2.1.1直線傾斜角與斜率

2.1.1直線傾斜角與斜率明確學(xué)習(xí)目標(biāo)課標(biāo)要求1.了解直線的傾斜角和斜率的概念。2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3.了解斜率公式的推導(dǎo)過程，會應(yīng)用斜率公式求直線的斜率．重點(diǎn)難點(diǎn)1.了解直線的傾斜角和斜率的概念；2.了解斜率公式的推導(dǎo)過程，會應(yīng)用斜率公式求直線的斜率知曉結(jié)構(gòu)體系

1夯實(shí)必備知識知識點(diǎn)1直線的傾斜角1．傾斜角的定義：(1)當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.2．傾斜角的范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.傾斜角直線圖示3.理解(1)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來看，當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，直線l的傾斜角是由x軸繞直線l與x軸的交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線l重合時(shí)所得到的最小正角．(2)傾斜角從“形”的方面直觀地體現(xiàn)了直線對x軸正向的傾斜程度．(3)直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類討論．知識點(diǎn)2直線的斜率1．斜率的定義把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.2.斜率公式經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線P1P2的斜率不存在．3．直線的方向向量與斜率的關(guān)系：(1)直線P1P2的方向向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，當(dāng)x1≠x2時(shí)，直線P1P2與x軸不垂直，其一個(gè)方向向量為eq\f(1,x2－x1)eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(1，k)，其中k為直線P1P2的斜率．(2)當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線P1P2與x軸垂直，直線沒有斜率，其一個(gè)方向向量為(0,1)．4.理解(1)當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線的斜率不存在，傾斜角為90°.(2)斜率公式中k的值與P1，P2兩點(diǎn)在該直線上的位置無關(guān)．(3)斜率公式中兩縱坐標(biāo)和兩橫坐標(biāo)在公式中的順序可以同時(shí)調(diào)換．(4)若直線與x軸平行或重合，則k＝0.(5)直線的方向向量與斜率的關(guān)系：若直線l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝eq\f(y,x).5.求直線的斜率的兩種方法(1)利用定義：已知直線的傾斜角為α，且α≠90°，則k＝tanα.(2)利用斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．知識點(diǎn)3傾斜角和斜率的應(yīng)用傾斜角與斜率的變化關(guān)系設(shè)直線的傾斜角為α，斜率為k.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范圍k＝0k>0不存在k<0k的增減性隨α的增大而增大隨α的增大而增大傾斜角和斜率的應(yīng)用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯(lián)系．(2)涉及直線與線段有交點(diǎn)問題常通過數(shù)形結(jié)合利用公式求解．2提升學(xué)科能力題型一直線的傾斜角例1．設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)A，其傾斜角為，直線l繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得直線，有下列四個(gè)值：①；②；③；④．則直線的傾斜角為（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④跟蹤訓(xùn)練11．如圖所示，直線與軸的夾角為，則的傾斜角為（

）

A． B． C． D．無法計(jì)算2．設(shè)直線l的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．已知直線l的傾斜角為，直線∥l，直線，則直線與的傾斜角分別是.題型二直線的斜率例2．若直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線AB的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．60° D．120°跟蹤訓(xùn)練21．若直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線的斜率為2．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．3．經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角.(1)，；(2)，；(3)，).題型三傾斜角與斜率的概念辨析例3．對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4跟蹤訓(xùn)練31．在下列四個(gè)命題中，正確的是（

）．A．若直線的傾斜角為銳角，則其斜率一定大于0B．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為C．任意直線都有傾斜角，且當(dāng)時(shí)，斜率為D．直線的傾斜角越大，則其斜率越大2．有下列命題：其中錯(cuò)誤的是（

）A．若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應(yīng)；B．若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應(yīng)；C．坐標(biāo)平面上所有的直線都有傾斜角；D．坐標(biāo)平面上所有的直線都有斜率．3．下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有（）A．若直線的傾斜角為，則B．直線的傾斜角的取值范圍為C．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為D．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為題型四斜率與傾斜角的變化關(guān)系例4．圖中的直線的斜率分別為，則（

）

A． B．C． D．跟蹤訓(xùn)練41．如圖，直線的斜率分別為，則（

）A． B．C． D．2．已知兩條直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為.若，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．3．如圖，已知直線的斜率分別為，則（）A．B．C． D．題型五已知斜率求傾斜角范圍例5．若直線斜率的絕對值等于，則直線的傾斜角為（

）A． B．C． D．或跟蹤訓(xùn)練51．若，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是．3．若直線的斜率的變化范圍是，則它的傾斜角的變化范圍是()A．B．C．D．或題型六已知斜率求參數(shù)例6．直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為，則實(shí)數(shù)為．跟蹤訓(xùn)練61．過兩點(diǎn)、的直線的傾斜角為，則的值為（

）A．或 B． C． D．2．若過點(diǎn)，的直線的斜率等于1，則m的值為．3．若點(diǎn)在過點(diǎn)，的直線上，則．題型七斜率公式的應(yīng)用例7．(多選)如果，，三點(diǎn)在同一條直線上，則（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練71．若三點(diǎn)，，共線，則.2．已知三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為.3．若三點(diǎn)，，(其中)共線，則.題型八直線與線段的相交例8．經(jīng)過點(diǎn)作直線l，且直線l與連接點(diǎn)，的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角α的取值范圍是（

）A． B．C． D．跟蹤訓(xùn)練81．一束光射向軸，與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)軸反射，與以連接、兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，這束光所在直線的斜率取值范圍為.2．如圖，已知點(diǎn)、、，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍．

3．已知點(diǎn)、、，過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A． B．C． D．以上都不對題型九直線方向向量與斜率的關(guān)系例9．若向量是直線的一個(gè)方向向量，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練91．直線的一個(gè)方向向量是．2．已知直線l過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為，則l在y軸上的截距為（

）A． B．1 C． D．53．已知點(diǎn)，直線：，(1)若是直線l的一個(gè)方向向量，求a的值；(2)若直線l與線段有交點(diǎn)，求a的范圍．題型十斜率的幾何意義例10．已知函數(shù).則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練101．點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則可能等于（

）A．1 B． C． D．02．已知曲線，則的取值范圍是．3．已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是．

3質(zhì)量檢測評價(jià)一、單選題1．直線的傾斜角是（

）A．0 B． C． D．2．直線的一個(gè)方向向量為（

）A． B． C． D．3．若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．2 C． D．34．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有三條直線，其對應(yīng)的斜率分別為，則下面選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C． D．5．已知直線的傾斜角比直線的傾斜角大，則的斜率為（

）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，，若直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．二、多選題7．下列說法中正確的是（

）A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為C．若，，則直線的傾斜角為D．若直線過點(diǎn)，且它的傾斜角為，則這條直線必過點(diǎn)8．已知直線l：，則下列結(jié)