2023年山東省中考數(shù)學(xué)真題（附帶答案解析）

2023年山東省中考數(shù)學(xué)真題（附帶答案解析）

（滿分：120分；考試時間：120分鐘）

學(xué)校:___________班級：姓名：考號：

一、選擇題

2

1.孑的倒數(shù)是（）

2233

A.—B.——C.—D.——

3322

【答案】D

【解析】根據(jù)乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)解答.

【詳解】解：一"1）x（一m=1

，一二2的倒數(shù)是一3:

32

故選：D.

【點睛】本題考查倒數(shù)的定義，掌握互為倒數(shù)的兩個數(shù)積為1,是解題的關(guān)鍵.

2.下列二次根式中與&是同類二次根式的是（）

A.74B.76C.瓜D.712

【答案】C

【解析】根據(jù)同類二次根式的定義，逐個進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、=2與&不是同類二次根式，不符合題意；

B、后與夜不是同類二次根式，不符合題意；

C、次=20與0是同類二次根式，符合題意；

D、位=2石與血不是同類二次根式，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡二

次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式；最簡二次根式的特征：（1）被開方數(shù)不含分母；

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

3.下列四種圖案中是中心對稱圖形的是（）

第1頁供

A僉*

【答案】B

【解析】根據(jù)中心對稱圖形的定義，逐個進(jìn)行判斷即可，中心對稱圖形：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點

旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：是中心對稱圖形的只有B

故選：B.

【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵是中心對稱圖形：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著

某個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.

4.下列計算正確的是（）

A.a2+a2—2a4B.（2/）'=6/C.a2-a3—a5D-i-a2—a4

【答案】C

【解析】根據(jù)合并同類項、幕的乘方、同底數(shù)幕的乘法、同底數(shù)幕的除法的運算法則逐項排查即可解答.

【詳解】解：A.々2+42=2々2故該選項不正確，不符合題意；

B.（2/）3=8/故該選項不正確，不符合題意；

C.故該選項正確，符合題意；

D.故該選項不正確，不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了合并同類項、塞的乘方、同底數(shù)舞的乘法、同底數(shù)耳的除法等知識，掌握運算法

則是解題的關(guān)鍵.

3m-2>1,

5.不等式組<c.解集在同一條數(shù)軸上表示正確的是（）

2-m>3

A..|.|,rB..||,一

.1ftI.1ftI

C..I.，.D..1.I,.

■I0I-10I

【答案】A

【解析】用數(shù)軸表示不等式的解集時要注意“兩定”：一是定界點，定邊界點時要注意，點是實心還是空心，

若邊界點含于解集為實心點，不含于解集卻為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向

笫2頁/共

右”.

3m-221①

【詳解】解:

2-心3②

解不等式①得：加之/

解不等式②得：m<—1

將不等式的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示

故選:A.

【點睹】本題主要考查數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握數(shù)軸上表示不等式組的解集的方法是解題的關(guān)

鍵.

6.如圖，對正方體進(jìn)行兩次切割，得到如圖⑤所示的幾何體，則圖⑤幾何體的俯視圖為（

①⑤

【解析】根據(jù)俯視圖的定義，即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：從該幾何體正上方看,棱4E的投影為點E，棱48的投影為線段8E,棱

A。的投影為線段EO,棱AC的投影為正方形3CQE的對角線

???該幾何體的俯視圖為:

第3頁/共

【點精】本題主要考查了俯視圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握俯視圖的定義：從物體正上方看到的圖形是俯視

圖.

7.長時間觀看手機、電腦等電子產(chǎn)品對視力影響非常大.6月6日是“全國愛眼日”，為了解學(xué)生的視力情

況，某學(xué)校從甲、乙兩個班級各隨機抽取8名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計圖，

則下列說法正確的是（）

12345678學(xué)生班

A.甲班視力值的平均數(shù)大于乙班視力值的平均數(shù)

B.甲班視力值的中位數(shù)大于乙班視力值的中位數(shù)

C.甲班視力值的極差小于乙班視力值的極差

D.甲班視力值的方差小于乙班視力值的方差

【答案】D

【解析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，極差，方差的定義分別求解即可.

【詳解】甲班視力值分別為：4.7,5.0,4.7,4.8,4.7,4.7,4.6,4.4；

從小到大排列為：4.4,4.6,4.7,4.7,4.7,4.7,4.8,5.0；中位數(shù)為二——-=4.7

2

平均數(shù)為』(4.4+4.6+4.7+4.7+4.7+4.7+4.8+5.0)=4.7；極差為5.0-4.4=0.6

8

方差為$戶苴(0.3)2+(0.1)2+(0.1)2+(0.3)2卜0.025；

乙班視力值分別為：4.8,4.7,4.7,5.0,464.5,4.9,4.4；

47+47

從小到大排列為：4.4,4.5,4.6,4.7,4.7,4.8,4.9,5.0,中位數(shù)為，——-=4.7

2

平均數(shù)為（（4.4+4.5+4.6+4.7+4.7+4.8+4.9+5.0）=4.7：極差為50—4.4=0.6

方差為產(chǎn)（［（0.3）2+（o2）2+（0.1）2+（0.1）2+（0.2）2+（o3『］=OQ35；

甲、乙班視力值的平均數(shù)、中位數(shù)、極差都相等，甲班視力值的方差小于乙班視力值的方差，故D選項正

確

第4頁/共

故選：D.

【點睛】本題考查了折線統(tǒng)計圖，求平均數(shù)，中位數(shù)，極差，方差，熟練掌握平均數(shù)，中位數(shù)，極差，方

差的定義是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在正方形中陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓心，以正方形邊長的一半為半徑作弧形

成的封閉圖形.將一個小球在該正方形內(nèi)自由滾動，小球隨機地停在正方形內(nèi)的某一點上.若小球停在陰影

部分的概率為耳，停在空白部分的概率為鳥，則R與2的大小關(guān)系為（）

A.P、＜P?B.”2C.D.無法判斷

【答案】B

【解析】根據(jù)題意可得陰影部分面積等于正方形面積的?半，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接AE,BD交于O

由題意得，AB,C,。分別是正方形四條邊的中點

二點。為正方形的中心

??S四邊形408尸二S四邊形.。農(nóng)

根據(jù)題意，可得扇形。A3的面積等于扇形C4O的面積

邊形AO8尸一S煙形OABS四邊形AOCC-S崩形A0C

???陰影部分面積等于空白部分面積，即陰影部分面積等于正方形面積的一半

??4=8

故選：B.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，扇形面積，幾何概率，得出陰影部分面積等于正方形面枳的一半是解

第5頁/共

題的關(guān)鍵.

9.如圖，拋物線丫=0￥2+云+。的頂點人的坐標(biāo)為（一^,加）與工軸的一個交點位于。合和1之間，則以

下結(jié)論：①出（>0；?2b+c>0：③若圖象經(jīng)過點（一3,*）,（3,%），則必〉必；④若關(guān)于x的一元二次

方程?2+灰+。一3=0無實數(shù)根，則m<3.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】根據(jù)圖象，分別得出〃、b、c的符號，即可判斷①；根據(jù)對稱軸得出。=人，再根據(jù)圖象得出當(dāng)

x=l時y=〃+b+c<0,即可判斷②；分別計算兩點到對稱軸的距離，再根據(jù)該拋物線開口向下，在拋

物線上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，即可判斷③；將方程以2+以+c—3=0移項可得

ax2+bx+c=3^根據(jù)該方程無實數(shù)根，得出拋物線》=〃2+協(xié)；+。與直線丁=3沒有交點，即可判斷

④.

【詳解】解：①???該拋物線開口向下

**?a<0

V該拋物線的對稱軸在），軸左側(cè)

???該拋物線于y軸交于正半軸

Ac>0

***abc>0

故①正確，符合題意；

（1）

②,:A——m

、2y>

:,該拋物線的對稱軸為直線x=--=^a=b

la2

當(dāng)工=1時y=。+人+。

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把。二Z?得：當(dāng)x=l時y=2b+c

由圖可知：當(dāng)x=l時y<0

:.22?+c<0

故②不正確，不符合題意；

③?.?該拋物線的對稱軸為直線x=--

2

15（1、7

???（一3,乂）到對稱軸的距離為一弓一（一3）二彳，（3,必）到對稱軸的距離為3—--=-

???該拋物線開口向下

???在拋物線上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小

??54

?一〈一

22

：?y>%

故③正確，符合題意；

④將方程or?+反+.3=0移項可得012+bx+c=3

ax2+Zzx+c-3=0無實數(shù)根

?'.拋物線y="2+法+（?與直線丁=3沒有交點

）

故④正確

綜上：正確的有：①③④，共三個.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷各系數(shù)的方

法，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

io.如圖，在直角坐標(biāo)系中每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點尸為位似中心作正方形出44,

正方形PA4AA，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形尸444的頂點坐標(biāo)分

別為P（-3,O），A（—2,I），4（—I,O）,4（-2,-1）則頂點400的坐標(biāo)為（）

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A.（31.34）B.（31,-34）C.（32,35）D.（32,0）

【答案】A

【解析】根據(jù)圖象可得移動3次完成一個循環(huán)，從而可得出點坐標(biāo)的規(guī)律右,々(〃-3,n).

【詳解】解：4(-2,1)4(-1，2)4(0,3)/(1，4)L

3，n)

V100=3x34-2,則〃=34

??.MOM

故選：A.

【點睛】本題考查了點的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖象，得到點的變化規(guī)律.

二、填空題

11.“北斗系統(tǒng)”是我國自主建設(shè)運行的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，國內(nèi)多個導(dǎo)航地圖采用北斗優(yōu)先定位.目前,

北斗定位服務(wù)日均使用量已超過3600億次.3600億用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】3.6x10"

【解析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax1(/的形式，其中1＜忖＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時要看把原

數(shù)變成。時小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：3600億=3600000000(X),用科學(xué)記數(shù)法表示為3.6x10”.

故答案為：3.6x10".

【點睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中

1V忖V10,〃為整數(shù)，正確確定。的值以及〃的值是解決問題的關(guān)鍵.

第8頁/共

12.一桿古秤在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知Nl=102。，則N2的度數(shù)為

【答案】78。78度

【解析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求解.

【詳解】解:如圖所示，依題意AB//DC

???Z2=/BCD

???ZBCD+Z1=18O0Zl=l02°

???ZBCD=180°-Zl=78°

，Z2=78°.

故答案為：78。.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角器的外弧分別交于點A,B,C,D,

連接A3,則上班。的度數(shù)為.

【答案】52.5°

【解析】如圖：連接OA,OB,OC,OD,AD,AB,由題意可得：OA=OB=OC=OD

ZAOB=50?！?5。=25。然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得NQW=65。NQ4D=25。最后根據(jù)角

的和差即可解答.

【詳解】解：如圖：連接OAO氏OCOD4XAB

由題意可得：OA=OB=OC=ODZAOB=50°-25°=25°ZAOD=\55°-25°=130°

笫9頁/共

??.NOAB=-(180°-ZAOB)=77.5°ZOAD=180。-NAOB)=25°

:.NBAD=NOAB-ZOAD=52.5°.

故答案為52.50.

【點睛】本題主要考查了角的度量、等腰三角形的性質(zhì)等

知識點，靈活運用等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

14.如圖，利用課本上的計算器進(jìn)行計算，其按鍵順序及結(jié)果如下:

圖片不符(無對應(yīng)的特殊運算按鍵)

①2ndF］「I6按鍵的結(jié)果為4：

?OOOOHDQi3按鍵的結(jié)果為8；

③的。。。。。。1|日按鍵的結(jié)果為0.5；

2四日按鍵的結(jié)果為25.

以上說法正確的序號是

【答案】①③

【解析】根據(jù)計算器按鍵，寫出式子，進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：①2ndF］「［64Q按鍵的結(jié)果為病=4；故①正確,符合題意;

日按鍵的結(jié)果為4+(-2)3=-4：故②不正確，不符合題意:

③■按鍵的結(jié)果為疝(45。-15。)=疝30。=0.5；故③正確，符合題

意；

2

2用■按鍵的結(jié)果為x2=1()；故④不正確，不符

合題意:

第10頁/共

綜上：正確的有①@.

故答案為：①③.

【點睛】本題主要考查了科學(xué)計算器是使用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握和了解科學(xué)計算器各個按犍的含義.

15.如圖，在直角坐標(biāo)系中0A與X軸相切于點及C8為0A的直徑，點C在函數(shù)丁=幺（&>0/>0）的圖象

x

上，0為）'軸上一點，.AC。的面積為6,則々的值為.

（k\k1k

【解圻】設(shè)。。,一，則。8=〃,4。=一，則AC=—BC=——，根據(jù)三角形的面積公式得出

Va）a22a

S"8=gAC?°B=6,列出方程求解即可?

【詳解】解：設(shè)c（a，g）

■:04與4軸相切于點B

:.8c_Lx軸

：.0B=a,AC=-,則點。到AC的距離為。

a

???C5為0A的直徑

?s_1k_k

"822a4

解得：左=24

故答案為：24.

【點懵】本題主要考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握切線的定義：經(jīng)過半徑

第11頁/共

外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

16.如圖1,在“8C中動點尸從點A出發(fā)沿折線ABfBCfC4勻速運動至點A后停止.設(shè)點尸的運動

路程為x,線段AP的長度為V,圖2是丁與1的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，其中點尸為曲線DE的最低點，則

LABC的高CG的長為.

圖1圖2

【答案】遞］外

22

【解析】過點A作AQ_L8C于點Q,當(dāng)點夕與。重合時在圖2中產(chǎn)點表示當(dāng)A3+8Q=12時點p到達(dá)

點。，此時當(dāng)P在5c上運動時”最小，勾股定理求得AQ,然后等面積法即可求解.

【詳解】如圖過點A作AQ_L8C于點。，當(dāng)點尸與。重合時在圖2中尸點表示當(dāng)A8+8Q=12時點。

到達(dá)點。，此時當(dāng)尸在8C上運動時"最小

圖2

圖1

:.BC=78。=4,。。=3

在RLABQ中A8=8,8Q=4

???AQ=JABZ-BQ2=y/s2-42=4>/3

第12頁/共

=X

■:SABC~^^CG=—AQxBC

.”BCxAQ7x46773

??co=------------=-----------=------

AB32

故答案為：氈.

2

【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線段最短，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.先化簡，再求值："—6：+9(+2+3］其中。是使不等式空成立的正整數(shù).

a-2I2-aJ2

__a—31

【答案】--：--

4+32

【解析】先根據(jù)分式混合運算法則進(jìn)行化海,然后求出不等式的解集，得出正整數(shù)。的值，再代入數(shù)據(jù)計算

即可.

【詳解】解："-6；+9,+2+3]

a-2I2-aJ

J（2+a）（2-a）5

a-22-a2-a

4―/+5

a-22-a

=（〃-3）22_a

a-2（3+〃）（3-a）

_Q_3

a+3

a—\

解不等式一VI得：a<3

2

?.Z為正整數(shù)

，a=l,2,3

???要使分式有意義。一2。0

，。02

,?■當(dāng)。=3時。+2H--------=3+2-1--------=0

2-a2-3

；?a二3

第13頁/共

1-31

，把a=l代入得：原式二=二一一.

1+32

【點睛】本題主要考查了分式化簡求作，分式有意義的條件，解不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合

運算法則，準(zhǔn)確計算.

18.“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問”而推出的一項

人才培養(yǎng)計劃，旨在培養(yǎng)中國自己的杰出人才.已知A、B、C、I）、E五所大學(xué)設(shè)有數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)

基地，并開設(shè)了暑期夏令營活動，參加活動的每名中學(xué)生只能選擇其中一所大學(xué).某市為了解中學(xué)生的參

與情況，隨機抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)整理后，繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計

（2）在扇形統(tǒng)計圖中。所在的扇形的圓心角的度數(shù)為:若該市有1000名中學(xué)生參加本次活

動，則選擇A大學(xué)的大約有人；

（3）甲、乙兩位同學(xué)計劃從A,B,。三所大學(xué)中任選一所學(xué)校參加夏令營活動，請利用樹狀圖或表格求

兩人恰好選取同一所大學(xué)的概率.

【答案】（1）見解析（2）14.4°；（3）-200

3

【解析】（1）根據(jù)。的人數(shù)除以占比得到總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求得8的人數(shù)，補全統(tǒng)計圖即可求解；

（2）根據(jù)。的占比乘以360。得到圓心角的度數(shù)，根據(jù)1000乘以選擇A的人數(shù)的占比即可求解；

（3）根據(jù)列表法求概率即可求解.

【小問1詳解】解：總?cè)藬?shù)為14?28%=50（人）

，選擇8大學(xué)的人數(shù)為50—10—14—2—8=16,補全統(tǒng)計圖如圖所示

【小問2詳解】在扇形統(tǒng)計圖中。所在的扇形的圓心角的度

第14頁/共

數(shù)為2x360。=14.4。

50

選擇4大學(xué)的大約有1000乂4=200（人）

50

故答案為：14.4。；200.

【小問3詳解】列表如下

ABC

乙

AAAABAC

BBABBBC

CCACBCC

共有9種等可能結(jié)果，其中有3種符合題意

，甲、乙兩人恰好選取同一所大學(xué)概率為《.

3

【點睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，樣本估計總體，列表法求概率，讀懂統(tǒng)計圖,

從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形

統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

19.風(fēng)電項目對于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式具有重要意義.某電力部門在一處坡角為30。的坡地

新安裝了一架風(fēng)力發(fā)電機，如圖1.某校實踐活動小組對該坡地上的這架風(fēng)力發(fā)電機的塔桿高度進(jìn)行了測

量，圖2為測量示意圖.已知斜坡8長16米，在地面點A處測得風(fēng)力發(fā)電機塔桿頂端P點的仰角為

45°,利用無人機在點A的正上方53米的點8處測得P點的俯角為18。，求該風(fēng)力發(fā)電機塔桿PD的高

度.（參考數(shù)據(jù)：sin18°aO.3O9cosl8°?0.951tanl8°?0.325）

圖I圖2

【答案】該風(fēng)力發(fā)電機塔桿尸。的高度為32米

【解析】過點尸作,JLAB于點尸，延長尸力交AC延長線于點E,先根據(jù)含30。角直角三角形的性質(zhì)得

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出OE=8,設(shè)PO=x米，則PE=P￡>+DE=（8+力米，進(jìn)而得出AE=（8+x）米，證明四邊形

FAEP為矩形,則PF=AE=（8+x）米，A/=PE=（8+x）米，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系得出

RF

8尸=48-A尸=s（45-力米，最后根據(jù)萬一=1an18。，列出方程求解即可.

【詳解】解：過點尸作于點凡延長尸。交AC延長線于點E

根據(jù)題意可得：和PO垂直于水平面NDCE=30。，NB4C=45。和NG8P=18。

:.PEA.AE

???。乃=16米

：,DE=-CD=\6x-=S（米）

22

設(shè)PO=x米，則PE=PZHOE=（8+x）米

VZMC=45°PELAE

PF

???AE=------=（8+x）米

tan450'7

???AB_LAE為矩形

.?.P/=A石=（8+x）米Ab=PE=（8+x）米

??,AB=53米

??.B尸=48—AF=53-（8+x）=（45-x）米

,?NGBP=18。

???NBP尸=18。

BF45-r

???——=tan18°,即^0.325

PF8+x

解得：x?32

答：該風(fēng)力發(fā)電機塔桿PO的高度為32米.

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【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助

線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟.

20.【問題背景】

如圖I,數(shù)學(xué)實踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動，老師要求大家對矩形48CD進(jìn)行如下操作：①分別以點

B,C為圓心，以大于iBC的長度為半徑作弧，兩弧相交于點E,F,作直線E尸交8C于點。，連接A。；

2

②將cABO沿4。翻折，點B的對應(yīng)點落在點P處，作射線AP交CO于點。.

在矩形A3CQ中4)=5,A3=3,求線段CQ的長.

【問題解決】

經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個方案如下：

方案一：連接Q2,如圖2.經(jīng)過推理、計算可求出線段CQ的長;

方案二：將二45。繞點O旋轉(zhuǎn)180。至△RCO處，如圖3.經(jīng)過推理、計算可求出線段CQ的長.

請你任選其中一種方案求線段CQ的長.

25

【答窠】線段。。的長為

【解析】方案一：連接32,由翻折的不變性，知AP=A8=3,OP=OB=2.5證明

△QPgZXQCO(HL),推出「Q=C。，設(shè)尸Q=CQ=x,在RtZ^AOQ中利用勾股定理列式計算求解

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即可;

方案二：將AABO繞點。旋轉(zhuǎn)180。至△RCO處，證明NOAQ=NR,推出QA=QR,設(shè)CQ=x,同方

案一即可求解.

【詳解】解：方案一：連接。。，如圖2.

???四邊形A8CO是矩形

AAB=CD=3AD=BC=5

由作圖知80=OC='BC=2.5

2

由翻折的不變性，知AP=43=3OP=OB=25NAPO=N3=90。

OP=OC=2.5NQPO=NC=90°又OQ=OQ

???△?尸O^ZXQCO(HL)

??.PQ=CQ

設(shè)PQ=CQ=x,則AQ=3+xDQ=3-x

22

在RtAADg中AD+QD=AQ?,即52+(3一,2=(3+

解得了=一25

12

25

???線段C。的長為右；

方案二：將二43。繞點。旋轉(zhuǎn)180。至△RCO處，如圖3.

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???四邊形A8CO是矩形

AAB=CD=3AD=BC=5

由作圖知BO-OC--BC-2.5

2

由旋轉(zhuǎn)的不變性，知CR=4B=3NBAO=NRZB=ZOCR=90°

則/OCR+NOCD=900+90°=l80°

，。、C、R共線

由翻折的不變性，知NB40=N04Q

???ZOAQ=ZR

：.QA=QR

設(shè)CQ=x,則Q4=QR=3+%DQ=3-x

RtZXAOQ中A。、。。？=AQ?,即52+（3_X『=（3+X）2

25

解得才二一

12

25

???線段CQ的長為在.

【點睛】本題考查了作線段的垂直平分線，翻折的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性

質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

21.中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠(yuǎn)流長、是中華文明的智慧結(jié)晶.《孫子算經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》是我國古代較為普及

3

的算書、許多問題淺顯有趣.某書店的《孫子算經(jīng)》單價是《周髀算經(jīng)》單價的一，用600元購買《孫子

4

算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買5本.

<1）求兩種圖書的單價分別為多少元？

（2）為等備“3.14數(shù)學(xué)節(jié)”活動，某校計劃到該書店購買這兩種圖書共80本，且購買的《周髀算經(jīng)》

數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半.由于購買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖書均按八折出售.求兩種圖

書分別購買多少本時費用最少？

【答窠】（1）《周髀算經(jīng)》單價為40元，則《孫子算經(jīng)》單價是30元；

（2）當(dāng)購買《周髀算經(jīng)》27本，《孫子算經(jīng)》53本時購買兩類圖書總費用最少，最少總費用為2316元.

3

【解析】（1）設(shè)《周髀算經(jīng)》單價為x元，則《孫子算經(jīng)》單價是二人元，根據(jù)“用600元購買《孫子算經(jīng)》

比購買《周髀算經(jīng)》多買5本”列分式方程，解之即可求解；

（2）根據(jù)購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半列出不等式求出機的取值范圍，根據(jù)機

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的取值范圍結(jié)合函數(shù)解析式解答即可.

3

【小問1詳解】解：設(shè)《周髀算經(jīng)》單價為x元，則《孫子算經(jīng)》單價是:x元

4

600600u

----=-----卜5

依題意得3x

—X

4

解得工二40

經(jīng)檢驗，x=40是原方程的解，且符合題意

3

-x40=30

4

答：《周髀算經(jīng)》單價為40元，則《孫子算經(jīng)》單價是30元；

【小問2詳解】解：設(shè)購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量加本，則購買的《孫子算經(jīng)》數(shù)量為（80-加）本

依題意得m>^（80-m）

解得力2262

3

設(shè)購買《周髀算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》的總費用為y（元）

依題意得y=40x0.86+30x0.8（80—掰）=8m+1920

*.*A:=8>0

隨m的增大而增大

???當(dāng)m=27時有最小值，此時y=8x27+1920=2316（元）

80-27=53（本）

答：當(dāng)購買《周髀算經(jīng)》27本，《孫子算經(jīng)》53本時購買兩類圖書總費用最少，最少總費用為2316元.

【點睛】本題主要考查分式方程的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用以及一元一次不等式的實際應(yīng)用，根據(jù)

題意表示出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及列出不等式是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在菱形A5CO中對角線AC,6。相交于點經(jīng)過A。兩點，交對角線AC于點尸，連接

OF交AD于點、G，且AG=GD.

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(1)求證：AB是：O的切線；

(2)已知。。的半徑與菱形的邊長之比為5:8,求tanNAOB的值.

【答案】(1)見解析(2)tanZADB=2.

【解析】(1)利用垂徑定理得O尸_L4O，利用菱形的性質(zhì)得NG4/=NB4/，利用半徑相等得

ZOAF=ZOFA,即可證明NQA尸+/班/=90。，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；

(2)設(shè)AG=GO=4a,由題意得。4:AG=5:4,求得O4=5a,由勾股定理得到OG=3a,求得

FG=2a,利用菱形的性質(zhì)求得NA￡>3=NAAG,據(jù)此求解即可.

VAG=GD,由垂徑定理知。尸_L">

???ZOGA=ZFG4=90°

???四邊形A8CO是菱形

:.ZGAF=ZBAF

:.Z.GAF+ZAFG=90°=ABAF+ZAFG

???04=0產(chǎn)

???Z0AF=Z0FA

???Z0AF+ZBAF=ZOAB=90°

又???。4為0O的半徑

???AB是00的切線；

【小問2詳解】解：???四邊形4BCZ）是菱形AG=GD

???設(shè)八G=GD=4a

???0。的半徑與菱形的邊長之比為5:8

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???在RtZXOAG中3:AG=5:4

-OA=5a0G=>l0A1-AG2=3a

???FG=OF-OG=2a

???四邊形4BCO是菱形

，BD1.AC,即NOE4=90°=NFG4

ZADB=ZAFG

4G4/7

???tanZADB=tanZAFG=7——=—=2.

FG2a

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂徑定理，切線的判定，求角的正切值，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是

明確題意，找出所求問題需要的條件.

23.如圖，點。為線段A8上一點，分別以AC3C為等腰三角形的底邊，在A8的同側(cè)作等腰-A8和

等腰?3CE,且NA=NC8E.在線段EC上取一點尸，使EF=4）,連接BRDE.

（2）如圖2,若4）=2,BE的延長線恰好經(jīng)過OE的中點G,求8E的長.

【答案】（1）見解析（2）BE=2+夜.

【解析】⑴證明8〃虛，推出ZDCE=Z.BEF,利用SAS證明△OC四△在3即可證明結(jié)論成立；

（2）取C/的中點"連接G“，證明G”是cbCD的中位線，設(shè)8E=a,^FH=-a-2證明

2t

△FGHSNBE,得到空=也，即々2_4〃一4=0,解方程即可求解.

BEEF

【小問1詳解】證明：?.?等腰-ACO和等腰二BCE

：.AD=CDEC=EBZA=ZDCA

?：ZA=/CBE

:,ADCA=/CBE

：.CD//BE

:?NDCE=/BEF

,:EF=AD

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???EF=CD

CD=EF

在/XDCE和*FEB中，4DCE=/FEB

EC=EB

：.ADC￡^AFEB（SAS）

，DE=BF；

【小問2詳解】解：取C尸的中點從連接GH

是△尸8的中位線

：.GH=-CD=-AD=\GH//CD

22

設(shè)BE=a,則C”=E”=4cE=L5E='a

222

'：EF=AD=2

???FH=-a-2

2

?：CD//BE

???GH//BE

???AFGHS/\FBE

，空二型，即ir-2

BEEF—二「

a2

整理得/—4?！?=0

解得a=2+&（負(fù)值已舍）

經(jīng)檢驗〃=2+&是所列方程的解，且符合題意

：?BE=2+@

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，三角形中位線定理，全等三角形的判定

和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題.

第23頁/共

24.如圖，拋物線丁=公2+法+5與X軸交于AB兩點，與y軸交于點C,43=4.拋物線對稱軸

x=3與經(jīng)過點A的直線），=履一1交于點。，與“軸交于點E.

備用圖

（1）求直線A。及拋物線的表達(dá)式；

（2）在拋物線上是否存在點M,使得△ADM是以AO為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點M

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）以點3為圓心，畫半徑為2的圓，點尸為上一個動點，請求出PC+gPA的最小值.

【答案】（1）直線40的解析式為y=x-l；拋物線解析式為y=f—6X+5

（2）存在