第二章平面力系的平衡

機械基礎

閆芳制作§2-1平面匯交力系的簡化和平衡平面匯交力系：作用于物體上的力系,若各力的作用線在同一平面內,且匯交于一點,這樣的力系稱為平面匯交力系。

研究方法：幾何法，解析法。FT3FT2FT1一、平面匯交力系的概念與實例力的平行四邊形法則力的三角形法則FRF2F1ABCFRF2CDF1AB二、平面匯交力系的簡化1.匯交力系簡化的幾何法—力多邊形法則

把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為力鏈）FRF2F1F3F4BCDEA

加上一封閉邊，就得到一個多邊形，稱為力多邊形。AF2F1F4F3即：匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過各力的匯交點。且合力的大小和方向與各力合成的順序無關。幾何法解題步驟：①選研究對象；②畫出受力圖；③作力多邊形；④求出未知數。說明：應用幾何法解題時，必須恰當地選擇力的比例尺，即取單位長度代表若干牛頓的力矢并把比例尺注在旁邊。利用幾何法求解平面匯交力系：yx1.力在平面坐標軸上的投影Fx=F·cosaFy=F·sinaABFxFyFao說明：（1）Fx的指向與x軸一致，為正，否則為負；（2）力在坐標軸上的投影為標量。abcd2.匯交力系簡化的解析法AF2F1(a)F3F1F2FF3xABCD(b)以三個力組成的共點力系為例。設有三個共點力F1，F2，F3如圖a。3.平面匯交力系的合成合力

F在

x軸上投影得

Fx=ad由圖知

ad=ab+bc+(-dc)

Fx=

F1x+F2x+

F3xFx=

F1x+F2x+

+Fnx=

FxF1F2FF3xABCD(b)F1x=ab,

推廣到任意多個力F1，F2，

Fn組成的平面共點力系，可得abcd各力在

x軸上投影F2x=bc,

F3x=-dc

合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影的代數和。合力的大小合力F的方向余弦根據合力投影定理得yxBFyFx

FOFxFyA剛體平面匯交力系的平衡條件是：

平衡方程三、平面匯交力系平衡的解析條件和平衡方程例2-2如圖所示支架由桿AB、BC組成，A、B、C處均為圓柱銷鉸鏈，在鉸鏈B上懸掛一重物G=5kN，桿件自重不計，試求桿件AB、BC所受的力。解：1）受力分析

2)確定研究對象。以銷B為研究對象，取分離體畫受力圖。3)建立坐標系，列平衡方程求解

力對點的矩為一代數量,它的大小為力F的大小與力臂d的乘積,它的正負號表示力矩在平面上的轉向。+-轉動中心O-稱為矩心

d-稱為力臂d以扳手擰螺母為例說明力對點之矩的概念：Fo一、力矩§2-2力矩和平面力偶系力對點的矩不僅與力的大小有關，而且與矩心的位置有關,同一個力，因矩心的位置不同,其力矩的大小和正負都可能不同。力對點的矩不因力的作用點沿其作用線的移動而改變,因為此時力的大小、力臂的長短和繞矩心的轉向都未改變。力對點的矩在下列情況下等于零:力等于零或者力的作用線通過矩心,即力臂等于零。2、力矩的性質平面匯交力系合力對于平面內一點之矩等于所有各分力對于該點之矩的代數和。3、合力矩定理F1F2d力偶的概念:作用于剛體上大小相等、方向相反、不共線的平行力組成的力系稱為力偶，記作（F1，F2）。作用效果:引起物體的轉動。力偶作用面：由一對力所組成的平面；力偶臂：力偶中兩力之間的垂直距離，一般用d表示；力偶的表示方法二、平面力偶系的簡化與平衡1.力偶17FF'd力偶的作用面力偶臂力偶矩：m=±Fd—

+2.力偶矩力偶矩正負規(guī)定：

若力偶有使物體逆時針旋轉的趨勢，力偶矩取正號；反之，順時針取負號。186N6N4m8N8N3m3N3N8m24Nm24Nm（1）只要保持力偶矩大小和轉向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應力偶臂的長短，而不改變它對剛體的作用效應。3.同平面內力偶的性質19（2）力偶可以在其作用面內任意移動或轉動，或移到另一平行平面，而不影響它對剛體的作用效應。F1F1'F2F2'（3）力偶在任何軸上的投影恒等于零。平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各個力偶矩的代數和等于零。即4.平面力偶系的合成和平衡條件

例2-5

水平梁AB,長l=5m,受一順時針轉向的力偶作用,其力偶矩的大小M=100kN·m。約束情況如圖所示。試求支座A、B的約束力。解：梁在活動鉸支座B處產生約束力FB

，作用線在鉛垂方向A處為固定鉸支座,產生約束力FA，作用線也在鉛垂方向力偶只能由力偶來平衡平衡方程FAFB一、力的平移定理

§2-3平面任意力系在分析或求解力學問題時,有時需要將作用于物體上某些力的作用線,從其原位置平行移到另一新位置而不改變原力在原位置作用時物體的運動效應,為此需研究力的平移定理。

工程中還有一種常見的基本約束，如建筑物上的陽臺以及以焊、鉚接和用螺栓聯接的結構：刀、夾具的錐柄以及車床主軸的錐孔配合等，這些約束均稱為固定端約束。AB二、固定端約束

以上這些工程實例均可歸結為一桿插入固定面的力學模型。對固定端約束，可按約束作用畫其約束力。固定端既限制被約束構件的垂直與水平位移，又限制了被約束構件的轉動，故固定端在一般情況下，有一組正交的約束力與一個約束力偶。FAxFAyMAABAAF1F2·A1A2AnFn··xyO·xyO·xyO·O為簡化中心三、平面任意力系的簡化和平衡條件F'1F'2F'nM1M2MnMOF'RMO=M1+M2+…+Mn=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)

MO=∑MO(F)主矢主矩在平面內任選一點O為簡化中心。根據力的平移定理，將各力都向O點平移，得到一個交于O點的平面匯交力系F'1，F'2，…

，F'n，以及平面力偶系M1，

M2，…，Mn。平面匯交力系F'1，F'2，…，F'n，可以合成為一個作用于O點的合矢量F'R，它等于力系中各力的矢量和。

F'R=

F'1+F'2+…+F'n=F1+F2+…+

Fn=∑F附加平面力偶系M1，M2，…，Mn可以合成為一個合力偶MO，

得主矩的值。2.平面任意力系簡化的結果

平面任意力系的簡化，一般可得到主矢F'R和主矩MO，但它不是簡化的最終結果，簡化結果通常有以下四種情況。

1．F'R≠0、MO=0因為MO＝0，主矢F'R就與原力系等效，F'R即為原力系的合力，其作用線通過簡化中心。２．F'R=0、MO≠0原力系簡化結果為一合力偶MO＝∑MO(F)，此時主矩MO與簡化中心的選擇無關。下一頁上一頁返回首頁

3．F'R≠0、MO≠0根據力的平移定理逆過程，可以把F'R和MO合成為一個合力FR

。

4．F'R=0、MO=0物體在此力系作用下處于平衡狀態(tài)。關于平衡問題將在下面的節(jié)章中進行詳細討論。四、平面任意力系的平衡方程

搖臂吊車如圖所示，已知梁AB的重力為G1＝4kN，立柱EF的重力為G2＝3kN，載荷為W＝20kN，梁長l＝2m，立柱h＝1.2m，載荷到A鉸的距離x＝1.5m，點A、E間水平距離a=0.2m，拉桿傾角

＝30

。試求立柱E、F處的約束反力。解1）畫受力圖。

2）列平衡方程求解。hEG1WA

BDCFaxll/2G2FEyFExFFx因求E、F處的支座反力，故取整個搖臂吊車為研究對象。注意到受力圖中有兩未知力FFx與FEx互相平行，故取軸y為投影軸，列出投影方程為：∑Fx＝0，FEx-FFx=0

FEx=FFx

∑Fy＝0，FEy–G1–G2–W=0FEy＝27kN（↑）已知；G1＝4kN，G2＝3kN，W＝20kN，l＝2m，h＝1.2m，x＝1.5m，a=0.2m，

＝30

。試求立柱E、F處的約束反力。解1）畫受力圖。

2）列平衡方程求解。hEG1WA

BDCFaxll/2G2FEyFExFFx求出FEy后，只存在點F、E上兩處未知力，故可任擇其一為矩心，列出力矩方程為：∑Fx＝0，FEx-FFx=0

FEx=FFx

∑Fy＝0，FEy–G1–G2–W=0FEy＝27kN（↑）∑ME(F)=0，FFxlh-G1(a+l/2)–W(x+a)=0FFx=[G1(2a+l)+2W(x+a)]/2=32.3kN（←）FEx=FFx=32.3kN（→）求上題中拉桿的拉力和鉸鏈A的反力。解1）畫受力圖。

2）列平衡方程求解。hEG1WA

BDCFaxll/2G2因已知力、未知力匯集于AB梁，故取它為研究對象，畫出AB梁的分離體受力圖。圖中A、B、C三點各為兩未知力的匯交點。比較A、B、C三點，取B點為矩心列出力矩方程計算較為簡單，即∑Fx＝0，FEx-FTcos

=0

FEx=FTcos

=29.44kN（→）∑Fy＝0，FTsin

+FAy–G1–W=0FAy＝34kN（↑）ABG1WFAyFAxFT∑MB(F)=0，FFxlh-G1l/2

+W(l–x)-FAy=0FAy=7kN（↑）xy第一章我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。平衡必計摩擦

1、引入§2-5滑動摩擦簡介剎車盤摩擦在現實中的應用多盤摩擦離合器單盤摩擦離合器2009年9月德國客機迫降后起落架故障研究摩擦的任務：掌握規(guī)律，利用其利，克服其害。

1、靜摩擦力Ff的三要素為：

1）大?。?＜Ff≤Ffm由物體的平衡條件來決定。在臨界狀態(tài)下，有Ff=Ffm=fsFN

2）方向：與物體間相對滑動趨勢的方向相反，并沿接觸表面作用點的切向。

3）作用點：接觸點或接觸面上摩擦力的合力作用點。Ff

當力FT超過Ffm時，物體開始滑動，此時物體所受的摩擦阻力已由靜摩擦力轉化為動摩擦力F'f。

F'f=fFN

式中，f稱為動摩擦因數。它是與接觸材料和表面情況有關的常數，通常，f值小于fs值。2．動滑動摩擦AWFNFTF'f（與靜滑動摩擦力不同的是產生了滑動）動摩擦力三要素 大?。?（無平衡范圍）動摩擦力特征：方向：與物體運動方向相反 定律： （f只與材料和表面情況有關，與接觸面積大小無關。）F'f=fFNF'f=fFN總結：滑動摩擦1、靜滑動摩擦2、動滑動摩擦其中：靜滑動摩擦因數

(coefficientofstaticfriction)其中：動滑動摩擦因數

(coefficientofkineticfriction)F：摩擦力，

：法向約束力滑動趨勢v

1、列平衡方程時要將摩擦力考慮在內；

2、解題方法：①解析法②幾何法

3、除平衡方程外，增加補充方程

(一般在臨界平衡狀態(tài)計算）

4、解題步驟同前。

二、考慮滑動摩擦時的平衡問題44解：考慮到梯子在臨界平衡狀態(tài)有下滑趨勢，做受力圖。[例]梯子長AB=l，重為P，若梯子與墻和地面的靜摩擦因數f=0.5,求a多大時，梯子能處于平衡？注意，由于a不可能大于，所以梯子平衡傾角a應滿足

①全約束力

即FR=FN+FS

，它與接觸面的公法線成一偏角j，當物體處于臨界平衡狀態(tài)，即靜摩擦力達到最大值Fmax時,偏角j達到最大值jf，全約束力與法線夾角的最大值jf叫做摩擦角。FNFsFRjFNFmaxFRjjf②計算摩擦角的正切等于靜摩擦因數。三、摩擦角的概念和自鎖現象③摩擦錐：頂角為2jf

的錐體。當物塊的滑動趨勢方向改變時，全約束力作用線的方位也隨之改變；在臨界狀態(tài)下，FR的作用線將畫出一個以接觸點A為頂點的錐面，稱為摩擦錐。設物塊與支承面間沿任何方向的摩擦系數都相同，即摩擦角都相等，則摩擦錐將是一個頂角為2jf的圓錐。

物塊平衡時，靜摩擦力不一定達到最大值，可在零與最大值Fmax之間變化，所以全約束力與法線間的夾角j也在零與摩擦角jf之間變化，即由于靜摩擦力不可能超過最大值，因此全約束力的作用線也不可能超出摩擦角以外，即全約束力必在摩擦角之內。FNFmaxFRjjfqjfjfjfFRFRAAj1、如果作用于物塊的全部主動力的合力FR的作用線在摩擦角jf之內，則無論這個力怎樣大，物塊必保持靜止。這種現象稱為自鎖現象。因為在這種情況下，主動力的合力FR與法線間的夾角q

<jf，因此，FR和全約束力FRA必能滿足二力平衡條件，且q=j<jf

。qjfjfjfFRFRAAj2、如果全部主動力的合力FR的作用線在摩擦角j之外，則無論這個力怎樣小，物塊一定會滑動。因為在這種情況下，q>j

f，而j≤jf，支承面的全約束力FRA和主動力的合力FR不能滿足二力平衡條件。應用這個道理，可以設法避免發(fā)生自鎖現象。3、自鎖應用舉例斜面的自鎖條件是斜面的傾角小于或等于摩擦角。斜面的自鎖條件就是螺紋的自鎖條件。因為螺紋可以看成為繞在一圓柱體上的斜面，螺紋升角a就是斜面的傾角。螺母相當于斜面上的滑塊A，加于螺母的軸向載荷P，相當物塊A的重力，要使螺紋自鎖，必須使螺紋的升角a小于或等于摩擦角jf。因此螺紋的自鎖條件是各力的作用線匯交于一點的力系稱為空間匯交力系；各力的作用線彼此平行的力系稱為空間平行力系；各力的作用線在空間任意分布的力系稱為空間任意力系(亦稱空間一般力系)?！?-6空間平衡力系一、空間力系的概念二、徑向軸承(向心軸承)確定研究對象，畫受力圖并選取坐標軸。將所有外力(包括主動力和約束力)投影在Oxz平面內，按平面力系的平衡問題進行計算。將所有外力投影在Oxy平面內，按平面力系的平衡問題進行計算。將所有外力投影在Oyz平面內，按平面力系的