絕密資料高中數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性

第8講：函數(shù)的單調(diào)性

一、課程標(biāo)準(zhǔn)

1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義

2.掌握求函數(shù)的單調(diào)性的方法―

3.能處理函數(shù)的最值問題。

二、基礎(chǔ)知識(shí)回顧

1.函數(shù)單調(diào)性的定義

(1)一般地，對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f(X),如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)自變量X1、X2,當(dāng)X1<X2時(shí),

都有f(Xl)〈f(X2)(或都有f(Xl)>f(X2),那么就說f(X)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)(或減函數(shù)).

(2)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)(或減函數(shù))，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,

這個(gè)區(qū)間叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間；若函數(shù)是增函數(shù)則稱該區(qū)間為增區(qū)間，若函數(shù)為減函數(shù)則稱該區(qū)間為減區(qū)間.

2.函數(shù)單調(diào)性的圖像特征

對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x),若函數(shù)圖像從左向右連續(xù)上升，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；若函數(shù)圖

像從左向右連續(xù)下降，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.

3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

對(duì)于函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果當(dāng)xG(a,b)時(shí)，ue(m,n),且u=g(x)在區(qū)間(a,b)上和y=f(u)在區(qū)間

(m,n)上同時(shí)具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在區(qū)間(a,b)上具有單調(diào)性，并且具有這樣的規(guī)律：增增(或

減減)則增，增減(或減增)則減.

4.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論

f(X1)—f(X2)

(1)對(duì)Vxi,X2eD(Xl#X2),Xi—X2>Oof(x)在D上是增函數(shù)；

阿_楸2)

-X］—X2_<0of(x)在D上是減函數(shù).

a

(2)對(duì)勾函數(shù)y=x+『(a>0)的增區(qū)間為(一co,一6］和［g，+<?),減區(qū)間為(一,，0)和(0,6).

(3)在區(qū)間D上，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù).

(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”

5.常用結(jié)論

1.若函數(shù)外)，g(x)在區(qū)間/上具有單調(diào)性，則在區(qū)間/上具有以下性質(zhì)：

⑴當(dāng)/)，g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí)，於)+g(x)是增(減)函數(shù)；

(2)若左>0,則旗盼與人)單調(diào)性相同；若K0,則依x)與小)單調(diào)性相反；

］

(3)函數(shù)歹=小)如)>0)在公共定義域內(nèi)與〉=—/(X),y=/(%)的單調(diào)性相反；

(4)復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］的單調(diào)性與》=/5)和〃=g(x)的單調(diào)性有關(guān).簡(jiǎn)記：“同增異減”.

2.增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價(jià)變形：Vxi,6］且處分2,則

于(見)一于(工2)

(XI—X2)［/(X1)—/(X2)］>O?X\—Xi>0經(jīng)/3)在［m切上是增函數(shù);

于(陽)一/(%2)

(XI一工2)師1)—AX2)］<0=X\—X2<0鈣/(X)在［a,切上是減函數(shù).

三、自主熱身、歸納總結(jié)

1、函數(shù)5X—6在區(qū)間［2,4］上是()

A.遞減函數(shù)B.遞增函數(shù)

C.先遞減再遞增函數(shù)D.先遞增再遞減函數(shù)

1

2、函數(shù)〉=口在［2,3］上的最小值為(

1

A.2B.2

11

CJD.—2

3、設(shè)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是(D)

1

Aj=/(x)在R上為減函數(shù)

8.歹=次劃在區(qū)上為增函數(shù)

1

C.y=—/(%)在R上為增函數(shù)

D.y=一段)在R上為減函數(shù)

4、對(duì)數(shù)函數(shù)y=log.>。且awl)與二次函數(shù)y=(。-l)f-％在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不可能是()

5、已矢口函數(shù)/(%)=3%2—6%—1,貝！J()

A.函數(shù)/(%)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

B.函數(shù)/(%)在(-L+oo)上單調(diào)遞增

C.當(dāng)a>l時(shí)，若/(優(yōu))在1］上的最大值為8,則a=3

D.當(dāng)0<。<1時(shí)，若/(，)在xe［T,1］上的最大值為8,則a=g

6、函數(shù)y=|—x2+2x+l|的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是

X

7、已知f(x)=x—a(x"),若a>0且f(x)在(1,+功上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

8、函數(shù)y=>x2+x—6的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

三、例題選講

考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例1、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(l)y=-x2+2|x|+l；

(2)f(x)=根—2x—3；

(3)丁=呵(爐―3x+2)

變式1、(2019?河北石家莊二中模擬)函數(shù)加)=,2—3x+2］的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.區(qū)+oojB.|_l,2」和［2,+co)

~31(r

C.(-oo,1］和2jD1和［2,+oo)

變式2、已知函數(shù)段)=log.(—x2—2x+3)(a>0且存1),若人0)<0,則此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—co,—1]+oo)

C.[-L1)D.(—3,-1]

變式3、.函數(shù)y=|x|(l—x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

方法總結(jié)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法與判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法類似，有定義法、圖像法、利用常見函

數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)法等.值得引起高度重視的是：

(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求單調(diào)區(qū)間，必須先求出定義域；

(2)對(duì)于基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以直接利用已知結(jié)論求解；

(3)如果是復(fù)合函數(shù),應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法,首先判斷兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)“同則增，

異則減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

考點(diǎn)二復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例2、(2019?黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)函數(shù)段)=ln(x2—2x—8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—oo,—2)B.(—oo,1)

C.(1,+oo)D.(4,+oo)

1

變式1、函數(shù)y=log](—/+工+6)的單調(diào)增區(qū)間為()

A.R3)B.(—2,0

D.(j,+叱

C.(-2,3)

變式2、函數(shù)外)=25二P的單調(diào)遞增區(qū)間為()

■「

B.10,2_

~1

C._2，+00,D.51

方法總結(jié)：求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，首先要注意復(fù)合函數(shù)的定義域，其次要確定函數(shù)是有哪些基本函數(shù)復(fù)合而

成，根據(jù)同增異減的性質(zhì)確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。

考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的證明與判斷

X

例3、判斷函數(shù)f(x)=RF在區(qū)間口，+8)上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.

11

變式1、已知函數(shù)義x)=q—x(a>0，x>0).

(1)求證：兀r)在(0,+oo)上是增函數(shù)；

X1」

(2)若寅x)在52」上的值域是區(qū)2J,求a的值.

ax

變式2、試討論函數(shù)f(x)=mK(a>0)在(0,+oo)上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.

方法總結(jié)：1.判斷函數(shù)的單調(diào)性，通常的方法有：(1)定義法；(2)圖像法；(3)利用常見函數(shù)的單調(diào)性;

(4)導(dǎo)數(shù)法.而要證明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，基本方法是利用單調(diào)性定義或?qū)?shù)法.

2.應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，其基本步驟如下：

取值一作差一變形一確定符號(hào)一得出結(jié)論

其中，變形是十分重要的一步，其目的是使得變形后的式子易于判斷符號(hào)，常用的方法是(1)分解因式；(2)配

方；(3)通分約分等.

考點(diǎn)四函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

J(1-2a)x+3a,x<1,

例4、已知函數(shù)次x)=Q廠i,x>i的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

J10g2(x+1),X>1,

變式1、(2019?安徽皖南八校第三次聯(lián)考)已知函數(shù)於)=ji,xvi,則滿足/(2x+l)</(3x—2)的實(shí)

數(shù)x的取值范圍是()

A.(-00,0]B.(3,+oo)

C.[1,3)D.(0,1)

變式2、已知函數(shù)段)是定義在區(qū)間[0,+◎上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足1)/2的x的

取值范圍是()

A.13，yB.[_3，3)

c(￡1)D.[￡I)

[(2—a)x+1,x<l,于(xi)-f(X2)

變式3、如果函數(shù)/)=j優(yōu)，xNl滿足對(duì)任意XI力2,都有XX-X2>0成立，那么。的取

值范圍是.

2

變式4、【2019年天津理科06］已知。=1噥2,Z>=log0.50.2,c=0.50-,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

方法總結(jié)1.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.

2.求解函數(shù)不等式，其實(shí)質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性的逆用，由條件脫去丁'.

3.利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)的思路是：根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到

其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值.

五、優(yōu)化提升與真題演練

1、【2019年新課標(biāo)1理科03]已知a=log20.2,1=2%c=0.20-3,則()

A.a<b<cB.a<c<bC,c<a<bD.b<c<a

2、【2017年新課標(biāo)1理科05】函數(shù)/（x）在（-8,+oo）單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若/（I）=1,則滿足

-l<A(x-2)<1的x的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

3、已知函數(shù)人x)為R上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-1,0)U(0,1)D.(-00,-1)U(1,+oo)

4、函數(shù)f(x)=log2(x2-3x-4)的單調(diào)減區(qū)間為()

33

A.(-00,-1)B.(-00,一一)C.(-,+00)D.(4,+00)

5、【2019年新課標(biāo)3理科11】設(shè)/（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0,+oo）單調(diào)遞減，則)

1

A./dog3-)>>.2

4/(22)/(23)

B.f(log3-)>二)>/

4/(23)/(22)

1

C.>二>/(嚏3—)

/(22)/(23)4

231

D.二>/>/(10g3-)

/(23)/(22)4

6、【2017年浙江05］若函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,1］上的最大值是最小值是勿，則)

A.與a有關(guān)，且與6有關(guān)B.與a有關(guān)，但與6無關(guān)

C.與a無關(guān)，且與6無關(guān)D.與a無關(guān)，但與6有關(guān)

7、（多選）已知"）是定義在［0,+oo）上的函數(shù)，根據(jù)下列條件，可以斷定加）是增函數(shù)的是（）

A.對(duì)任意迂0,都有/（x+l）＞/（x）

B.對(duì)任意X1,尤2G［0,+oo）,且X侖無2,都有於1月（X2