專題拓展一元二次方程根的分布問題（技巧解密4考點過關(guān)檢測）

專題拓展：一元二次方程根的分布問題一、二次函數(shù)相關(guān)知識對于形如的二次函數(shù)，有以下性質(zhì)：1、判別式：；求根公式：；2、韋達定理：，；3、二次函數(shù)對稱軸，定點坐標(biāo)（，）．二、一元二次方程根的0分布方程的根相對于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實就是指這個二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說，這兩個根分布在零的兩側(cè).0分布結(jié)合判別式、韋達定理以及0處的函數(shù)值列不等式，即可求出參數(shù)的取值范圍。三、一元二次方程根的k分布分布情況兩根都小于即兩根都大于即一根小于，一大于即大致圖象（a>0）得出的結(jié)論大致圖象（a<0）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論a）四、一元二次方程根在區(qū)間的分布分布情況兩根都在內(nèi)兩根僅有一根在內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，大致圖象（）得出的結(jié)論或大致圖象（）得出的結(jié)論或綜合結(jié)論（不討論）——————考點一：根在R上的分布例1．（2223高一下·安徽滁州·月考）“”是“關(guān)于的方程有兩個不等實根”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】因為關(guān)于的方程有兩個不等實根，所以，解得或，所以“”是“關(guān)于的方程有兩個不等實根”既不充分也不必要條件.故選：D【變式11】（2324高一上·福建莆田·月考）已知命題“，關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因為，關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，所以，解得，故答案為：【變式12】（2324高一上·全國·課后作業(yè)）若關(guān)于x的方程的解集為，則實數(shù)k的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時，方程的解為，不滿足題意；當(dāng)時，因為關(guān)于x的方程的解集為，所以，解得；綜上，實數(shù)k的取值范圍是，故答案為：.【變式13】（2324高一上·江蘇南京·月考）若下列兩個方程：，至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】或.【解析】有實根，則，解得或，有實根，則，解得或，故實數(shù)a的取值范圍是或或或.故答案為：或.考點二：根的“0”分布例2.（2324高一上·福建廈門·月考）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為方程有兩個不相等的正實數(shù)根，所以，解得且.故選：A.【變式21】（2324高一上·四川綿陽·月考）關(guān)于的方程至少有一個負(fù)根的充要條件是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】當(dāng)方程沒有根時，，即，解得；當(dāng)方程有根，且根都不為負(fù)根時，可得，解得，綜上可知，即關(guān)于的方程沒有一個負(fù)根時，，所以至少有一個負(fù)根的充要條件是.故選：B【變式22】（2223高一下·河北保定·月考）若一元二次方程（不等于0）有一個正根和一個負(fù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為一元二次方程（不等于0）有一個正根和一個負(fù)根，設(shè)兩根為，則，解得，故選：A【變式23】（2324高一上·廣西南寧·月考）設(shè)：實數(shù)滿足，：一元二次方程“”有兩個負(fù)數(shù)解，則是（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】命題：一元二次方程有兩個負(fù)數(shù)解，所以，解得，所以是的充分不必要條件，故選：A.考點三：根的“k”分布例3.（2223高一上·江蘇宿遷·月考）已知二次函數(shù)與軸有兩個交點，一個大于1，一個小于1，則可能為（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】令，則，由題可知，，且，即，解得，故所有選項中滿足題意的的值是：.故選：B.【變式31】（2223高一上·江蘇鹽城·月考）關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根且，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，解得：，即的取值范圍為.故選：D.【變式32】（2324高一上·湖南長沙·月考）已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩個實數(shù)根都大于2，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令由題可知：則，即故選：C【變式33】（2324高一上·北京·月考）已知方程的兩根都大于1，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)方程的兩根為，依題意有：，因都大于1，則，且，顯然成立，由得，則有，解得，由解得：，于是得，所以的取值范圍是.故選：A考點四：根在區(qū)間上的分布例4.（2223高一上·廣東廣州·月考）已知關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有實根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有實根，所以在區(qū)間內(nèi)有實根，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，依題意與在內(nèi)有交點，所以.故選：B【變式41】（2324高一上·廣西南寧·月考）關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方程對應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：因為方程恰有一根屬于，則需要滿足：①，，解得：；②函數(shù)剛好經(jīng)過點或者，另一個零點屬于，把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數(shù)與x軸只有一個交點，，解得，經(jīng)檢驗，當(dāng)時滿足方程恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi);綜上：實數(shù)m的取值范圍為故選：D【變式42】（2223高一上·江蘇揚州·月考）已知一元二次方程的兩根都在內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，由題意可得，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【變式43】（2223高一上·湖南·期中）已知關(guān)于的方程的兩根分別在區(qū)間，內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】令，根據(jù)題意得，由①得：，由②得：，由③得：，求交集得：故的取值范圍為.故答案為：一、單選題1．（2223高一上·福建福州·月考）關(guān)于x的一元二次方程有兩個正實數(shù)根，則q的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】因為一元二次方程有兩個正實數(shù)根，所以，解得，故選：D2．（2324高一上·甘肅武威·開學(xué)考試）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】B【解析】根據(jù)題意可知；，由韋達定理可得，解得，故選：B3．（2223高一上·遼寧沈陽·月考）一元二次方程有一個正根和一個負(fù)根的一個充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為一元二次方程有一個正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為和，所以，解得，故.故選：A.4．（2324高三上·四川·月考）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，因為方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，所以，即，解得，所以的取值范圍是．故選：A．5．（2324高一上·全國·課后作業(yè)）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】記，則為開口向上的二次函數(shù)，要使方程的根一個大于1一個小于1，則只需要，解得，故選：C6．（2324高一山·全國·課后作業(yè)）關(guān)于x的方程至少有一個負(fù)根的充要條件是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】當(dāng)方程沒有根時，，即，解得；當(dāng)方程有根，且根都不為負(fù)根時，，解得，綜上，，即關(guān)于x的方程沒有一個負(fù)根時，，所以關(guān)于x的方程至少有一個負(fù)根的充要條件是，故選:B.二、多選題7．（2324高一上·山西太原·月考）已知關(guān)于的方程，則（

）.A．當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根B．方程無實數(shù)根的一個充分條件是C．方程有兩個不相等的負(fù)根的充要條件是D．方程有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是【答案】BC【解析】對于A：當(dāng)時，，此時，此時方程沒有實數(shù)根，故A錯誤；對于B：方程無實數(shù)根的充要條件是，即，所以方程無實數(shù)根的一個充分條件是的子集，顯然符合，故B正確；對于C：方程有兩個不相等的負(fù)根的充要條件是解得：，故C正確;對于D：方程有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是解得：，故D錯誤;故選：BC.8．（2223高一上·江蘇南京·期末）設(shè)為實數(shù)，已知關(guān)于的方程，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，方程的兩個實數(shù)根之和為0B．方程無實數(shù)根的一個必要條件是C．方程有兩個不相等的正根的充要條件是D．方程有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是【答案】BCD【解析】對于A選項，時無實根，A錯誤；對于B選項，當(dāng)時方程有實根，當(dāng)時，方程無實根則，解得，一個必要條件是，B正確；對于C選項，方程有兩個不等正根，則，，，，解得；對于D選項，方程有一個正根和一個負(fù)根，則，，解得，D正確；故選：BCD.三、填空題9．（2324高一上·江蘇南京·月考）設(shè)為實數(shù)，若二次函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，則的取值范圍是.【答案】【解析】二次函數(shù)的對稱軸為，且開口向上，因為二次函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，所以方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，記方程的兩根為，則，解得，所以.故答案為：10．（2023高一·全國·課后作業(yè)）關(guān)于的方程的兩根均大于，則實數(shù)的取值集合為.【答案】【解析】不妨設(shè)關(guān)于的方程的兩實數(shù)根為，，則，若兩根均大于，則，矛盾，故不存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程的兩根均大于，即實數(shù)的取值集合為.故答案為：11．（2324高一上·湖北·月考）命題“時，方程有兩個不等實數(shù)根”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因為命題“時，方程有兩個不等實數(shù)根”是真命題，所以函數(shù)的圖象在上與軸有兩個不同的交點，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：四、解答題12．（2324高一上·浙江金華·月考）已知關(guān)于的方程，當(dāng)方程的根滿足下列條件時，求的取值范圍.(1)有兩個實數(shù)根，且一個比2大，一個比2??；(2)至少有一個正根.【答案】(1)；(2)【解析】（1）設(shè)，則由題意可得，解得.（2）關(guān)于x的方程無實數(shù)根時，，解得，關(guān)于x的方程有兩個負(fù)實數(shù)根時，，解得，所以關(guān)于x的方程無實數(shù)根時或有兩個負(fù)實數(shù)根時，可得關(guān)于x的方程至少有一個正實數(shù)根，則.13．（2324高一上·上海黃浦·期中）已知、、