2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題2分，共16分）1．（2分）下列關(guān)于奧運(yùn)會(huì)的剪紙圖形中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）一家鞋店在某種運(yùn)動(dòng)鞋進(jìn)貨的過程中，商家關(guān)注的是賣出的這種運(yùn)動(dòng)鞋尺碼組成的一組數(shù)據(jù)的（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差3．（2分）下列各式中，化簡(jiǎn)后能與合并的是（）A． B． C． D．4．（2分）一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線分別是6cm和8cm，則這個(gè)菱形的面積等于（）A．24cm2 B．48cm2 C．12cm2 D．18cm25．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)F，若BF＝6，AB＝5，則AE的長(zhǎng)為（）A．6.5 B．7 C．7.5 D．86．（2分）小明將圖案繞某點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度α，設(shè)計(jì)出一個(gè)外輪廓為正六邊形的圖案（如圖），則α可以為（）A．30° B．60° C．90° D．120°7．（2分）小明學(xué)了利用勾股定理在數(shù)軸上找一個(gè)無理數(shù)的準(zhǔn)確位置后，又進(jìn)一步進(jìn)行練習(xí)：首先畫出數(shù)軸，設(shè)原點(diǎn)為點(diǎn)O，在數(shù)軸上的2個(gè)單位長(zhǎng)度的位置找一個(gè)點(diǎn)A，然后過點(diǎn)A作AB⊥OA，且AB＝3．以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作弧，設(shè)與數(shù)軸右側(cè)交點(diǎn)為點(diǎn)P，則點(diǎn)P的位置在數(shù)軸上（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間8．（2分）如圖，在矩形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，以EF為邊作?EFGH，且點(diǎn)G、H分別在CD、AD上．在動(dòng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，?EFGH的面積（）A．逐漸增大 B．逐漸減小 C．不變 D．先增大，再減小二、填空題（每題2分，共16分）9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．10．（2分）在湖的兩側(cè)有A，B兩個(gè)觀湖亭，為測(cè)定它們之間的距離，小明在岸上任選一點(diǎn)C，并量取了AC中點(diǎn)D和BC中點(diǎn)E之間的距離為50米，則A，B之間的距離應(yīng)為米．11．（2分）每年的4月23日是“世界讀書日”，某校為了解4月份八年級(jí)學(xué)生的讀書情況，隨機(jī)調(diào)查了八年級(jí)50名學(xué)生讀書的冊(cè)數(shù)，數(shù)據(jù)整理如下：冊(cè)數(shù)01234人數(shù)9320153由此估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生4月份人均讀書冊(cè)．12．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D為線段AB的中點(diǎn)，則∠BCD＝°．13．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，則BC＝．14．（2分）某市2021年和2022年5月1日至5日每日最高氣溫（單位：℃）如下表：1日2日3日4日5日2021年22222424252022年2726313330則這五天的最高氣溫更穩(wěn)定的是年（填“2021”或“2022”）．15．（2分）如圖，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置上，BC′交AD于點(diǎn)E，若AB＝3，BC＝6，則DE的長(zhǎng)為．16．（2分）在正方形ABCD中，AB＝5，點(diǎn)E、F分別為AD、AB上一點(diǎn)，且AE＝AF，連接BE、CF，則BE+CF的最小值是．三、解答題（共68分）17．（8分）計(jì)算：（1）；（2）（π﹣2023）0+|1﹣|﹣+（）﹣2．18．（4分）已知：如圖，E、F分別是?ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且∠1＝∠2．求證：AE＝CF．19．（5分）下面是小明設(shè)計(jì)的“在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形”的尺規(guī)作圖過程．已知：四邊形ABCD是平行四邊形．求作：菱形ABEF（點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD上）．作法：①以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交AD于點(diǎn)F；②以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于點(diǎn)E；③連接EF．所以四邊形ABEF為所求作的菱形．（1）根據(jù)小明的做法，使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明；證明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴＝．在?ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE，∴四邊形ABEF為平行四邊形（）（填推理的依據(jù)），∵AF＝AB，∴四邊形ABEF為菱形（）（填推理的依據(jù)）．20．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA′B′，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA'B'，并寫出點(diǎn)A'、B′的坐標(biāo)．21．（5分）有一塊空白地，如圖，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m，試求這塊空白地的面積．22．（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長(zhǎng)各幾何．（1丈＝10尺）大意是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題意畫出圖形（如圖所示），其中水面寬AB＝10尺，線段CD，CB表示蘆葦，CD⊥AB于點(diǎn)E．（1）圖中DE＝尺，EB＝尺；（2）求水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度．23．（5分）已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD．求證：EF＝AD．24．（6分）某中學(xué)為了解家長(zhǎng)對(duì)課后延時(shí)服務(wù)的滿意度，從七，八年級(jí)中各隨機(jī)抽取50名學(xué)生家長(zhǎng)進(jìn)行問卷調(diào)查，獲得了每位學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)課后延時(shí)服務(wù)的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)（記為x），并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．八年級(jí)課后延時(shí)服務(wù)家長(zhǎng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的頻數(shù)分布表如表（數(shù)據(jù)分為5組：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：分組頻數(shù)0≤x＜60260≤x＜70570≤x＜801580≤x＜90a90≤x≤1008合計(jì)50b．八年級(jí)課后延時(shí)服務(wù)家長(zhǎng)評(píng)分在80≤x＜90這一組的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，前5個(gè)數(shù)據(jù)如下：81，81，82，83，83．c．七，八年級(jí)課后延時(shí)服務(wù)家長(zhǎng)評(píng)分的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)如表：年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七787985八81b83根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表中a＝，b＝．（2）你認(rèn)為年級(jí)的課后延時(shí)服務(wù)開展得較好，理由是．（至少?gòu)膬蓚€(gè)不同的角度說明理由）（3）已知該校八年級(jí)共有600名學(xué)生家長(zhǎng)參加了此次調(diào)查評(píng)分，請(qǐng)你估計(jì)其中大約有多少名家長(zhǎng)的評(píng)分不低于80分．25．（6分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過B點(diǎn)作BE∥AC，且BE＝AC，連結(jié)EC，ED．（1）求證：四邊形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的長(zhǎng)．26．（5分）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，∵+b≥0，∴a+b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，x+的最小值為；當(dāng)x＜0時(shí)，x+的最大值為．（2）當(dāng)x＞0時(shí)，求y＝的最小值．27．（8分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊所在直線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)B作BF⊥DE，交射線DE于點(diǎn)F，連接CF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，∠BDF＝α．①按要求補(bǔ)全圖形；②∠EBF＝（用含α的式子表示）；③判斷線段BF，CF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上時(shí)，直接寫出線段BF，CF，DF之間的數(shù)量關(guān)系．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若P，Q為某個(gè)矩形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”．圖1為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”的示意圖．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2）．（1）如圖2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b）．①若b＝4，則點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積是；②若點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積是5，則b的值為．（2）如圖3，等邊△DEF的邊DE在x軸上，頂點(diǎn)F在y軸的正半軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）．點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2）．若在△DEF的邊上存在一點(diǎn)N，使得點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．

2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題2分，共16分）1．（2分）下列關(guān)于奧運(yùn)會(huì)的剪紙圖形中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念判斷．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．【解答】解：選項(xiàng)A、B、C都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形．選項(xiàng)D能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中心對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．2．（2分）一家鞋店在某種運(yùn)動(dòng)鞋進(jìn)貨的過程中，商家關(guān)注的是賣出的這種運(yùn)動(dòng)鞋尺碼組成的一組數(shù)據(jù)的（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義分析判斷即可，得出商家最關(guān)心的數(shù)據(jù)．【解答】解：∵眾數(shù)體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最多的一點(diǎn)，這樣可以確定進(jìn)貨的數(shù)量，∴商家更應(yīng)該關(guān)注這種運(yùn)動(dòng)鞋尺碼的眾數(shù)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，主要是眾數(shù)的意義．反映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計(jì)量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等，各有局限性，因此要對(duì)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行合理的選擇和恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用．3．（2分）下列各式中，化簡(jiǎn)后能與合并的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，根據(jù)同類二次根式的概念判斷即可．【解答】解：A、＝2，化簡(jiǎn)后不能與合并，不符合題意；B、＝，化簡(jiǎn)后不能與合并，不符合題意；C、＝，化簡(jiǎn)后能與合并，符合題意；D、＝＝，化簡(jiǎn)后不能與合并，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是同類二次根式、最簡(jiǎn)二次根式，把各個(gè)二次根式正確化為最簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．4．（2分）一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線分別是6cm和8cm，則這個(gè)菱形的面積等于（）A．24cm2 B．48cm2 C．12cm2 D．18cm2【分析】根據(jù)菱形的面積公式：菱形的面積＝兩條對(duì)角線的乘積的一半即可求得其面積．【解答】解：∵菱形的面積＝×兩條對(duì)角線的乘積＝×6×8＝24cm2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是菱形的面積求法及菱形性質(zhì)的綜合．菱形的面積有兩種求法（1）利用底乘以相應(yīng)底上的高，（2）利用菱形的特殊性，菱形面積＝兩條對(duì)角線的乘積的一半；具體用哪種方法要看已知條件來選擇．5．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)F，若BF＝6，AB＝5，則AE的長(zhǎng)為（）A．6.5 B．7 C．7.5 D．8【分析】先證明四邊形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝3，由勾股定理求出OA，即可得出AE的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB＝AF，∴四邊形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝3，∴OA＝，∴AE＝2OA＝8；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形ABEF是菱形是解決問題的關(guān)鍵．6．（2分）小明將圖案繞某點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度α，設(shè)計(jì)出一個(gè)外輪廓為正六邊形的圖案（如圖），則α可以為（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義確定兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，求得其與O點(diǎn)連線的夾角即可求得旋轉(zhuǎn)角．【解答】解：如圖，當(dāng)經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)B的位置上，此時(shí)∠COB＝360°÷6＝60°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是能夠找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定旋轉(zhuǎn)角，從而確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，難度不大．7．（2分）小明學(xué)了利用勾股定理在數(shù)軸上找一個(gè)無理數(shù)的準(zhǔn)確位置后，又進(jìn)一步進(jìn)行練習(xí)：首先畫出數(shù)軸，設(shè)原點(diǎn)為點(diǎn)O，在數(shù)軸上的2個(gè)單位長(zhǎng)度的位置找一個(gè)點(diǎn)A，然后過點(diǎn)A作AB⊥OA，且AB＝3．以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作弧，設(shè)與數(shù)軸右側(cè)交點(diǎn)為點(diǎn)P，則點(diǎn)P的位置在數(shù)軸上（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【分析】利用勾股定理列式求出OB，再根據(jù)無理數(shù)的大小判斷即可．【解答】解：由勾股定理得，OB＝，∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴該點(diǎn)位置大致在數(shù)軸上3和4之間．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，估算無理數(shù)的大小，熟記定理并求出OB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．8．（2分）如圖，在矩形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，以EF為邊作?EFGH，且點(diǎn)G、H分別在CD、AD上．在動(dòng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，?EFGH的面積（）A．逐漸增大 B．逐漸減小 C．不變 D．先增大，再減小【分析】設(shè)AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，根據(jù)S平行四邊形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝（a﹣2c）x+bc，由E是AB的中點(diǎn)可得a﹣2c＝0，進(jìn)而判斷．【解答】解：設(shè)AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，連接EG，∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠FEG＝∠HGE，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGE，∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，∴∠BEF＝∠HGD∵EF＝HG，∠B＝∠D，∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），同理Rt△AEH≌Rt△CGF，∴S平行四邊形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx＝（a﹣2c）x+bc，∵E是AB的中點(diǎn)，∴a＝2c，∴a﹣2c＝0，∴S平行四邊形EFGH＝bc＝ab，方法二：連接EG，∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠FEG＝∠HGE，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGE，∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，∴∠BEF＝∠HGD∵EF＝HG，∠B＝∠D，∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），∴DG＝BE＝CD＝AE，∴四邊形AEGD為平行四邊形，∵∠A＝90°，∴?AEGD為矩形，同理四邊形EBCG為矩形，∴S平行四邊形EFGH＝S△EHG+S△EFG＝EG?DG+EG?GC＝EG?DG＝EG?CD＝S矩形ABCD．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．二、填空題（每題2分，共16分）9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，﹣3）．【分析】?jī)牲c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是互為相反數(shù)，因而點(diǎn)（a，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是（﹣a，﹣b）．【解答】解：點(diǎn)A（2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，﹣3），故答案為：（﹣2，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)是解題關(guān)鍵．10．（2分）在湖的兩側(cè)有A，B兩個(gè)觀湖亭，為測(cè)定它們之間的距離，小明在岸上任選一點(diǎn)C，并量取了AC中點(diǎn)D和BC中點(diǎn)E之間的距離為50米，則A，B之間的距離應(yīng)為100米．【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵點(diǎn)D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴AB＝2DE＝100（米），故答案為：100．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．11．（2分）每年的4月23日是“世界讀書日”，某校為了解4月份八年級(jí)學(xué)生的讀書情況，隨機(jī)調(diào)查了八年級(jí)50名學(xué)生讀書的冊(cè)數(shù)，數(shù)據(jù)整理如下：冊(cè)數(shù)01234人數(shù)9320153由此估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生4月份人均讀書2冊(cè)．【分析】先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)得出50名學(xué)生讀書的冊(cè)數(shù)，然后除以50即可求出平均數(shù)．【解答】解：估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生4月份人均讀書（0×9+1×3+2×20+3×15+4×3）÷50＝2（冊(cè)），由此估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生4月份人均讀書2冊(cè)．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法，通過樣本去估計(jì)總體，總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)近似相等．12．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D為線段AB的中點(diǎn)，則∠BCD＝50°．【分析】由“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”得到∠B＝50°．根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到CD＝BD，則等邊對(duì)等角，即∠BCD＝∠B＝50°．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°．∵D為線段AB的中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B＝50°．故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是熟練掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．13．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，則BC＝．【分析】作AD⊥BC于D，利用∠B＝30°，求出AD，再利用∠C＝45°，求出CD，再求BC即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2，∴，∵∠C＝45°，∴DC＝AD＝2，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角形邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．14．（2分）某市2021年和2022年5月1日至5日每日最高氣溫（單位：℃）如下表：1日2日3日4日5日2021年22222424252022年2726313330則這五天的最高氣溫更穩(wěn)定的是2021年（填“2021”或“2022”）．【分析】分別計(jì)算兩年的3月上旬的平均數(shù)和方差，然后根據(jù)方差的意義判斷．【解答】解：2021年5月1日至5日氣溫的平均數(shù)為：，方差為：＝1.442022年5月1日至5日氣溫的平均數(shù)為：＝29.4，方差為：＝6.64，方差越大的數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定，由于6.64＞1.44，所以2021年5月1日至5日氣溫更穩(wěn)定．故答案為：2021．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個(gè)結(jié)果叫方差．方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．15．（2分）如圖，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置上，BC′交AD于點(diǎn)E，若AB＝3，BC＝6，則DE的長(zhǎng)為．【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠DBC＝∠DBE，再由AD∥BC得到∠DBC＝∠BDE，則∠DBE＝∠BDE，可判斷BE＝DE，設(shè)AE＝x，則DE＝BE＝6﹣x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理得到x2+32＝（6﹣x）2，再解方程即可得出AE以及DE的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，∠A＝90°，∵△BDC′是由△BDC折疊得到，∴∠DBC＝∠DBE，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE，設(shè)AE＝x，則DE＝AD﹣AE＝6﹣x，BE＝6﹣x，在Rt△ABE中，∵AE2+AB2＝BE2，∴x2+32＝（6﹣x）2，解得：x＝，則DE的長(zhǎng)為：6﹣＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及勾股定理；熟練掌握折疊變換的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．16．（2分）在正方形ABCD中，AB＝5，點(diǎn)E、F分別為AD、AB上一點(diǎn)，且AE＝AF，連接BE、CF，則BE+CF的最小值是5．【分析】連接DF，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ADF≌△ABE（SAS），可得DF＝BE，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′交AB于點(diǎn)F′，連接D′F，則DF＝D′F，可得BE+CF＝DF+CF＝D′F+CF≥CD′，所以當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)F′重合時(shí)，D′F+CF最小，最小值為CD′的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．【解答】解：如圖，連接DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAE＝∠DAF＝90°，在△ADF和△ABE中，，∴△ADF≌△ABE（SAS），∴DF＝BE，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′交AB于點(diǎn)F′，連接D′F，則DF＝D′F，∴BE+CF＝DF+CF＝D′F+CF≥CD′，∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)F′重合時(shí)，D′F+CF最小，最小值為CD′的長(zhǎng)，在Rt△CDD′中，根據(jù)勾股定理得：CD′＝＝＝5，∴BE+CF的最小值是5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)．三、解答題（共68分）17．（8分）計(jì)算：（1）；（2）（π﹣2023）0+|1﹣|﹣+（）﹣2．【分析】（1）先利用二次根式的乘法法則和平方差公式運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)二次根式后合并即可；（2）先根據(jù)零指數(shù)冪、絕對(duì)值的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算，然后把化簡(jiǎn)后合并即可．【解答】解：（1）原式＝+5﹣3＝+2＝3+2＝5；（2）原式＝1+﹣1﹣3+9＝9﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是解決問題的關(guān)鍵．18．（4分）已知：如圖，E、F分別是?ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且∠1＝∠2．求證：AE＝CF．【分析】先由平行四邊形的對(duì)邊平行得出AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAE＝∠1，而∠1＝∠2，于是∠DAE＝∠2，根據(jù)平行線的判定得到AE∥CF，由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形得到四邊形AECF是平行四邊形，從而根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等得到AE＝CF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠2，∴AE∥CF，∵AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AE＝CF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，難度適中．證明出AE∥CF是解題的關(guān)鍵．19．（5分）下面是小明設(shè)計(jì)的“在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形”的尺規(guī)作圖過程．已知：四邊形ABCD是平行四邊形．求作：菱形ABEF（點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD上）．作法：①以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交AD于點(diǎn)F；②以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于點(diǎn)E；③連接EF．所以四邊形ABEF為所求作的菱形．（1）根據(jù)小明的做法，使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明；證明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE．在?ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE，∴四邊形ABEF為平行四邊形（一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)），∵AF＝AB，∴四邊形ABEF為菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形．）（填推理的依據(jù)）．【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可．（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可．【解答】解：（1）四邊形ABEF為所求作的菱形．（2）∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE，在?ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四邊形ABEF為平行四邊形（一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形）．∵AF＝AB，∴四邊形ABEF為菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形．）故答案為：AF，BE，一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．20．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA′B′，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA'B'，并寫出點(diǎn)A'、B′的坐標(biāo)．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可求解．【解答】解：如圖所示，△OA'B'即為所求，A'（0，﹣5），B'（﹣3，﹣4），【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（5分）有一塊空白地，如圖，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m，試求這塊空白地的面積．【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理可求出AC的長(zhǎng)，再證明△ACB為直角三角形，根據(jù)四邊形ABCD的面積＝△ABC面積﹣△ACD面積即可計(jì)算．【解答】解：連接AC，在Rt△ACD中，∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10米，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB為直角三角形，∠ACB＝90°．∴S空白＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（米2）．答：這塊空白地的面積是96米2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的運(yùn)用和勾股定理的逆定理運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACB為直角三角形．22．（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長(zhǎng)各幾何．（1丈＝10尺）大意是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題意畫出圖形（如圖所示），其中水面寬AB＝10尺，線段CD，CB表示蘆葦，CD⊥AB于點(diǎn)E．（1）圖中DE＝1尺，EB＝5尺；（2）求水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度．【分析】（1）直接利用水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，且邊長(zhǎng)為10尺的正方形，E為AB中點(diǎn)，即可得出答案；（2）根據(jù)題意，可知AB的長(zhǎng)為10尺，則EB＝5尺，設(shè)蘆葦長(zhǎng)DC＝BC＝x尺，表示出水深EC，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L(zhǎng)和水深．【解答】解：（1）由題意可得：DE＝1尺，BE＝AB＝5尺；故答案為：1，5；（2）設(shè)蘆葦長(zhǎng)DC＝BC＝x尺，則水深EC＝（x﹣1）尺，在Rt△ECB中，52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13，則EC＝13﹣1＝12（尺），答：蘆葦長(zhǎng)13尺，水深為12尺．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合以及表示出直角三角形的各邊長(zhǎng)．23．（5分）已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD．求證：EF＝AD．【分析】由DE、DF是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可求得四邊形AEDF是平行四邊形，又∠BAC＝90°，則可證得平行四邊形AEDF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等即可得EF＝AD．【解答】證明：∵DE，DF是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AEDF是平行四邊形，又∵∠BAC＝90°，∴平行四邊形AEDF是矩形，∴EF＝AD．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與矩形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，但難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．24．（6分）某中學(xué)為了解家長(zhǎng)對(duì)課后延時(shí)服務(wù)的滿意度，從七，八年級(jí)中各隨機(jī)抽取50名學(xué)生家長(zhǎng)進(jìn)行問卷調(diào)查，獲得了每位學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)課后延時(shí)服務(wù)的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)（記為x），并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．八年級(jí)課后延時(shí)服務(wù)家長(zhǎng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的頻數(shù)分布表如表（數(shù)據(jù)分為5組：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：分組頻數(shù)0≤x＜60260≤x＜70570≤x＜801580≤x＜90a90≤x≤1008合計(jì)50b．八年級(jí)課后延時(shí)服務(wù)家長(zhǎng)評(píng)分在80≤x＜90這一組的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，前5個(gè)數(shù)據(jù)如下：81，81，82，83，83．c．七，八年級(jí)課后延時(shí)服務(wù)家長(zhǎng)評(píng)分的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)如表：年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七787985八81b83根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表中a＝20，b＝82.5．（2）你認(rèn)為年級(jí)的課后延時(shí)服務(wù)開展得較好，理由是（答案不唯一，言之有理即可．）八年級(jí)課后延時(shí)服務(wù)家長(zhǎng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的平均數(shù)為81分，高于七年級(jí)的78分，說明八年級(jí)家長(zhǎng)評(píng)分整體高于七年級(jí)；八年級(jí)課后延時(shí)服務(wù)家長(zhǎng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)為82.5，七年級(jí)為79，說明八年級(jí)一半的家長(zhǎng)評(píng)分高于82.5分，而七年級(jí)一半的家長(zhǎng)評(píng)分僅高于79分．（至少?gòu)膬蓚€(gè)不同的角度說明理由）（3）已知該校八年級(jí)共有600名學(xué)生家長(zhǎng)參加了此次調(diào)查評(píng)分，請(qǐng)你估計(jì)其中大約有多少名家長(zhǎng)的評(píng)分不低于80分．【分析】（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義，各組頻數(shù)之和為50即可求出a的值，利用中位數(shù)的定義可求出八年級(jí)得分的中位數(shù)，即m的值；（2）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的大小進(jìn)行判斷即可；（3）求出家長(zhǎng)的評(píng)分不低于80分所占的分率，再乘以600即可求解．【解答】解：（1）a＝50﹣2﹣5﹣15﹣8＝20，b＝（82+83）÷2＝82.5．故答案為：20，82.5；（2）八年級(jí)的課后延時(shí)服務(wù)開展得較好，理由如下：（答案不唯一，言之有理即可．）八年級(jí)課后延時(shí)服務(wù)家長(zhǎng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的平均數(shù)為81分，高于七年級(jí)的78分，說明八年級(jí)家長(zhǎng)評(píng)分整體高于七年級(jí)；八年級(jí)課后延時(shí)服務(wù)家長(zhǎng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)為82.5，七年級(jí)為79，說明八年級(jí)一半的家長(zhǎng)評(píng)分高于82.5分，而七年級(jí)一半的家長(zhǎng)評(píng)分僅高于79分．（3）＝336（名），答：估計(jì)其中大約有336名家長(zhǎng)的評(píng)分不低于80分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)分布表，中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及樣本估計(jì)總體，理解中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的意義，掌握中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算方法是解決問題的前提．25．（6分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過B點(diǎn)作BE∥AC，且BE＝AC，連結(jié)EC，ED．（1）求證：四邊形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得∠BOC＝90°，OC＝AC，推出BE＝OC，即可得出四邊形BECO是平行四邊形，又由∠BOC＝90°，即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，易證△ABC是等邊三角形，得出BC＝AC＝2，由勾股定理求出OB＝，則BD＝2，由矩形的性質(zhì)得出BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，再由勾股定理即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，∵BE＝AC，∴BE＝OC，∵BE∥AC，∴四邊形BECO是平行四邊形，∵∠BOC＝90°，∴四邊形BECO是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC＝2，在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB＝＝，∴BD＝2OB＝2，由（1）得：四邊形BECO是矩形，∴BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，在Rt△DBE中，由勾股定理得：DE＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．26．（5分）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，∵+b≥0，∴a+b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，x+的最小值為2；當(dāng)x＜0時(shí)，x+的最大值為﹣2．（2）當(dāng)x＞0時(shí)，求y＝的最小值．【分析】（1）根據(jù)題中的不等式求解；（2）先把代數(shù)式變形，再利用題中的不等式求解．【解答】解：（1）∵x＞0，∴x+≥2＝2；∵x＜0，∴x+＝﹣[﹣x+（﹣）]，∵﹣x+（﹣）≥2，∴x+≤﹣2，故答案為：2，﹣2；（2）∵x＞0，∴y＝＝x+3+≥2+3＝8+3＝11，∴y的最小值為11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，理解題中的新方法是解題的關(guān)鍵．27．（8分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊所在直線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)B作BF⊥DE，交射線DE于點(diǎn)F，連接CF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，∠BDF＝α．①按要求補(bǔ)全圖形；②∠EBF＝45°﹣α（用含α的式子表示）；③判斷線段BF，CF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上時(shí)，直接寫出線段BF，CF，DF之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①根據(jù)描述畫出圖形即可；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠DBF＝90°﹣α，由正方形的性質(zhì)可得∠CBD＝45°，則∠EBF＝∠DBF﹣∠CBD；③在DF上截取點(diǎn)G，使DG＝BF，連接CG，易通過SAS證明△BCF≌△DCG，得到CF＝CG，∠BCF＝∠DCG，于是可得∠GCF＝∠BCD＝90°，由等腰直角三角形的性質(zhì)得GF＝CF，以此即可得到線段BF，CF，DF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，由（1）③可知，DF＝BF+CF；②當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BF交CD于點(diǎn)N，在BF上截取點(diǎn)H，使BH＝DF，易通過SAS證明△BCH≌△DCF，得到CH＝CF，∠BCH＝∠DCF，∠HCF＝∠BCD＝90°，于是GF＝CF，DF＝DG+GF＝BF+CF；③當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，在ED的延長(zhǎng)線截取點(diǎn)M，使DM＝BF，連接CM，易證明通過SAS△BCF≌△DCM，同理可FM＝CF，于是DF+BF＝CF．【解答】解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖所示，②∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°，∵∠BDF＝α，∴∠DBF＝90°﹣∠BDF＝90°﹣α，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠CBD＝45°，∴∠EBF＝∠DBF﹣∠CBD＝90°﹣α﹣45°＝45°﹣α；故答案為：45°﹣α；③DF＝BF+CF，理由如下：在DF上截取點(diǎn)G，使DG＝BF，連接CG，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，∵∠BDF＝α，∴∠CDG＝45°﹣α，由②知，∠EBF＝45°﹣α，∴∠CBF＝∠CDG，在△BCF和△DCG中，，△BCF≌△DCG（SAS），∴CF＝CG，∠BCF＝∠DCG，∴∠GCF＝∠GCE+∠BCF＝∠GCE+∠DCG＝∠BCD＝90°，∴△GCF為等腰直角三角形，GF＝CF，∴DF＝DG+GF＝BF+CF；（2）①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，由（1）③可知，DF＝BF+CF；②當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BF交CD于點(diǎn)N，在BF上截取點(diǎn)H，使BH＝DF，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵BF⊥DE，∴∠NDF+∠DNF＝90°，∠CBN+∠BNC＝90°，∵∠BNC＝∠DNF，∴∠CBN＝∠NDF，即∠CBH＝∠CDF，在△BCH和△DCF中，，∴△BCH≌△DCF（SAS），∴CH＝CF，∠BCH＝∠DCF，∴∠HCF＝∠DCF+∠HCN＝∠BCH+∠HCN＝∠BCD＝90°，∴△HCF為等腰直角三角形，∴FH＝CF，∴BF＝BH+FH＝DF+CF；③當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，