《線性代數(shù)》教學大綱

《線性代數(shù)》教學大綱

教學目的和要求：

線性代數(shù)是數(shù)學學科中的一門重要基礎(chǔ)課程，也是高等院校大部分專業(yè)的主要基礎(chǔ)理論課，對于培養(yǎng)面向21世紀人才起著重耍的作用。目前也是華東師范大學各專業(yè)的重要基礎(chǔ)課之一本課程主要學習線性代數(shù)中行列式，矩陣，n維向量和線性方程組，向量空間，矩陣的特征值和特征向量，二次型，線性變換的基本概念，基本計算及有關(guān)的計算方法。為適應(yīng)培養(yǎng)面向21世紀人才的需要，要求學生比校系統(tǒng)理解線性代數(shù)的基本概念，基本理論，掌握線性代數(shù)的基本計算方法。要求較好地理解線性代數(shù)這門課的抽象理論，具有嚴謹邏輯推理能力，空間想象能力，運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

教學基本內(nèi)容和學時分配：

第一章:行列式

教學內(nèi)容:行列式的定義，行列式的基本性質(zhì)，行列式按行(列)展開定理，行列式的計算，克萊姆法則。教學要求:理解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)，會用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開定理計算行列式，會用克萊姆法則解線性方程組。

第二章:矩陣

教學內(nèi)容:矩陣的概念，矩陣的線性運算，矩陣的乘法，方陣的冪，方陣乘積的行列式，矩陣的轉(zhuǎn)置，逆矩陣的概念和性質(zhì)，矩陣可逆的充要條件，伴隨矩陣，矩陣的初等變換，初等矩陣，矩陣的等價，矩陣的秩，初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法，分塊矩陣及其運算。教學要求:理解矩陣的概念，了解單位矩陣，對角矩陣，數(shù)量矩陣，三角矩陣，對稱矩陣，正交矩陣，掌握矩陣的加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置及它們的運算法則，了解方陣的方冪和方陣乘積的行列式。理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充要條件，會用伴隨矩陣求逆矩陣，了解矩陣的初等變換和初等矩陣的概念，理解矩陣秩的概念。掌握矩陣的初等變換，會用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣，了解分塊矩陣掌握分塊矩陣的運算法則。

第三章：n維向量與線性方程組

教學內(nèi)容：向量的概念、向量的線性組合和線性表示、向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量組的極大線性無關(guān)組、等價向量組、向量組的秩、向量組的秩和矩陣的秩之間的關(guān)系、齊次線性方程組有非零解的充要條件、非齊次線性方程組有解的充要條件、線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組及基礎(chǔ)解系和通解，非齊次線性方程組的通解，行初等變換求線性方程組的方法。

教學要求：理解向量的概念、掌握向量的加法和數(shù)乘運算法則，理解向量的線性組合線性表示，向量組的線性相關(guān)線性無關(guān)的定義，掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)和判別法。理解向量組的極大線性無關(guān)組和向量組秩的概念會求向量組的極大線性無關(guān)組及向量組的秩，了解向量組等價的概念，向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。理解齊次線性方程組有非零解的充要條件，掌握非齊次線性方程有解和無解的判別方法。理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解的概念，掌握齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法。理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和通解的概念，掌握非齊次線性方程組通解的求法，掌握用行初等變換求解線性方程組的方法。

第四章

向量空間

教學內(nèi)容：空間的基、維數(shù)與坐標，子空間，n維向量空間的基變換和坐標變換、過渡矩陣、向量的內(nèi)積線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法，規(guī)范正交基、正交矩陣及其性質(zhì)教學要求：了解集合、數(shù)域的概念，了解n維向量空間，子空間、基、維數(shù)，坐標的概念，掌握求n維向量空間的基和維數(shù)，判別子空間，了解基變換與坐標變換公式，會求過渡矩陣，理解內(nèi)積的概念，掌握線性無關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法，了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念，以及它們的性質(zhì)。

第五章

矩陣的特征值和特征向量

教學內(nèi)容:矩陣的特征值和特征向量的概念，性質(zhì)及求法，相似變換，相似矩陣的概念及性質(zhì)、矩陣可對角化的充要條件及相似對角矩陣，實對稱矩陣的特征值、特征向量及相似對角矩陣。教學要求理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)掌握求矩陣的特征值和特征向量的方法。理解相似矩陣的概念，性質(zhì)及矩陣可相似對角陣的充要條件，掌握用相似變換化矩陣為對角陣的方法。了解實對稱矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，掌握用相似變換化實對稱矩陣為對角陣的方法。

第六章

二次型

教學內(nèi)容：二次型及其矩陣表示，合同變換與合同矩陣、二次型的秩、慣性定理、二次型的標準形與規(guī)范形、用矩陣的初等變換和配方法化二次型為標準型，正定二次型與正定矩陣及其判別法，用正交變換化二次型為標準形。教學要求：了解二次型的概念，掌握用矩陣表示二次型，了解二次型的秩，合同矩陣的概念，理解二次型的標準形、規(guī)范形概念以及慣性定理，掌握用矩陣的初等變換和配方法化二次為標準形。理解正定二次型與正定矩陣的概念，掌握正定二次型與正定矩陣判別法。掌握用正定矩陣化二次型為標準形的方法。

第七章

線性變換

教學內(nèi)容：線性變換的概念及其運算，線性變換的性質(zhì)，線性變換的矩陣，線性變換在不同基矩陣的關(guān)系，歐氏空間的正交變換與對稱變換。教學要求：了解線性變換的概念及其運算的法則，了解線性變換在基下的矩陣，掌握線性變換運算與矩陣運算的運算法則，了解線性變換在不同基下的矩陣關(guān)系，了解正交變換，對稱變換的概念及其性質(zhì)。

《高等數(shù)學（B）》教學大綱

教學目的和要求：高等數(shù)學是高等院校大部分專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)理論課，是深入學習專業(yè)課程的必備基礎(chǔ)。

隨著數(shù)學在各學科中的應(yīng)用日夜廣泛，作為地理、環(huán)科、心理等專業(yè)的學生無論將來從事科研工作還是教學工作，都應(yīng)該具備良好的數(shù)學基礎(chǔ)和靈活應(yīng)用數(shù)學的能力。本課程主要學習一元函數(shù)和多元函數(shù)的微積分學，以及無窮級數(shù)和常微分方程的主要內(nèi)容，是將來進一步學習專業(yè)知識的必備的數(shù)學基礎(chǔ)。為適應(yīng)地理、環(huán)科等各類專業(yè)的特點和要求，使用本大綱應(yīng)當遵循以下原則：強調(diào)基本概念的實際意義，而不追求概念的抽象性；強調(diào)基本理論的實際應(yīng)用，而不追求理論的完備性；強調(diào)基本計算方法的實際操作，而不追求計算的技巧。

教學基本內(nèi)容和學時分配：

第一章

函數(shù)（4學時）

教學內(nèi)容

1、函數(shù)的概念

鄰域；函數(shù)及其表示法

2、具有某些特性的函數(shù)

有界函數(shù)；單調(diào)函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)；周期函數(shù)。

3、初等函數(shù)

反函數(shù)；復合函數(shù)；初等函數(shù)

第二章

極限和連續(xù)（14學時）

教學內(nèi)容

1、數(shù)列及其極限

2、自變量趨于無窮大時的函數(shù)極限

自變量趨于無窮大時的函數(shù)極限；數(shù)列極限

3、自變量趨于有限值時的函數(shù)極限

函數(shù)極限的定義；左、右極限；函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系。

4、極限的性質(zhì)

收斂數(shù)列的性質(zhì)；函數(shù)極限的性質(zhì)。

5、無窮小量，無窮大量和極限的運算法則

無窮小量；無窮大量；無窮小量的四則運算；極限的四則運算法則；極限的復合運算法則。

6、極限存在條件和兩個重要極限

數(shù)列極限存在條件；函數(shù)極限存在條件；兩個重要極限

7、無窮大量和無窮小量的比較

8、連續(xù)函數(shù)

函數(shù)的連續(xù)性；間斷點及其分類；連續(xù)函數(shù)的運算和初等函數(shù)的連續(xù)性。

9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

最大、最小值定理與有界性定理；介值定理與根的存在性定理

第三章

導數(shù)與微分（14學時）

教學內(nèi)容

1、導數(shù)的定義

導數(shù)的定義；導函數(shù)；導數(shù)的幾何意義和物理意義；可導性與連續(xù)性的關(guān)系。

2、求導法則

導數(shù)的四則運算法則；反函數(shù)的導數(shù)；復合函數(shù)的導數(shù)；基本求導法則與導數(shù)基本公式

3、隱函數(shù)的導數(shù)；參變量函數(shù)的導數(shù)；平面曲線的切線和法線及其方程；導數(shù)的應(yīng)用舉例

4、微分

微分的概念；微分的基本公式及運算法則；一階微分形式的不變性；微分在近似計算中的應(yīng)用

5、高階導數(shù)

高階導數(shù)的概念；某些簡單函數(shù)的n階導數(shù)

第四章

微分中值定理與導數(shù)的應(yīng)用（14學時）

教學內(nèi)容

1、中值定理

羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理

2、不定式的極限

型與型不定式的極限；其它類型不定式的極限

3、函數(shù)的單調(diào)性和極值

函數(shù)單調(diào)性的判別法；函數(shù)極值的判別法；函數(shù)的最大值和最小值及其簡單應(yīng)用

4、函數(shù)圖象的討論

曲線的凸凹性與拐點；曲線的漸近線；函數(shù)作圖

5、曲率

曲率的概念；曲率半徑

6、方程的近似解（牛頓切線法）

第五章

不定積分（12學時）

教學內(nèi)容

1、不定積分的概念與基本積分公式

原函數(shù)與不定積分；基本積分表；不定積分的性質(zhì)

2、換元積分法

第一類換元積分法；第二類換元積分法

3、分部積分法

4、幾類特殊函數(shù)的不定積分

有理函數(shù)的不定積分；三角函數(shù)有理式的不定積分；某些簡單無理函數(shù)的不定積分

第六章

定積分（14學時）

教學內(nèi)容

1、定積分的概念

定積分的定義；定積分的幾何意義

2、牛頓-萊布尼茲公式和定積分的性質(zhì)

牛頓-萊布尼茲公式；定積分的性質(zhì)；積分上限函數(shù)及其導數(shù)

3、定積分的換元積分法與分部積分法

4、定積分的近似計算

矩形法；梯形法；拋物線法

5、定積分的應(yīng)用

平面圖形的面積；已知平行截面面積求立體體積和旋轉(zhuǎn)體的體積；平面曲線的弧長；旋轉(zhuǎn)曲面面積；定積分在物理學上的某些應(yīng)用（變力作功，壓力，引力，函數(shù)的平均值）。

6、廣義積分

無限區(qū)間上的廣義積分；無界函數(shù)的廣義積分

第七章

無窮級數(shù)（22學時）

教學內(nèi)容

1、數(shù)項級數(shù)的收斂性及其性質(zhì)

無窮級數(shù)的概念；級數(shù)收斂的條件；收斂級數(shù)的性質(zhì)

2、正項級數(shù)

正項級數(shù)的收斂準則；比較判別法；比值判別法和根式判別法

3、任意項級數(shù)

交錯級數(shù)及萊布尼茨判別法；任意項級數(shù)的絕對收斂和條件收斂；絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)

4、冪級數(shù)

函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念；冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域；冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)；簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法

5、冪級數(shù)的應(yīng)用

泰勒級數(shù)；泰勒中值定理；初等函數(shù)的冪級數(shù)展開；近似計算

第九章

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（18學時）

教學內(nèi)容

1、多元函數(shù)

多元函數(shù)的概念；二元函數(shù)的幾何意義；二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念；有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

2、多元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分

偏導數(shù)；二階偏導數(shù)；全微分；全微分在近似計算中的應(yīng)用

3、復合函數(shù)和隱函數(shù)的微分法

復合函數(shù)的偏導數(shù)；一階全微分形式不變性；隱函數(shù)的微分法

4、方向?qū)?shù)與梯度

方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計算

5、多元函數(shù)微分學的幾何應(yīng)用

空間曲線的切線與法平面；曲面的切平面與法線

6、多元函數(shù)的泰勒公式與極值

二元函數(shù)的二階泰勒公式；多元函數(shù)的極值和條件極值的概念；多元函數(shù)極值的必要條件；二元函數(shù)極值的充分條件；極值的求法；拉格朗日乘數(shù)法；多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用

第十章

重積分及其應(yīng)用（16學時）

教學內(nèi)容

1、重積分的概念與性質(zhì)

二重積分的概念、二重積分的性質(zhì)；三重積分的概念和性質(zhì)

2、二重積分的計算

化二重積分為累次積分；用極坐標計算二重積分

3、三