2024-2025學(xué)年廣東省深圳市福田外國(guó)語學(xué)校九年級(jí)（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省深圳市福田外國(guó)語學(xué)校九年級(jí)（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，同學(xué)們利用幾何畫板繪制出了下列曲線，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是(

)A.三葉玫瑰線 B.笛卡爾心形線

C.蝴蝶曲線 D.四葉玫瑰線2.下列各等式從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是(

)A.(3?x)(3+x)=9?x2 B.8x=2×4x

C.x23.已知點(diǎn)P(m?3,m?1)在第二象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是(

)A.B.C.D.4.小明在解關(guān)于x的分式方程xx+1=？x+1A.?1 B.1 C.2 D.?25.下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習(xí)題及解答過程：已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，連接BM并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)D，連接CD．

求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．

∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，

∴①______．

又∵∠4=∠5，MA=MC，

∴△MAD≌△MCB(②______)．

∴MD=MB.∴四邊形ABCD是平行四邊形．若以上解答過程正確，①，②應(yīng)分別為(

)A.∠1=∠3，AAS B.∠1=∠3，ASA

C.∠2=∠3，AAS D.∠2=∠3，ASA6.某單位向一所希望小學(xué)贈(zèng)送了1080件文具，現(xiàn)用A、B兩種不同的包裝箱進(jìn)行包裝，已知每個(gè)B型包裝箱比A型包裝箱多裝15件文具，單獨(dú)使用B型包裝箱比單獨(dú)使用A型包裝箱可少用12個(gè)，設(shè)B型包裝箱每個(gè)可以裝x件文具，根據(jù)題意列方程為(

)A.1080x=1080x?15+12 B.1080x7.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，過點(diǎn)A作AD//BC，連接CD與AB交于點(diǎn)F，E是邊DF的中點(diǎn)，∠ACD=2∠D，若DF=8，BC=6，則AB的長(zhǎng)為A.25 B.22 C.8.如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD，∠ADC=120°，∠CBA=60°，BC=2，AB=5，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)是(

)A.733

B.732二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。9.分解因式：3a3?12a=

．10.若代數(shù)式52x+6在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______．11.如圖所示，一次函數(shù)y=kx+b與y=?2x+4的交點(diǎn)坐標(biāo)為(12,3)，則不等式kx+b≥?2x+412.如圖，AD為△ABC中∠BAC的外角平分線，BD⊥AD于D，E為BC中點(diǎn)，DE=5，AC=3，則AB長(zhǎng)為______．13.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=43，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，連接AP，以A為中心，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ，連接CQ、DQ，且∠BCQ=∠DCQ，則CQ的長(zhǎng)度為______．三、解答題：本題共7小題，共61分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題5分)

解方程：xx?2+3=x?415.(本小題7分)

先化簡(jiǎn)：(1+3x?1)÷x2?4x?1，再?gòu)?1，0，116.(本小題8分)

如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(?3,0)，B(?5,3)，C(?1,1)．

(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形△A1B1C1；

(2)P(a,b)是△ABC的AC邊上一點(diǎn)，將△ABC平移后點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)P′(a+4,b+2)，請(qǐng)畫出平移后的△A2B217.(本小題8分)

端午節(jié)主要風(fēng)俗有掛鐘道像、賽龍舟、飲用雄黃酒、吃五毒餅、咸蛋、粽子等，在端午節(jié)來臨之際，某單位準(zhǔn)備購(gòu)買粽子和咸蛋共30盒分發(fā)給員工回家過節(jié).其中粽子比咸蛋每盒貴20元．

(1)若用700元購(gòu)買咸蛋與用900元購(gòu)買粽子的數(shù)量相同，求粽子和咸蛋每盒的價(jià)格；

(2)在(1)的條件下，若購(gòu)買咸蛋數(shù)量不超過粽子數(shù)量的2倍，如何購(gòu)買才能使總費(fèi)用最少？18.(本小題9分)

如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn).某數(shù)學(xué)興趣小組要在AC上找兩個(gè)點(diǎn)E，F(xiàn)，使四邊形BEDF為平行四邊形，現(xiàn)總結(jié)出甲、乙兩種方案如下：甲方案乙方案

在AO，CO上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得AE=CF

作BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F請(qǐng)回答下列問題：

(1)選擇其中一種方案，并證明四邊形BEDF為平行四邊形；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，若EF=3AE，S△AED=5，則?ABCD19.(本小題12分)

如圖①②，在四邊形ABCD中，AD//BC，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(?1,3)，B(?2,0)，C(3,0)，D(2,3)，∠ABC=60°，動(dòng)點(diǎn)N從C開始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段CB向B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B開始運(yùn)動(dòng)，N、M同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

請(qǐng)回答下列問題：

(1)AB=______，AD=______；

(2)如圖①，若點(diǎn)M沿折線BA?AD?DC向C運(yùn)動(dòng)，

①t為何值時(shí)，MN⊥AB，請(qǐng)說明理由；

②t為何值時(shí)，以點(diǎn)M、N和四邊形ABCD的任意兩個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖②，若點(diǎn)M沿射線BA運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段MN被AD平分時(shí)，直接寫出點(diǎn)20.(本小題12分)

綜合與實(shí)踐

問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：如圖1，在?ABCD中，∠ADC=90°，點(diǎn)O是邊AD的中點(diǎn)，連接AC.保持?ABCD不動(dòng)，將△ADC從圖1的位置開始，繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，點(diǎn)A，D，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G.當(dāng)線段AB與線段FG相交于點(diǎn)M(點(diǎn)M不與點(diǎn)A，B，F(xiàn)，G重合)時(shí)，連接OM.老師要求各個(gè)小組結(jié)合所學(xué)的圖形變換的知識(shí)展開數(shù)學(xué)探究．

初步思考：(1)如圖2，連接FD，“勤學(xué)”小組在旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)FD//OM，請(qǐng)你證明這一結(jié)論；

操作探究：(2)如圖3，連接BG，“善思”小組在旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)OM垂直平分BG，請(qǐng)你證明這一結(jié)論；

拓展延伸：(3)已知AD=22，CD=2，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)以點(diǎn)F，C，D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段AM的長(zhǎng)度．

參考答案1.D

2.C

3.D

4.A

5.D

6.B

7.C

8.A

9.3a(a+2)(a?2)

10.x>?3

11.x≥112.7

13.414.解：xx?2+3=x?42?x，

方程兩邊都乘x?2，得x+3(x?2)=?(x?4)，

解得：x=2，

檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，x?2=0，

所以x=215.解：(1+3x?1)÷x2?4x?1

=(x?1x?1+3x?1)?x?1(x?2)(x+2)

=x+2x?1?x?116.(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求；

(2)如圖所示，△A2B2C217.解：(1)設(shè)粽子每盒的價(jià)格為x元，則咸蛋每盒的價(jià)格為(x?20)元，

由題意得：700x?20=900x，

解得：x=90，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=90是原方程的解，且符合題意，

∴x?20=90?20=70，

答：粽子每盒的價(jià)格為90元，咸蛋每盒的價(jià)格為70元；

(2)設(shè)購(gòu)買咸蛋為m盒，則購(gòu)買粽子為(30?m)盒，

由題意得：m≤2(30?m)，

解得：m≤20，

設(shè)總費(fèi)用為w元，

則w=70m+90(30?m)=?20m+2700，

∵?20<0，

∴w隨m的增大而減小，

∴當(dāng)m=20時(shí)，w最小，

此時(shí)，30?m=30?20=10，

答：購(gòu)買咸蛋2018.(1)甲方案，證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB//CD，AB=CD，

∴∠BAE=∠DCF，

在△ABE和△CDF中，

AB=CD∠BAE=DCFAE=CF，

∴△ABE≌△CDF(SAS)，

∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，

∵∠BEF=180°?∠AEB，∠DFE=180°?∠CFD，

∴∠BEF=∠DFE，

∴BE//DF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形．

乙方案，證明：∵BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，

∴BE//DF，∠AEB=∠CFD=90°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB//CD，AB=CD，

∴∠BAE=∠DCF，

在△ABE和△CDF中，

∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD，

∴△ABE≌△CDF(AAS)，

∴BE=DF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)由(1)得△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∵EF=3AE，

∴AC=5AE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴S△ABC=S△ADC=5S△AED=5×5=25，

∴S?ABCD=2×25=50，

19.(1)2，3；

(2)①由題意知N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)為(3?t,0)，

∵M(jìn)N⊥AB，

∴△BMN是直角三角形，

∵∠ABC=60°，

∴∠BNM=30°，

∴BM=2t，BN=(5?t)2(0<t≤1)，

∴BMBN=2t(5?t)2=12，

即4t=5?t或4t=t?5，

解得t=1或t=?53(舍去)，

∴t=1時(shí)，MN⊥AB；

②由題意，分兩種情況，當(dāng)MD/?/NC時(shí)，MN//AB時(shí)，

由題得當(dāng)1≤t<52時(shí)，M點(diǎn)在AD上運(yùn)動(dòng)，

若想M，N與四邊形ABCD的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，MN//CD，

即MD//NC且MD=NC，

∵M(jìn)D=AD?AM=3?(2t?2)=5?2t，NC=t，

∴5?2t=t，

∴t=53；

當(dāng)MN//AB時(shí)，

根據(jù)題意，BH=AB?sin30°=1，

∴BC=1+1+3=5，

∴AM=2t?2，NB=5?t，

∴2t?2=5?t，

∴t=73；

當(dāng)AM=NC時(shí)，

2t?2=t，

∴t=2；

故t的值為53或73或2；

(3)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

代入A，B兩點(diǎn)，

則3=?k+b0=?2k+b，

得k=3b=23，

∴y=3x+23，

∴M(x,3x+23)N(3t,0)，

∵M(jìn)N被AD平分，

∴MN的中點(diǎn)P(3?t+x2,3x+232)，

∵P在線段AD上，

∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，

∴3x+232=3，

∴x=0，

∴y=3x+23=23，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,23)，

20.(1)證明：如圖1，連接CF，DF，

∵將△ADC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，

∴∠ADC=∠EFG，OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD，

∵∠ADC=90°，

∴∠EFG=90°，

∵點(diǎn)O是邊AD的中點(diǎn)，

∴OA=OD，

∴OA=OF．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB//CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

又∵∠ADC=90°，

∴∠BAD=180°?90°=90°，

∴∠BAD=∠EFG=90°，

∵在Rt△OAM和Rt△OFM中，

OM=OM,OA=OF,

∴Rt△OAM≌Rt△OFM(HL)，

∴∠AOM=∠FOM，

∵∠AOF是△OFD的一個(gè)外角，

∴∠AOF=∠AOM+∠FOM=∠ODF+∠OFD，

即2∠AOM=2∠ODF，

∴∠AOM=∠ODF，

∴FD//OM；

(2)證明：如圖2，延長(zhǎng)OM交BG于點(diǎn)N，

由(1)知：Rt△OAM≌Rt△OFM，

∴AM=FM，∠AMO=∠FMO，

∵將△ADC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，

∴CD=GF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，

∴AB=GF，

∴AB?AM=GF?MF，

即BM=GM，

∵∠AMO=∠FMO，∠AMO=∠BMN，∠FMO=∠GMN，

∴∠BMN=∠GMN，

∴OM垂直平分BG；

(3)解：∵以點(diǎn)F，C，D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，

∴FC=FD或FC=CD或FD=CD，

當(dāng)FC=FD時(shí)，如圖3，過點(diǎn)F作FH⊥CD于H，交AB于L，過點(diǎn)O作OK⊥FH于K，

則四邊形AOKL、OKHD、ALHD均為矩形，

∴AL=OK=DH，LK=OA，

∵AD=22，CD=2，點(diǎn)O是邊AD的中點(diǎn)，

∴LK=OA=OD=2，

∵FC=FD，F(xiàn)H⊥CD，

∴DH=12CD=1，

∴OK=AL=DH=1，

由