高二期末仿真模擬試卷05（考試范圍集合復數(shù)不等式平面向量函數(shù)導數(shù)及其應用及2019選擇性）（新高考九省聯(lián)考題型）

20232024學年高二數(shù)學下學期期末仿真模擬試卷05數(shù)學（新高考九省聯(lián)考題型）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，解得，故，故.故選：D2.已知隨機變量，，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】隨機變量，，則，故，故選：C.3．若函數(shù)是偶函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，由是偶函數(shù)，得，即，整理得，所以.故選：A4．某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量（噸）與所需某種原材料（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集了組對應數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的回歸直線方程為.據(jù)此計算出在樣處的殘差為，則表中的值為（）（注：稱為對應樣本點的殘差）A. B. C. D.【答案】A【解析】由殘差為可知，當時，，即，解得，所以回歸直線方程為，又，，且樣本中心在回歸直線上，所以，解得，故選：A.5．某校5名同學到A、B、C三家公司實習，每名同學只能去1家公司，每家公司至多接收2名同學.若同學甲去A公司，則不同的安排方法共有（）A.18種 B.30種 C.42種 D.60種【答案】B【解析】若只有同學甲去A公司，則共有種可能，若除同學甲外還有一名同學去A公司，則共有種可能，故共有種可能.故選：B.6．若，則（）A.180 B. C. D.90【答案】A【解析】因，其二項展開式的通項為：，而是的系數(shù)，故只需取，得，即.故選：A.7．已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記的中點分別為，因為，所以，同理，，記，因為，所以，所以，，易知，當平面平面時，三棱錐的體積最大，此時，以E為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，則所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C8．已知函數(shù)，，（其中為自然對數(shù)底數(shù)）.若存在實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為存在實數(shù)，使得，所以，即，令，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，即的最小值，令，，當時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，函數(shù)取得極小值即最小值，，.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．若，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對A：由，則，故A正確；對B：由，則，故B正確；對C：由上單調(diào)遞增，故，故C錯誤；對D：由，則，故，當且僅當時等號成立，故D正確.故選：ABD.10．某罐中裝有大小和質(zhì)地相同的4個紅球和3個綠球，每次不放回地隨機摸出1個球.記“第一次摸球時摸到紅球”，“第一次摸球時摸到綠球”，“第二次摸球時摸到紅球”，“第二次摸球時摸到綠球”，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，則下列說法中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由條件概率的公式，可得或，故B正確；因為，不相互獨立，所以或，，所以，所以A錯誤；因為，所以，故C錯誤；由，則，所以D正確.故選：BD.11．已知函數(shù)的定義域為R，對，且為的導函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A：令，則，為奇函數(shù)，故選項A不正確；對于B：令，則，令，則為奇函數(shù)，，的周期為4，，故選項B正確；對于C：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)；的周期為4，為偶函數(shù)，，關(guān)于對稱，所以，令，可得，令，可得，所以，故，，故選項C正確；對于D：令，則，即①，令，則②，由①+②得，故選項D正確.故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．在復平面內(nèi)，復數(shù)和對應的點分別為，則__________.【答案】##【解析】由題意可知，，則，故答案為：.13.已知等邊的邊長為4，點D，E滿足，，與CD交于點，則__________.【答案】8【解析】因為為等邊三角形，，為中點，所以，所以，即，所以，故答案為：814.五一小長假，多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點都推出了種種新奇活動以吸引游客，小明去某景點游玩時，發(fā)現(xiàn)了一個趣味游戲，游戲規(guī)則為：一個會走路的機器人從一數(shù)軸上的點出發(fā)沿該數(shù)軸行走，游客可以設(shè)定機器人總共行走的步數(shù)n，機器人每一步會隨機選擇前或向后行走，且每一步的距離均為一個單位，設(shè)機器人走完設(shè)定的n步后所在位置對應數(shù)為隨機變量，則__________，__________.【答案】①.##0.3125②.【解析】設(shè)X表示向右移動的次數(shù)，則.若運動6步回到原點，則向左，右各移動3次，所以回到原點的概率.因為機器人走完設(shè)定的n步后所在位置對應數(shù)為隨機變量，X表示向右移動的次數(shù)則表示向左移動的次數(shù)，則，則，所以.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直．（1）求值；（2）求函數(shù)的極值．【答案】（1）（2）極大值，極小值【解析】（1）函數(shù)，求導得，則，即為切線的斜率，．因為切線與直線垂直，則有，．．解得．（2）由（1）知，函數(shù)，定義域，求導得，．當或時，，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，取得極大值，當時，取得極小值，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極大值，極小值．16．如圖是我國2015年至2023年歲及以上老人人口數(shù)（單位：億）的折線圖，注：年份代碼分別對應年份.（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到）加以說明；（2）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到），并預測2024年我國歲及以上老人人口數(shù)（單位：億）.參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，若，則與有較強的線性相關(guān)性.回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.【答案】（1），與之間存在較強的正相關(guān)關(guān)系（2），億【解析】（1）由折線圖看出，與之間存在較強的正相關(guān)關(guān)系，理由如下：因為，，，，所以，，，所以，所以，，故與之間存在較強的正相關(guān)關(guān)系.（2）由（1），結(jié)合題中數(shù)據(jù)可得，，，，關(guān)于的回歸方程為，年對應的值為，故，預測年我國歲及以上老人人口數(shù)為億.17．如圖，三棱錐中，平面，線段的中點為，，且.（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）法一：在中，，線段的中點為，所以,因為平面，平面，所以．因為平面，平面，，所以平面．法二：如圖，以為基底建立空間直角坐標系．因為，，線段的中點為，所以，所以．設(shè)平面的一個法向量為，由，得到，解得．令，則，所以．易知，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則由，得到，取，所以．又因為，所以，所以平面（2）在中，過點作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以,又因為，平面，平面，，所以平面，又因為平面，所以．又因為，平面，平面，，所以平面，所以，所以為二面角的平面角，在中，，，所以，．同理，在中，，所以．所以二面角的余弦值．法二，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，則，所以二面角的余弦值．18．第二次世界大戰(zhàn)期間，了解德軍坦克的生產(chǎn)能力對盟軍具有非常重要的戰(zhàn)略意義.已知德軍的每輛坦克上都有一個按生產(chǎn)順序從1開始的連續(xù)編號.假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)為N，隨機繳獲該月生產(chǎn)的n輛（）坦克的編號為，，…，，記，即繳獲坦克中的最大編號.現(xiàn)考慮用概率統(tǒng)計的方法利用繳獲的坦克編號信息估計總數(shù)N.甲同學根據(jù)樣本均值估計總體均值的思想，用估計總體的均值，因此，得，故可用作為N的估計.乙同學對此提出異議，認為這種方法可能出現(xiàn)的無意義結(jié)果.例如，當，時，若，，，則，此時.（1）當，時，求條件概率；（2）為了避免甲同學方法的缺點，乙同學提出直接用M作為N的估計值.當，時，求隨機變量M的分布列和均值；（3）丙同學認為估計值的均值應穩(wěn)定于實際值，但直觀上可以發(fā)現(xiàn)與N存在明確的大小關(guān)系，因此乙同學的方法也存在缺陷.請判斷與N的大小關(guān)系，并給出證明.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3），證明見解析【解析】（1）由，知，當時，最大編號為5，另2輛坦克編號有種可能，故，由，有，解得，故總編號和小于9，則除最大編號5外，另2個編號只能是1，2，故，因此；（2）依題意，用M作為N的估計值，因，則的可能取值有，于是，，，，，于是M的分布列如下：M45678P故；（3）直觀上可判斷，證明：因.19．帕德近似是法國數(shù)學家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法，在計算機數(shù)學中有著廣泛的應用.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，.其中，，…，.已知在處的階帕德近似為.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）設(shè)，證明：；（3）已知是方程的三個不等實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明：.【答案】（1），（2）證明見解析（3），證明見解析【解析】（1）依題意可知，，因為，所以，此時，，因為，，所以，，因為，所以；（2）依題意，，，故在單調(diào)遞增，