：本題考查了正多邊形的計算及等邊三角形的性質，解題的關鍵是從圖形中整理出直角三角形．3、C【解析】

利用加減消元法消去y即可．【詳解】用加減法解方程組時，若要求消去y，則應①×5+②×3，

故選C此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．4、D【解析】解：當點Q在AC上時，∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=xtan30°=33x，∴y=12×AP×PQ=12×x×33當點Q在BC上時，如下圖所示：∵AP=x，AB=1，∠A=30°，∴BP=1﹣x，∠B=60°，∴PQ=BP?tan60°=3（1﹣x），∴SΔAPQ=12AP?PQ=12點睛：本題考查動點問題的函數圖象，有一定難度，解題關鍵是注意點Q在BC上這種情況．5、B【解析】解：從上面看，上面一排有兩個正方形，下面一排只有一個正方形，故選B．6、C【解析】試題分析：設它是n邊形，根據題意得，（n﹣2）?180°=140°，解得n=1．故選C．考點：多邊形內角與外角．7、D【解析】

根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確．故選D．此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．8、A【解析】

根據菱形的判定方法一一判定即可【詳解】作的是角平分線，只能說明四邊形ABCD是平行四邊形，故A符合題意B、作的是連接AC，分別做兩個角與已知角∠CAD、∠ACB相等的角，即∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，能得到AB=BC,AD=CD,又AB∥CD，所以四邊形ABCD為菱形，B不符合題意C、由輔助線可知AD=AB=BC，又AD∥BC，所以四邊形ABCD為菱形，C不符合題意D、作的是BD垂直平分線，由平行四邊形中心對稱性質可知AC與BD互相平分且垂直，得到四邊形ABCD是菱形，D不符合題意故選A本題考查平行四邊形的判定，能理解每個圖的作法是本題解題關鍵9、A【解析】

分析出此三棱柱的立體圖像即可得出答案.【詳解】由三視圖可知主視圖為一個側面，另外兩個側面全等，是長×高=×4=，所以側面積之和為×2+4×4=16+16,所以答案選擇A項.本題考查了由三視圖求側面積，畫出該圖的立體圖形是解決本題的關鍵.10、D【解析】試題分析：列表如下

黑

白1

白2

黑

（黑，黑）

（白1，黑）

（白2，黑）

白1

（黑，白1）

（白1，白1）

（白2，白1）

白2

（黑，白2）

（白1，白2）

（白2，白2）

由表格可知，隨機摸出一個球后放回攪勻，再隨機摸出一個球所以的結果有9種，兩次摸出的球都是黑球的結果有1種，所以兩次摸出的球都是黑球的概率是．故答案選D．考點：用列表法求概率．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、a+b=1．【解析】試題分析：根據作圖可知，OP為第二象限角平分線，所以P點的橫縱坐標互為相反數，故a+b=1.考點：1角平分線；2平面直角坐標系.12、36【解析】

10=a+b=(m-i)+(n-j)=(m+n)-(i+j)所以：m+n=10+i+j當(m+n)取最小值時，(i+j)也必須最小，所以i和j都是2，這樣才能(i+j)才能最小，因此：m+n=10+2=12也就是：當m+n=12時，m·n最大是多少？這就容易了：m·n<=36所以m·n的最大值就是3613、【解析】

作C關于AB的對稱點G，關于AD的對稱點F，可得三角形CQR的周長＝CQ＋QR＋CR＝GQ＋QR＋RF≥GF．根據圓周角定理可得∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CBD＝∠CAD＝30°，由于GF＝2BD，在三角形CBD中，作CH⊥BD于H，可求BD的長，從而求出△CQR的周長的最小值．【詳解】解：作C關于AB的對稱點G，關于AD的對稱點F，則三角形CQR的周長＝CQ＋QR＋CR＝GQ＋QR＋RF＝GF，在Rt△ADC中，∵sin∠DAC＝，∴∠DAC＝30°，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴A，B，C，D四點共圓，∴∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CBD＝∠CAD＝30°在三角形CBD中，作CH⊥BD于H，BD＝DH＋BH＝4×cos45°＋×cos30°＝，∵CD＝DF，CB＝BG，∴GF＝2BD＝，△CQR的周長的最小值為．本題考查了軸對稱問題，關鍵是根據軸對稱的性質和兩點之間線段最短解答．14、【解析】先把帶分數化成假分數可得:,然后根據倒數的概念可得:的倒數是,故答案為:.15、【解析】

作出D關于AB的對稱點D’，則PC+PD的最小值就是CD’的長度，在△COD'中根據邊角關系即可求解.【詳解】解：如圖：作出D關于AB的對稱點D’，連接OC，OD'，CD'.又∵點C在⊙O上，∠CAB=30°，D為弧BC的中點，即，∴∠BAD'=∠CAB=15°.∴∠CAD'=45°.∴∠COD'=90°.則△COD'是等腰直角三角形.∵OC=OD'=AB=1，故答案為：.本題考查了軸對稱-最短路線問題，勾股定理，垂徑定理，正確作出輔助線是解題的關鍵.16、1【解析】

根據弧長公式l=代入求解即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為1．本題考查了弧長的計算，解答本題的關鍵是掌握弧長公式：l=．三、解答題（共8題，共72分）17、（1）1；（3）；（3）理由見解析，店家一次應賣45只，最低售價為16.5元，此時利潤最大．【解析】試題分析：（1）設一次購買x只，由于凡是一次買10只以上的，每多買一只，所買的全部計算器每只就降低0.10元，而最低價為每只16元，因此得到30﹣0.1（x﹣10）=16，解方程即可求解；（3）由于根據（1）得到x≤1，又一次銷售x（x＞10）只，因此得到自變量x的取值范圍，然后根據已知條件可以得到y(tǒng)與x的函數關系式；（3）首先把函數變?yōu)閥=-0.1x2+9x試題解析：（1）設一次購買x只，則30﹣0.1（x﹣10）=16，解得：x=1．答：一次至少買1只，才能以最低價購買；（3）當10＜x≤1時，y=[30﹣0.1（x﹣10）﹣13]x=-0.1x綜上所述：；（3）y=-0.1x2+9x②當45＜x≤1時，y隨x的增大而減小，即當賣的只數越多時，利潤變?。耶攛=46時，y1=303.4，當x=1時，y3=3．∴y1＞y3．即出現了賣46只賺的錢比賣1只賺的錢多的現象．當x=45時，最低售價為30﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此時利潤最大．故店家一次應賣45只，最低售價為16.5元，此時利潤最大．考點：二次函數的應用；二次函數的最值；最值問題；分段函數；分類討論．18、（1）一個水瓶40元，一個水杯是8元；（2）當10＜n＜25時，選擇乙商場購買更合算．當n＞25時，選擇甲商場購買更合算．【解析】

（1）設一個水瓶x元，表示出一個水杯為（48﹣x）元，根據題意列出方程，求出方程的解即可得到結果；（2）計算出兩商場得費用，比較即可得到結果．【詳解】解：（1）設一個水瓶x元，表示出一個水杯為（48﹣x）元，根據題意得：3x+4（48﹣x）＝152，解得：x＝40，則一個水瓶40元，一個水杯是8元；（2）甲商場所需費用為（40×5+8n）×80%＝160+6.4n乙商場所需費用為5×40+（n﹣5×2）×8＝120+8n則∵n＞10，且n為整數，∴160+6.4n﹣（120+8n）＝40﹣1.6n討論：當10＜n＜25時，40﹣1.6n＞0，160+0.64n＞120+8n，∴選擇乙商場購買更合算．當n＞25時，40﹣1.6n＜0，即160+0.64n＜120+8n，∴選擇甲商場購買更合算．此題主要考查不等式的應用，解題的關鍵是根據題意找到等量關系與不等關系進行列式求解.19、（6+2）米【解析】

根據題意求出∠BAD=∠ADB=45°，進而根據等腰直角三角形的性質求得FD，在Rt△PEH中，利用特殊角的三角函數值分別求出BF，即可求得PG，在Rt△PCG中，繼而可求出CG的長度．【詳解】由題意可知∠BAD=∠ADB=45°，∴FD=EF=6米，在Rt△PEH中，∵tanβ==,∴BF==5，∴PG=BD=BF+FD=5+6，∵tanβ=,∴CG=（5+6）·=5+2，∴CD=（6+2）米.本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數的知識求解相關線段的長度．20、（1）E(－3，4)、F(－5，0)；（2）-334【解析】

(1)連接OE,BF,根據題意可知：BC=OA=8,BA=OC=4,設EC=x,則BE=OE=8-x,根據勾股定理可得：OC2+CE2(2)連接BF、OE，連接BO交EF于G由翻折可知：GO＝GB，BE＝OE，證明△BGE≌△OGF，證明四邊形OEBF為菱形，令y＝0，則3x+3=0，解得x=-3，根據菱形的性質得OF=OE=BE=BF=3令y＝n，則3x+3=n，解得x=n-33(3)設EB=EO=x，則CE=－m－x，在Rt△COE中，根據勾股定理得到(－m－x)2＋n2＝x2，解得x=-m2+n22m，求出點E(m2-n22m?，?n)、F(即可求出tan∠EFO＝-m【詳解】解：(1)如圖：連接OE,BF,E(－3，4)、F(－5，0)(2)連接BF、OE，連接BO交EF于G由翻折可知：GO＝GB，BE＝OE可證：△BGE≌△OGF（ASA）∴BE＝OF∴四邊形OEBF為菱形令y＝0，則3x+3=0，解得x=-3令y＝n，則3x+3=n，解得x=n-3在Rt△COE中，(-n-3解得n=3∴E(-3∴k=-(3)設EB=EO=x，則CE=－m－x，在Rt△COE中，(－m－x)2＋n2＝x2，解得x=-∴E(m2-n∴EF的中點為(m2將E(m2-n22mn(m2-n∴tan∠EFO＝-考查矩形的折疊與性質，勾股定理，一次函數的圖象與性質，待定系數法求反比例函數解析式，銳角三角函數等，綜合性比較強，難度較大.21、（1）見解析；（2）【解析】

（1）根據題意作出圖形即可；（2）由（1）知，PD=PD′，根據余角的性質得到∠ADP=∠BPD′，根據全等三角形的性質得到AD=PB=4，得到AP=2；根據勾股定理得到PD==2，根據三角函數的定義即可得到結論．【詳解】（1）連接PD，以P為圓心，PD為半徑畫弧交BC于D′，過P作DD′的垂線交CD于Q，則直線PQ即為所求；（2）由（1）知，PD=PD′，∵PD′⊥PD，∴∠DPD′=90°，∵∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=∠APD+∠BPD′=90°，∴∠ADP=∠BPD′，在△ADP與△BPD′中，，∴△ADP≌△BPD′，∴AD=PB=4，AP=BD′∵PB=AB﹣AP=6﹣AP=4，∴AP=2；∴PD==2，BD′=2∴CD′=BC-BD′=4-2=2∵PD=PD′，PD⊥PD′，∵DD′=PD=2，∵PQ垂直平分DD′，連接QD′則DQ=D′Q∴∠QD′D=∠QDD′∴sin∠QD′D=sin∠QDD′=．本題考查了作圖-軸對稱變換，矩形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．22、30米【解析】

設AD＝xm，在Rt△ACD中，根據正切的概念用x表示出CD，在Rt△ABD中，根據正切的概念列出方程求出x的值即可．【詳解】由題意得，∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，BC＝60m，設AD＝xm，在