2022-2023學年北京市東城區(qū)匯文中學八年級（下）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學年北京市東城區(qū)匯文中學八年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題（每小題2分，共20分）1．（2分）下列各式中，哪個是最簡二次根式（）A． B． C． D．2．（2分）以下列各數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，2，2 B．1，，2 C．4，5，6 D．1，1，3．（2分）如圖，平行四邊形ABCD中，若∠B＝2∠A，則∠C的度數(shù)為（）A．60° B．120° C．72° D．36°4．（2分）下列計算中，正確的是（）A． B． C． D．5．（2分）如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構(gòu)成一個四邊形，這個四邊形一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．無法判斷6．（2分）如圖在實踐活動課上，小華打算測量學校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1m，當她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時，測得繩子底端距離旗桿底部5m，由此可計算出學校旗桿的高度是（）A．8m B．10m C．12m D．15m7．（2分）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這支鉛筆的長度可能是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm8．（2分）下列命題正確的是（）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 D．有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形9．（2分）如圖，在△ABC中，點D、點E分別是AB，AC的中點，點F是DE上一點，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，則DF的長為（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2分）老師布置了任務(wù)：過直線AB上一點C作AB的垂線．在沒有直角尺的情況下，嘉嘉和淇淇利用手頭的學習工具給出了如圖所示的兩種方案，下列判斷正確的是（）方案Ⅰ①利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm．②分別以D，C為圓心，以50cm和40cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點E．③作直線CE，CE即為所求的垂線．方案Ⅱ取一根筆直的木棒，在木棒上標出M，N兩點①使點M與點C重合，點N對應(yīng)的位置標記為點Q．②保持點N不動，將木棒繞點N旋轉(zhuǎn)，使點M落在AB上，將旋轉(zhuǎn)后點M對應(yīng)的位置標記為點R．③將RO延長，在延長線上截取線段OS＝MN，得到點S．④作直線SC，SC即為所求直線．A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行二、填空題（每小題2分，共16分）11．（2分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，請寫出一個符合條件的實數(shù)x的值．12．（2分）計算的結(jié)果為．13．（2分）如圖，A，B兩點被池塘隔開，在AB外選一點C，連接AC和BC．分別取AC，BC的中點D，E，測得D，E兩點間的距離為20m，則A，B兩點間的距離為m．14．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，D是AB的中點，則∠ADC＝．15．（2分）如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是．16．（2分）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD和DA的中點，連接EF，F(xiàn)G，GH和HE．若EH＝4，EF＝2，則菱形ABCD的面積為．17．（2分）已知直角三角形三邊長分別是a+1，a+2，a+3，則a的值為．18．（2分）已知x，y為實數(shù)，記，（1）當x＝y(tǒng)＝0時，M的值為．（2）M的最小值為．三、解答題（共64分）19．（16分）計算：（1）；（2）；（3）；（4）．20．（5分）下面是小明設(shè)計的“在一個平行四邊形內(nèi)作菱形”的尺規(guī)作圖過程．已知：四邊形ABCD是平行四邊形．求作：菱形ABEF（點E在BC上，點F在AD上）．作法：①以A為圓心，AB長為半徑作弧，交AD于點F；②以B為圓心，AB長為半徑作弧，交BC于點E；③連接EF．所以四邊形ABEF為所求的菱形．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴＝．在?ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE．∴四邊形ABEF為平行四邊形．（）（填推理的依據(jù)）∵AF＝AB，∴四邊形ABEF為菱形．（）（填推理的依據(jù)）21．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分線，交BC于D，AB于E．（1）求證：△ABC為直角三角形；（2）求AE的長．22．（5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF長．23．（4分）海倫公式是利用三角形三條邊長求三角形面積的公式，用符號表示為：（其中a，b，c為三角形的三邊長，，S為三角形的面積）．利用上述材料解決問題：當a＝2，b＝3，c＝4時．（1）直接寫出p的化簡結(jié)果為．（2）寫出計算S值的過程．24．（4分）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫做格點，每個小正方形邊長為1，以格點為頂點分別按下列要求畫圖．（1）在圖①中，畫一個正方形，使它的邊長為；（2）在圖②中，畫一個直角三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；（3）在圖③中，畫一個三角形，使它的三邊長分別為，，5，并直接寫出該三角形最長邊上的高的長度．25．（5分）某同學在解決問題：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是這樣分析與求解的：先將a進行分母有理化，過程如下，，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請你根據(jù)上述分析過程，解決如下問題：（1）若，請將a進行分母有理化；（2）在（1）的條件下，求a2﹣2a的值；（3）在（1）的條件下，求2a3﹣4a2﹣1的值．26．（7分）三國時期的數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對一元二次方程進行求解的方法，以x2﹣2x﹣3＝0為例，大致過程如下：第一步：將原方程變形為x2﹣2x＝3．即x（x﹣2）＝3．第二步：構(gòu)造一個長為x，寬為（x﹣2）的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖①所示．第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖②所示．第四步：將大正方形邊長用含x的代數(shù)式表示為．小正方形邊長為常數(shù)，長方形面積之和為常數(shù)．由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程，兩邊開方可求得x1＝3，x2＝﹣1．（1）第四步中橫線上應(yīng)依次填入，，，；（2）請參考古人的思考過程，畫出示意圖，寫出步驟，解方程x2﹣x﹣3＝0．27．（7分）現(xiàn)有正方形ABCD和一個直角∠MON．（1）如圖1，若點O與點A重合，射線OM交CB延長線于E，射線ON交正方形的邊CD于F，則OE與OF的數(shù)量關(guān)系是，請證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若點O在正方形的對角線AC上，射線OM交BC延長線于E，射線ON恰好經(jīng)過點D，則CB、CE與CO的數(shù)量關(guān)系是，請證明你的結(jié)論；（3）若∠MON在正方形ABCD所在平面內(nèi)任意移動，射線OM交直線BC于點E，射線ON交直線CD于點F，若OE與OF始終保持相等，請你直接寫出點O所有可能的位置．28．（6分）在平面直角坐標系xOy中，對于P，Q兩點，給出如下定義：若點P到x、y軸的距離中的最大值等于點Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點為“等距點”．（1）如圖1，已知點P的坐標為（﹣4，1），在點Q1（4，0），Q2（2，2），Q3（﹣3，﹣4）中，與點P是“等距點”的有；（2）如圖2，菱形ABCD四個頂點的坐標為A（﹣a，0），B（0，﹣b），C（a，0），D（0，b），（a＞0，b＞0），①當a＝b＝5時，點N為菱形的邊CD上一個動點，令點N到x、y軸的距離中的最大值為dN，則dN的取值范圍是；②當a＝6，b＝3時，點F為菱形的邊CD上一個動點，若平面中存在一點E，使得E，F(xiàn)兩點為“等距點”．在圖3中畫出點E的軌跡，并計算該軌跡所形成圖形的面積；③我們規(guī)定：橫縱坐標均為整數(shù)的點是整點．若菱形ABCD的邊CD過定點（1，1），點F為菱形的邊CD上一個動點，平面中存在一點E，使得E，F(xiàn)兩點為“等距點”，若菱形內(nèi)部（不含邊界）恰有9個整點，直接寫出點E的軌跡所覆蓋整點的個數(shù)．

2022-2023學年北京市東城區(qū)匯文中學八年級（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題2分，共20分）1．（2分）下列各式中，哪個是最簡二次根式（）A． B． C． D．【分析】最簡二次根式的概念：被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式．【解答】解：A.＝＝，不符合題意；B.＝，不符合題意；C.是最簡二次根式，符合題意；D.＝2，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查最簡二次根式的概念，此類試題的一般解題方法是：只要被開方數(shù)中是分數(shù)或小數(shù)，一定不是最簡二次根式；被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，也一定不是最簡二次根式．2．（2分）以下列各數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，2，2 B．1，，2 C．4，5，6 D．1，1，【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可知，當三角形中三邊的關(guān)系為：a2+b2＝c2時，則三角形為直角三角形．【解答】解：A、12+22≠22，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形；B、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形；C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形；D、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形．故選：B．【點評】此題考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足：a2+b2＝c2時，則三角形ABC是直角三角形．解答時，只需看兩較小數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方．3．（2分）如圖，平行四邊形ABCD中，若∠B＝2∠A，則∠C的度數(shù)為（）A．60° B．120° C．72° D．36°【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合已知條件即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°，∠A＝∠C，∵∠B＝2∠A，∴3∠A＝180°，∴∠C＝∠A＝60°，故選：A．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2分）下列計算中，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的運算法則逐項計算即可．【解答】解：A、＝＝，故A選項在正確，符合題意；B、2與不是同類二次根式不能合并，故B選項錯誤，不符合題意；C、2與2不是同類二次根式不能合并，故C選項錯誤，不符合題意；D、與不是同類二次根式不能合并，故D選項錯誤，不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2分）如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構(gòu)成一個四邊形，這個四邊形一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．無法判斷【分析】由條件可知AB∥CD，AD∥BC，再證明AB＝BC即可解決問題．【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵兩直尺的寬度相等，∴DE＝DF．又∵平行四邊形ABCD的面積＝AB?DE＝BC?DF，∴AB＝BC，∴平行四邊形ABCD為菱形．故選：B．【點評】本題考查了菱形的判定，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，利用面積法解決問題，屬于中考常考題型．6．（2分）如圖在實踐活動課上，小華打算測量學校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1m，當她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時，測得繩子底端距離旗桿底部5m，由此可計算出學校旗桿的高度是（）A．8m B．10m C．12m D．15m【分析】因為旗桿、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度．【解答】解：設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．即旗桿的高度為12米．故選：C．【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確運用勾股定理是解題關(guān)鍵．7．（2分）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這支鉛筆的長度可能是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理計算出AC的長【解答】解：根據(jù)題意可得圖形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），則這支鉛筆的長度大于15cm．故選：D．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出筆筒內(nèi)鉛筆的最短長度是解決問題的關(guān)鍵．8．（2分）下列命題正確的是（）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 D．有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法對A進行判斷；根據(jù)矩形的判定方法對B進行判斷；根據(jù)菱形的判定方法對C進行判斷；根據(jù)正方形的判定方法對D進行判斷．【解答】解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以A選項為假命題；B、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以B選項為假命題；C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以C選項為假命題；D、有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形，所以D選項為真命題．故選：D．【點評】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．是熟練掌握特殊四邊形的判定定理是關(guān)鍵．9．（2分）如圖，在△ABC中，點D、點E分別是AB，AC的中點，點F是DE上一點，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，則DF的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出FE，計算即可．【解答】解：∵點D、點E分別是AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC，∵BC＝12，∴DE＝6，在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，點E是AC的中點，AC＝8，∴FE＝AC＝4，∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，故選：B．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．10．（2分）老師布置了任務(wù)：過直線AB上一點C作AB的垂線．在沒有直角尺的情況下，嘉嘉和淇淇利用手頭的學習工具給出了如圖所示的兩種方案，下列判斷正確的是（）方案Ⅰ①利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm．②分別以D，C為圓心，以50cm和40cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點E．③作直線CE，CE即為所求的垂線．方案Ⅱ取一根筆直的木棒，在木棒上標出M，N兩點①使點M與點C重合，點N對應(yīng)的位置標記為點Q．②保持點N不動，將木棒繞點N旋轉(zhuǎn)，使點M落在AB上，將旋轉(zhuǎn)后點M對應(yīng)的位置標記為點R．③將RO延長，在延長線上截取線段OS＝MN，得到點S．④作直線SC，SC即為所求直線．A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行【分析】兩個方案分別根據(jù)“勾股定理的逆定理”和“如果三角形一邊上我中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”進行的作圖，故都正確．【解答】解：方案Ⅰ：∵CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，∴△CDE是直角三角形；故方案Ⅰ可行；方案Ⅱ：由作圖得：Q是SR的中點，且CQ＝0.5AS，∴∠ACS＝90°，∴△CDE是直角三角形，故選：C．【點評】本題考查了復雜作圖，掌握直角三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題2分，共16分）11．（2分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，請寫出一個符合條件的實數(shù)x的值2（答案不唯一）．【分析】根據(jù)二次根式的被開平方數(shù)是非負數(shù)進行求解．【解答】解：由題意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案為：2（答案不唯一）．【點評】此題考查了二次根式概念的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用以上知識．12．（2分）計算的結(jié)果為2023．【分析】根據(jù)即可得到答案．【解答】解：，故答案為：2023．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖，A，B兩點被池塘隔開，在AB外選一點C，連接AC和BC．分別取AC，BC的中點D，E，測得D，E兩點間的距離為20m，則A，B兩點間的距離為40m．【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵點D，E分別為AC，BC的中點，DE＝20m，∴AB＝2DE＝40m，故答案為：40．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．14．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，D是AB的中點，則∠ADC＝50°．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求出CD＝BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠DCB＝∠B，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B，∵∠B＝25°，∴∠DCB＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°，故答案為：50°．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識點，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是．【分析】首先利用勾股定理計算出BO的長，然后再根據(jù)AO＝BO可得答案．【解答】解：OB＝＝，∵OB＝OA，∴點A表示的實數(shù)是，故答案為：．【點評】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，關(guān)鍵是正確計算出BO的長度．16．（2分）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD和DA的中點，連接EF，F(xiàn)G，GH和HE．若EH＝4，EF＝2，則菱形ABCD的面積為16．【分析】連接AC、BD，交于點O，根據(jù)中位線的性質(zhì)求出AC＝4，BD＝8，根據(jù)菱形面積公式求出．【解答】解：連接AC、BD，交于點O，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD和DA的中點，∴EH，EF分別是△ABD，△ABC的中位線，∴，，∵EH＝4，EF＝2，∴AC＝4，BD＝8，∴．故答案為：16．【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．17．（2分）已知直角三角形三邊長分別是a+1，a+2，a+3，則a的值為2．【分析】直接根據(jù)勾股定理列出關(guān)于a的方程，求出a的值即可．【解答】解：∵△ABC的三邊長分別為a+1，a+2，a+3，△ABC是直角三角形，∴（a+3）2＝（a+1）2+（a+2）2，解得a＝2或a＝﹣2（舍去）．∴a＝2．故答案為：2．【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．18．（2分）已知x，y為實數(shù)，記，（1）當x＝y(tǒng)＝0時，M的值為3．（2）M的最小值為．【分析】（1）將x＝y(tǒng)＝0時，代入M進行計算即可得到答案；（2）將式子化為，設(shè)P（x，0），Q（0，y），A（3，1），B（2，6），在直角坐標系中畫出圖，根據(jù)最短路徑模型，作對稱點即可得到答案．【解答】解：（1）當x＝y(tǒng)＝0時，＝＝＝，故答案為：；（2）＝，設(shè)P（x，0），Q（0，y），A（3，1），B（2，6），根據(jù)題意畫出圖如圖所示：，作B關(guān)于y軸的對稱點B′，作A點關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B′與x軸交于點P，與y軸交于點Q，A′B′即為所求，∴B′（﹣2，6），A′（3，﹣1），，故答案為：．【點評】本題主要考查了二次根式的化簡求值，最短路徑問題，熟練掌握二次根式的化簡方法以及最短路徑問題的模型，是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共64分）19．（16分）計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可；（2）根據(jù)二次根式加減混合運算法則計算即可；（3）根據(jù)二次根式的乘除混合運算法則計算即可；（4）根據(jù)平方差公式計算即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝；（3）原式＝＝＝6；（4）原式＝＝7﹣5＝2．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)運算法則．20．（5分）下面是小明設(shè)計的“在一個平行四邊形內(nèi)作菱形”的尺規(guī)作圖過程．已知：四邊形ABCD是平行四邊形．求作：菱形ABEF（點E在BC上，點F在AD上）．作法：①以A為圓心，AB長為半徑作弧，交AD于點F；②以B為圓心，AB長為半徑作弧，交BC于點E；③連接EF．所以四邊形ABEF為所求的菱形．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE．在?ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE．∴四邊形ABEF為平行四邊形．（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）∵AF＝AB，∴四邊形ABEF為菱形．（鄰邊相等的四邊形是菱形）（填推理的依據(jù)）【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可．（2）利用平行四邊形的判定，菱形的判定解決問題即可．【解答】（1）解：菱形ABEF即為所求．（2）證明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE，在?ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE．∴四邊形ABEF為平行四邊形．（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，）（填推理的依據(jù)）∵AF＝AB，∴四邊形ABEF為菱形．（鄰邊相等的四邊形是菱形）故答案為：AF＝BE，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的四邊形是菱形．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．21．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分線，交BC于D，AB于E．（1）求證：△ABC為直角三角形；（2）求AE的長．【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE＝CE，設(shè)AE＝x，則EC＝4﹣x，根據(jù)勾股定理可得x2+32＝（4﹣x）2，再解即可．【解答】（1）證明：∵△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，又∵42+32＝52，即AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；（2）證明：連接CE．∵DE是BC的垂直平分線，∴EC＝EB，設(shè)AE＝x，則EC＝4﹣x．∴x2+32＝（4﹣x）2．解之得x＝，即AE的長是．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．22．（5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF長．【分析】（1）先求出四邊形BFDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定推出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出BC長，求出AD＝DF，即可得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∵DF＝BE，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四邊形BFDE是矩形；（2）解：∵四邊形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°，∴∠BFC＝90°，在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，∴BC＝5，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵AB∥DC，∴∠DFA＝∠BAF，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF，∵AD＝BC，∴DF＝BC，∴DF＝5．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．23．（4分）海倫公式是利用三角形三條邊長求三角形面積的公式，用符號表示為：（其中a，b，c為三角形的三邊長，，S為三角形的面積）．利用上述材料解決問題：當a＝2，b＝3，c＝4時．（1）直接寫出p的化簡結(jié)果為．（2）寫出計算S值的過程．【分析】（1）根據(jù)題目中提供的信息，代入數(shù)據(jù)求值即可；（2）根據(jù)題目中的面積公式，代入求值即可．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝3，c＝4，∴．故答案為：．（2）∵a＝2，b＝3，c＝4，，∴＝＝＝．【點評】本題主要考查了代數(shù)式求值，二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，準確計算．24．（4分）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫做格點，每個小正方形邊長為1，以格點為頂點分別按下列要求畫圖．（1）在圖①中，畫一個正方形，使它的邊長為；（2）在圖②中，畫一個直角三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；（3）在圖③中，畫一個三角形，使它的三邊長分別為，，5，并直接寫出該三角形最長邊上的高的長度．【分析】（1）根據(jù)勾股定理得出正方形的邊長，即可得到圖形；（2）構(gòu)造邊長為3，4，5的直角三角形即可；（3）根據(jù)勾股定理逆定理判斷△ABC為直角三角形，再根據(jù)三角形的面積計算公式進行計算即可得到答案．【解答】解：（1）如圖①，正方形ABCD即為所求；（2）如圖②，△ABC即為所求；（3）如圖③，△ABC即為所求，∵，，，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，三角形最長邊上的高的長度為：．答：三角形最長邊上的高的長度為2．【點評】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計，無理數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．25．（5分）某同學在解決問題：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是這樣分析與求解的：先將a進行分母有理化，過程如下，，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請你根據(jù)上述分析過程，解決如下問題：（1）若，請將a進行分母有理化；（2）在（1）的條件下，求a2﹣2a的值；（3）在（1）的條件下，求2a3﹣4a2﹣1的值．【分析】（1）按照分母有理化的方法進行解答即可；（2）根據(jù)，得出（a﹣1）2＝2，根據(jù)（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，得出a2﹣2a+1＝2，即可求出結(jié)果；（3）將2a3﹣4a2﹣1變形為2a（a2﹣2a）﹣1，將a2﹣2a＝1代入得出2a（a2﹣2a）﹣1＝2a﹣1，再將代入求值即可．【解答】解：（1）a＝＝＝；（2）∵，∴（a﹣1）2＝2，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1；（3）根據(jù)（2）可知，a2﹣2a＝1，∴2a3﹣4a2﹣1＝2a（a2﹣2a）﹣1＝2a﹣1，當a＝時，原式＝2（）﹣1＝2．【點評】本題主要考查了二次根式的混合運算，分母有理化，解題的關(guān)鍵是注意整體代入思想．26．（7分）三國時期的數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對一元二次方程進行求解的方法，以x2﹣2x﹣3＝0為例，大致過程如下：第一步：將原方程變形為x2﹣2x＝3．即x（x﹣2）＝3．第二步：構(gòu)造一個長為x，寬為（x﹣2）的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖①所示．第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖②所示．第四步：將大正方形邊長用含x的代數(shù)式表示為[x+（x﹣2）]．小正方形邊長為常數(shù)2，長方形面積之和為常數(shù)12．由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程（2x﹣2）2＝16；，兩邊開方可求得x1＝3，x2＝﹣1．（1）第四步中橫線上應(yīng)依次填入[x+（x﹣2）]，2，12，（2x﹣2）2＝16；；（2）請參考古人的思考過程，畫出示意圖，寫出步驟，解方程x2﹣x﹣3＝0．【分析】（1）根據(jù)題意，表示出大正方形的邊長，小正方形的邊長，長方形面積之和，再由大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和列出方程即可得到答案；（2）先將原方程變形，構(gòu)造出一個長為x，寬為（x﹣1）的長方形，長比寬大1，且面積為3，再用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，然后根據(jù)大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得出一個方程，解方程即可得到答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得：大正方形的邊長為：[x+（x﹣2）]，小正方形的邊長為：[x+（x﹣2）]﹣2（x﹣2）＝2，長方形面積之和為：4×3＝12，∵大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，∴（2x﹣2）2＝4×3+22＝16，故答案為：[x+（x﹣2）]，2，12，（2x﹣2）2＝16；（2）解：第一步：將原方程變形為x2﹣x＝3，即x（x﹣1）＝3，第二步：構(gòu)造成一個長為x，寬為（x﹣1）的長方形，長比寬大1，且面積為3，第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖所示，，第四步：將大正方形邊長用含x的代數(shù)式表示為[x+（x﹣1）]，小正方形邊長為常數(shù)[x+（x﹣1）]﹣2（x﹣1）＝1，長方形面積之和為常數(shù)4×3＝12，由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程（2x﹣1）2＝1+12＝13，兩邊開方可求得，．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，用到的知識點是長方形、正方形的面積公式，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．27．（7分）現(xiàn)有正方形ABCD和一個直角∠MON．（1）如圖1，若點O與點A重合，射線OM交CB延長線于E，射線ON交正方形的邊CD于F，則OE與OF的數(shù)量關(guān)系是OE＝OF，請證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若點O在正方形的對角線AC上，射線OM交BC延長線于E，射線ON恰好經(jīng)過點D，則CB、CE與CO的數(shù)量關(guān)系是OC+CE＝BC，請證明你的結(jié)論；（3）若∠MON在正方形ABCD所在平面內(nèi)任意移動，射線OM交直線BC于點E，射線ON交直線CD于點F，若OE與OF始終保持相等，請你直接寫出點O所有可能的位置．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△EAB≌△DAF（ASA）即可得證；（2）作OF⊥AC，交BC于F，由正方形的性質(zhì)和OF⊥AC可得△COF為等腰直角三角形，通過證明△FOE≌△COD（ASA），即可得到結(jié)論；（3）當點O在線段AC上時，作OQ⊥CD交CD于Q，作OP⊥BC交BC于P，通過證明△OPC≌OQC（AAS）和△OPE≌△OQF（ASA），即可得到OE與OF始終保持相等，當點O在AC的延長線上時，作OK⊥CF交CF于K，OJ⊥BE交BE于J，通過證明△OKC≌OJC（AAS）和△OJE≌△OKF（ASA），即可得到OE與OF始終保持相等，同理可得，當點O在CA的延長線上時，OE與OF始終保持相等．【解答】解：（1）OE＝OF，證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EAB+∠BAN＝90°，∠DAN+∠BAN＝90°，∴∠EAB＝∠DAF，在△EAB和△DAF中，，∴△EAB≌△DAF（ASA），∴AE＝AF，∴OE＝OF；（2），證明如下：如圖，作OF⊥AC，交BC于F，，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ACB＝∠DCO＝45°，∵OF⊥AC，∴△COF為等腰直角三角形，∴OF＝OC，CF＝＝＝OC，∠OFE＝∠OCD＝45°，∴∠FOC+∠COE＝∠COE+∠DOE，即∠FOE＝∠COD，在△FOE和△COD中，，∴△FOE≌△COD（ASA），∴EF＝CD，∴EF＝BC，∴OC+CE＝BC；（3）當點O在線段AC上時，如圖所示，作OQ⊥CD交CD于Q，作OP⊥BC交BC于P，，則∠OPC＝∠OQC＝90°，由正方形的性質(zhì)可得：∠OCP＝∠OCQ＝45°，在△OPC和△OQC中，，∴△OPC≌OQC（AAS），∴OQ＝OP，∵∠POE+∠EOQ＝90°，∠EOQ+∠FOQ＝90°，∴∠POE＝∠QOF，在△OPE和△OQF中，，∴△OPE≌△OQF（ASA），∴OE＝OF，∴當點O在線段AC上時，OE與OF始終保持相等，當點O在射線AC上時，如圖所示，作OK⊥CF交CF于K，OJ⊥BE交BE于J，，則∠OKF＝∠OJE＝90°，四邊形OKCJ為矩形，由正方形的性質(zhì)和對頂角的性質(zhì)可得：∠OCK＝∠OCJ＝45°，在△OKC和△OJC中，，∴△OK