2024-2025學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A B. C. D.2.復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A B. C. D.3.若，且，則（）A.1 B. C. D.或4.已知，則（）A. B. C. D.5.兩圓錐母線長(zhǎng)均為3，體積分別為，側(cè)面展開(kāi)圖面積分別記為，且，側(cè)面展開(kāi)圖圓心角滿足，則（）A. B. C. D.6.命題在上為減函數(shù)，命題在為增函數(shù)，則命題是命題的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件7.已知函數(shù)，將的所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，對(duì)于正整數(shù)，甲：；乙：為單調(diào)遞增數(shù)列，則（）A.甲正確，乙正確 B.甲正確，乙錯(cuò)誤C.甲錯(cuò)誤，乙正確 D.甲錯(cuò)誤，乙錯(cuò)誤8.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且滿足，函數(shù)的對(duì)稱中心為，則（）（注：）A. B.C D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某學(xué)校有甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)，人數(shù)分別為、、，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取人，進(jìn)行某項(xiàng)興趣調(diào)查．已知抽出的人中有人對(duì)此感興趣，有人不感興趣，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人做進(jìn)一步的深入訪談，用表示抽取的人中感興趣的學(xué)生人數(shù)，則（）A.從甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為人、人、人B.隨機(jī)變量C.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為D.若事件“抽取的3人都感興趣”，則10.已知，則（）A. B.在上單調(diào)遞增C.，使 D.，使11.“曼哈頓幾何”也叫“出租車(chē)幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段AB是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過(guò)，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用表示，又稱“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若Ax1,y1,Bx2,y2，則．在平面直角坐標(biāo)系中，我們把到兩定點(diǎn)的“曼哈頓距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“新橢圓”．設(shè)“新橢圓”A.已知點(diǎn)，則B.“新橢圓”關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱C.最大值為D.“新橢圓”圍成的面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為為上一動(dòng)點(diǎn)（不與左、右頂點(diǎn)重合），設(shè)的周長(zhǎng)為，若，則的離心率為_(kāi)_____．13.若曲線與曲線有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有公切線，則實(shí)數(shù)______．14.若，則______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.在某象棋比賽中，若選手甲和選手乙進(jìn)入了最終的象棋決賽，經(jīng)賽前數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在每局象棋比賽中甲和乙獲勝的概率分別為和，且決賽賽制為局勝制，求：（1）前局中乙恰有局獲勝的概率；（2）比賽結(jié)束時(shí)兩位選手共進(jìn)行了局比賽的概率．16.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若為邊上中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．17.如圖，三棱柱中，，且與均為等腰直角三角形，．（1）若為等邊三角形，證明：平面平面；（2）若二面角的平面角為，求二面角的平面角的余弦值．18.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的一條漸近線方程為，過(guò)且與軸垂直的直線與交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為16.（1）求的方程；（2）過(guò)作直線與交于兩點(diǎn)，若，求直線的斜率．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）現(xiàn)定義：階階乘數(shù)列滿足．若，證明：．2024-2025學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】解一元二次不等式可求得，再結(jié)合集合的特征即可計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】解不等式可得，又可得只有當(dāng)時(shí)，的取值分別為在集合中，所以.故選：C2.復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)可得，即可得共軛復(fù)數(shù)，由虛部定義即可求解.【詳解】由，得，故，進(jìn)而可得，即的虛部是，故選：D3.若，且，則（）A.1 B. C. D.或【正確答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算垂直數(shù)量積為0求參.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即?故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先由平方差公式化簡(jiǎn)已知條件并結(jié)合二倍角的余弦公式得，進(jìn)而得，從而結(jié)合二倍角正弦公式即可計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，所以由得，所?故選：A.5.兩圓錐母線長(zhǎng)均為3，體積分別為，側(cè)面展開(kāi)圖面積分別記為，且，側(cè)面展開(kāi)圖圓心角滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用圓錐側(cè)面積公式推得，再由側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角公式推得，由此得到兩圓錐高分別為與，從而求得兩圓錐體積的比值.【詳解】依題意，不妨設(shè)甲圓錐的底面半徑為，高為，乙圓錐底面半徑為，高為，則，，由得，故，因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，所以，故，所以，，所以.故選：B.6.命題在上為減函數(shù)，命題在為增函數(shù)，則命題是命題的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性得到不等式得到，分離常數(shù)后，由的單調(diào)性得到，結(jié)合集合的包含關(guān)系得到是的充分不必要條件.【詳解】要在上單調(diào)遞減，則，解得，在1,+∞為增函數(shù)，則，解得，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，故命題是命題的充分不必要條件.故選：A7.已知函數(shù)，將的所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，對(duì)于正整數(shù)，甲：；乙：為單調(diào)遞增數(shù)列，則（）A.甲正確，乙正確 B.甲正確，乙錯(cuò)誤C.甲錯(cuò)誤，乙正確 D.甲錯(cuò)誤，乙錯(cuò)誤【正確答案】B【分析】將函數(shù)的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象判斷命題甲，結(jié)合函數(shù)圖像利用極限思想判斷命題乙.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)，令，得，所以函數(shù)的極值點(diǎn)為函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別畫(huà)出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖可知，在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)函數(shù)與函數(shù)的圖象，有且僅有個(gè)交點(diǎn)，且，所以命題甲正確；因?yàn)?，函?shù)為增函數(shù)，所以，由圖像可知，隨著的增大，與越來(lái)越接近，距離越來(lái)越小，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，命題乙錯(cuò)誤.故選：B.方法點(diǎn)睛：根據(jù)條件將的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化成函數(shù)的“異號(hào)”零點(diǎn)，先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，再結(jié)合命題甲、乙，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.8.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且滿足，函數(shù)的對(duì)稱中心為，則（）（注：）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用求出函數(shù)的周期為4，利用的對(duì)稱中心為求出的對(duì)稱中心為，結(jié)合求出然后利用周期性，對(duì)稱性和單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】，故，所以，函數(shù)的對(duì)稱中心為，函數(shù)往左平移1個(gè)單位得到函數(shù)，故函數(shù)的對(duì)稱中心為，，令得，，故，即且的對(duì)稱中心為，故故即的對(duì)稱軸為.對(duì)于A,在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，且，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,在區(qū)間上單調(diào)遞減，對(duì)稱中心為，故，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，且，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，故C正確；對(duì)于D，，故，且，即，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，故D錯(cuò)誤.故選：C關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過(guò)賦值法求出函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某學(xué)校有甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)，人數(shù)分別為、、，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取人，進(jìn)行某項(xiàng)興趣調(diào)查．已知抽出的人中有人對(duì)此感興趣，有人不感興趣，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人做進(jìn)一步的深入訪談，用表示抽取的人中感興趣的學(xué)生人數(shù)，則（）A.從甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為人、人、人B.隨機(jī)變量C.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為D.若事件“抽取的3人都感興趣”，則【正確答案】ACD【分析】結(jié)合分層抽樣性質(zhì)求出各社團(tuán)所需抽取人數(shù)判斷A，求隨機(jī)變量的分布列，判斷BD，由期望公式求的期望，判斷C.【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)分別需抽取人，則，所以，，，所以從甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為人、人、人，A正確；隨機(jī)變量的取值有，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以B錯(cuò)誤；由期望公式可得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，C正確；因?yàn)?，所以D正確.故選：ACD.10.已知，則（）A. B.在上單調(diào)遞增C，使 D.，使【正確答案】AD【分析】對(duì)于A，代入化簡(jiǎn)即可；對(duì)于B，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；對(duì)于C，D利用基本不等式求解即可，要注意等號(hào)是否能取到.【詳解】對(duì)于A，，，故A正確.對(duì)于的定義域?yàn)?，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以1即，在單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在，使；當(dāng)x>0時(shí)，，由B知，，等號(hào)取不到，故不存在，使，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)x>0時(shí)，，此時(shí)不存在，使；當(dāng)時(shí)，，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，使得即，所以存在，使，故D正確.故AD.11.“曼哈頓幾何”也叫“出租車(chē)幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段AB是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過(guò)，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用表示，又稱“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若Ax1,y1,Bx2,y2，則．在平面直角坐標(biāo)系中，我們把到兩定點(diǎn)的“曼哈頓距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“新橢圓”．設(shè)“新橢圓”A.已知點(diǎn)，則B.“新橢圓”關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱C.的最大值為D.“新橢圓”圍成的面積為【正確答案】BC【分析】根據(jù)曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)“新橢圓”定義，求得其方程，畫(huà)出“新橢圓”的圖象，結(jié)合圖象，可判定B、C正確；根據(jù)“新橢圓”的圖象，結(jié)合三角形和矩形的面積公式，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)?，可得，所以A不正確；對(duì)于B中，設(shè)“新橢圓”上任意一點(diǎn)為，根據(jù)“新橢圓”的定義，可得，即，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，作出“新橢圓”圖象，如圖所示，可得“新橢圓”關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱，所以B正確；對(duì)于C中，由“新橢圓”的圖象，可得的最大值為，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)“新橢圓”的圖象，圍成的六邊形為，聯(lián)立方程組，解得，所以，則，根據(jù)“新橢圓”的對(duì)稱性，可得：“新橢圓”圍成的面積為，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為為上一動(dòng)點(diǎn)（不與左、右頂點(diǎn)重合），設(shè)的周長(zhǎng)為，若，則的離心率為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件列方程，求得與的關(guān)系式，從而求得雙曲線的離心率.【詳解】依題意，，則，所以離心率.故13.若曲線與曲線有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有公切線，則實(shí)數(shù)______．【正確答案】【分析】設(shè)曲線與曲線的公共點(diǎn)為，由題意可以得到，列出關(guān)于的方程并進(jìn)行求解即可.【詳解】由的定義域?yàn)?，因此設(shè)曲線與曲線的公共點(diǎn)為，，則，即①，又，，且兩曲線在公共點(diǎn)有公切線，則，即②，①②聯(lián)立消去得，解得，代入①可得，故14.若，則______．【正確答案】【分析】首先利用二項(xiàng)式定理求的展開(kāi)式，從而確定的值，再利用二項(xiàng)式定理求的展開(kāi)式，并把展開(kāi)式用表示，最后求出的值.【詳解】由①，則，，又②，①②得，即，因此，故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于通過(guò)觀察的展開(kāi)式，發(fā)現(xiàn)展開(kāi)式中一部分是整數(shù)，一部分是含的整數(shù)倍，從而確定的值，考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用二項(xiàng)式定理求展開(kāi)式，是一道綜合性比較強(qiáng)的題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.在某象棋比賽中，若選手甲和選手乙進(jìn)入了最終的象棋決賽，經(jīng)賽前數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在每局象棋比賽中甲和乙獲勝的概率分別為和，且決賽賽制為局勝制，求：（1）前局中乙恰有局獲勝的概率；（2）比賽結(jié)束時(shí)兩位選手共進(jìn)行了局比賽的概率．【正確答案】（1）前局中乙恰有局獲勝的概率為.（2）比賽結(jié)束時(shí)兩位選手共進(jìn)行了局比賽的概率為.【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式求前局中乙恰有局獲勝的概率；（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件甲第局比賽獲勝為，，則，，事件前3局中乙恰有2局獲勝可表示為，又，所以，所以，所以前3局中乙恰有2局獲勝的概率為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件比賽結(jié)束時(shí)兩位選手共進(jìn)行了局比賽為，事件前局甲勝局且第局甲勝為，事件前局乙勝局且第局乙勝為，則，且事件互為互斥事件，所以，所以比賽結(jié)束時(shí)兩位選手共進(jìn)行了局比賽的概率為.16.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若為邊上的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由，利用正弦定理，再化簡(jiǎn)可得，可得，求得；（2）由，，可得，在中，由余弦定理解得，得，由余弦定理求得，在中，由余弦定理即可求得.小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，在中，，則，得，因?yàn)?，所以，即，，又，則，則，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，由，所以，解得，在中，由余弦定理得，則，又為邊上的中點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理得則，在中，由余弦定理得，所以.17.如圖，三棱柱中，，且與均為等腰直角三角形，．（1）若為等邊三角形，證明：平面平面；（2）若二面角的平面角為，求二面角的平面角的余弦值．【正確答案】（1）見(jiàn)解析（2）【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，證明平面,然后利用線面垂直證明面面垂直即可；（2）作出二面角的平面角，然后利用線面關(guān)系作出二面角的平面角，然后利用余弦定理求余弦值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接,如圖所示，因?yàn)榕c均為等腰直角三角形，，故,且,因?yàn)闉榈冗吶切危?故,即,且平面,,故平面,且平面，故平面平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，,且平面平面,故即二面角的平面角，即，故為等邊三角形，則，因?yàn)椋?且平面,所以平面,且,故平面,且平面,故，則設(shè)和中點(diǎn)分別為,連接,則,故,又因?yàn)?故，且平面,平面,故即二面角的平面角，且,因?yàn)?故,則,所