安徽省滁州市新銳學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)春季第一次階段考試試題

PAGE9-安徽省滁州市新銳學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)春季第一次階段考試試題選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則·i的虛部是()A．B．iC．-D．-i2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*且n>1)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<3D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)<33.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.B.C.D.4.若函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如右圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（） A.B.C.D.5.甲、乙、丙三人參與某項(xiàng)測(cè)試，他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是0.8，0.6，0.5，則三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是()A．0.16B．0.24C．0.96D.0.046.函數(shù)的圖象在A處的切線的傾斜角是（）A.60°B.30°C.120°D.45°7.將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中，若每個(gè)盒子放2個(gè)，其中標(biāo)為1，2的小球放入同一個(gè)盒子中，則不同的方法共有()A．12種B．16種C．18種D．36種8.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－]∪[，＋∞)B．[－，]C．(－∞，－)∪(，＋∞)D．(－，)9.對(duì)標(biāo)有不同編號(hào)的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的條件下，其次次也摸到正品的概率是()A.B.C.D. 10.在平面直角坐標(biāo)系中，直線x－y＝0與曲線所圍成的圖形的面積為()A．1B.C.D.911.直線與曲線相切，則b的值為()A.-2B.-1C.D.112.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上有恒成立，若，令，，，則（）A.B.C.D.填空題：本大題4小題，每題5分，滿分20分，將答案填在答題卡上.13.的綻開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為，則該綻開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.14.若數(shù)列的通項(xiàng)公式為(n∈N*)，記f(n)＝，試通過(guò)計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)的值，推想出f(n)＝.15.某次測(cè)量發(fā)覺(jué)一組數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的相關(guān)性,并計(jì)算得，其中數(shù)據(jù)因書(shū)寫不清，只記得是內(nèi)的隨意一個(gè)值，則該數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的肯定值不大1的概率為.（殘差=真實(shí)值-預(yù)料值）16.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的四項(xiàng)參賽作品，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)料如下:甲說(shuō):“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說(shuō):“兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說(shuō):“是作品獲得一等獎(jiǎng)”.若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是________.解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．并將答案寫在答題卡相對(duì)應(yīng)題號(hào)的空白處.17.（本題滿分10分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋5m在x（1）求m，n的值；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值和最小值.18.（本題滿分12分）某城市隨機(jī)抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]大于300空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良稍微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)413183091115（1）若某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失(單位：元)與空氣質(zhì)量指數(shù)AQI(記為)的關(guān)系式為：,試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失大于200元且不超過(guò)600元的概率；（2）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面2×2列聯(lián)表，并推斷能否有95%的把握認(rèn)為該市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)？非重度污染重度污染總計(jì)供暖季非供暖季總計(jì)1000.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．20.（本題滿分12分）在創(chuàng)建“全國(guó)文明衛(wèi)生城”過(guò)程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對(duì)創(chuàng)城工作的了解狀況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城學(xué)問(wèn)問(wèn)卷調(diào)查(一位市民只能參與一次).通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參與問(wèn)卷調(diào)查的1000人得分(滿分100分)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)2515020025022510050(1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為,此次問(wèn)卷調(diào)查的得分Z聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ,210)，μ近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)，請(qǐng)用正態(tài)分布的學(xué)問(wèn)求P(36<Z≤79.50);(2)在(1)的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參與問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下嘉獎(jiǎng)方案:①得分不低于μ的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于μ的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi);②每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率如下表:贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)(單位:元)2040概率0.750.25現(xiàn)有市民甲要參與此次問(wèn)卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參與問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附:參考數(shù)據(jù)與公式≈14.5,若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827;P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9973.21.（本題滿分12分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿著折起，使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，且滿意.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x2eax，其中a≤0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).探討函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若x∈[0,1]，求證：f(x)≤1. 數(shù)學(xué)（理科）答案1.A∵z＝eq\f(1,1＋i)＝eq\f(1－i,2)，∴eq\x\to(z)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴eq\x\to(z)·i＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i.2.B3.B[解析]對(duì)于A，(2x)′＝2xln2；對(duì)于B，(3ex)′＝3ex；對(duì)于C，(x2－eq\f(1,x))′＝2x＋eq\f(1,x2)；對(duì)于D，(eq\f(x,cosx))′＝eq\f(cosx＋xsinx,cosx2)；綜上可知選B.4.D5.C【解析】三人都不達(dá)標(biāo)的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率為1－0.04＝0.96.6.A【解析】:，∴，∴切線的斜率k=，.7.C解析：選C可先分組再排列，所以有eq\f(1,2)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝18種方法．8.B解析f′(x)＝－3x2＋2ax－1，若f(x)在(－∞，＋∞)上為單調(diào)函數(shù)只有f′(x)≤0，∴Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0，解得－eq\r(3)≤a≤eq\r(3).9.D【解析】記“第一次摸到正品”為事務(wù)A，“其次次摸到正品”為事務(wù)B，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,9),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,5),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(1,3).故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(5,9).10.C解析如圖所示由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－2x，,y＝x，))得交點(diǎn)(0,0)，(3,3)．∴陰影部分的面積為S＝(x－x2＋2x)dx＝(－x2＋3x)dx＝(－eq\f(1,3)x3＋eq\f(3,2)x2)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\o\al(3,0)＝－9＋eq\f(27,2)＝eq\f(9,2).11.B.解析：設(shè)切點(diǎn)為，由得，所以，，，代入直線方程得，選B.12.C【解析】依題意，為偶函數(shù)，所以是上的增函數(shù)，，，所以.故選C.13.5解析：依題意得2n＝32，n＝5，二項(xiàng)式的綻開(kāi)式的通項(xiàng)是Tr＋1＝·()5－r·()r＝，令，得r＝1.因此，在該二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)是＝5.14.15.解析：依據(jù)題意,又,所以,由幾何概型的概率公式可得,該數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的肯定值不大于1的概率.B解析：若A為一等獎(jiǎng)，則甲，丙，丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，故不滿意題意，

若B為一等獎(jiǎng)，則乙，丙說(shuō)法正確，甲，丁的說(shuō)法錯(cuò)誤，故滿意題意，

若C為一等獎(jiǎng)，則甲，丙，丁的說(shuō)法均正確，故不滿意題意，

若D為一等獎(jiǎng)，則只有甲的說(shuō)法正確，故不滿意題意，

所以若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是B17.解（1）∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，∴由已知可得解得：（2）由（1）得f(x)＝x3-3x2-9x-5，f′(x)＝3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）,當(dāng)-1<x<3時(shí)，,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x<-1或x>3時(shí)，f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，則f(x)在x=-1處有極大值，為f(1)=0,在x=3處有微小值，為f(3)=-32，又f(-2)=-7,f(6)=49,∴f(x)的最大值是f(6)=49，最小值是為f(3)=-32.18.解:解：(1)記“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失大于200元且不超過(guò)600元”為事務(wù)A，由得得，頻數(shù)為39，所以P(A)＝eq\f(39,100).(2)依據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：非重度污染重度污染總計(jì)供暖季22830非供暖季63770總計(jì)8515100的觀測(cè)值為有95%的把握認(rèn)為空氣重度污染與供暖有關(guān)．19.解：（1）因?yàn)?，由余弦定理，得，?所以.（2）因?yàn)椋烧叶ɡ?，得，所?從而，即，故.因?yàn)?，所以，從?因此.20.解：解析(1)用頻率估計(jì)概率可得各組別的概率分別為0.025,0.15,0.2,0.25,0.225,0.1,0.05,則E(Z)=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65.故μ=65,≈14.5,∴P(50.5<Z≤79.5)≈0.6827,P(36<Z≤94)≈0.9545.∴P(36<Z≤50.5)≈=0.1359.∴P(36<Z≤79.5)=P(36<Z≤50.5)+P(50.5<Z≤79.5)≈0.1359+0.6827=0.8186.(2)易知P(Z<μ)=P(Z≥μ)=.獲贈(zèng)的話費(fèi)X的可能取值為20,40,60,80.P(X=20)=;P(X=40)=;P(X=60)=;P(X=80)=.X的分布列為X20406080P∴E(X)=20×+40×+60×+80×=37.5.21.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，由已知得，所以，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)椋?，從而平面，所以，又，不平行，所以平?（方法一）由（1）知，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得.同理，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得.所以二面角的余弦值為.（方法二）取的中點(diǎn)，上的點(diǎn)，使，連接，易知，.由（1）得，所以平面，所以，又，所以平面，所以二面角的平面角為.又計(jì)算得，，，所以.22.解：（1）①當(dāng)a=0時(shí)，令得x=0.若x>0,則,從而