不等式性質(zhì)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊

3.1不等式的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解不等式的性質(zhì)2.掌握不等式性質(zhì)的應(yīng)用導(dǎo)入新課問題1從下列圖片中我們可以得出什么信息？導(dǎo)入新課與生活息息相關(guān)的不等式詞匯不超過、不大于、限速、限重低于、小于相等、一樣不小于、不低于、超過、高于、大于<>在初中數(shù)學(xué)中，可以利用數(shù)軸比較任意兩個實數(shù)a,b的大小。關(guān)于實數(shù)a,b的大小比較，有以下基本事實：如果a-b是正數(shù)，那么a>b;如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是負(fù)數(shù)，那么a<b;導(dǎo)入新課a>ba-b>0;a=ba-b=0;a<ba-b<0.導(dǎo)入新課性質(zhì)1：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.證明：∵a－b＞0，b－c＞0根據(jù)兩個正數(shù)的和還是正數(shù)，得（a－b）＋（b－c）＞0，∴a－c＞0，∴a＞c．作差法導(dǎo)入新課性質(zhì)2：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.證明：∵a－b＞0∴（a＋c）－（b－c）＝a－b＞0，∴a－b＞0，∴a＋c＞b＋c．不等式兩邊加上同一個數(shù)，不等號方向不改變。導(dǎo)入新課性質(zhì)3:(1)如果a＞b，c>0,那么ac＞bc；(2)如果a＞b，c<0,那么ac<bc.不等式兩邊乘上上同一個正數(shù)，不等號方向不改變。不等式兩邊乘上上同一個負(fù)數(shù)，不等號方向相反。證明:(1)要證ac>bc,只要證ac-bc>0

∵a>b∴a-b>0

又∵c>0∴ac-bc=(a-b)c>0

∴ac＞bc導(dǎo)入新課性質(zhì)4：如果a＞b，c>d,那么a＋c＞b＋d.由性質(zhì)1，得a＋c＞b＋d．證明：由性質(zhì)2，∵a>b∴a＋c＞b＋c

∵c>d∴c＋b＞d＋b；大數(shù)加大數(shù)，大于小數(shù)加小數(shù)導(dǎo)入新課性質(zhì)5:(1)如果a＞b>0，c>d>0,那么ac＞bd；(2)如果a＞b>0，c<d<0,那么ac<bd.證明：由性質(zhì)2，∵a>b∴a＋c＞b＋c

∵c>d∴c＋b＞d＋b；特別地，如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N*，n≥2）．導(dǎo)入新課

大于0的數(shù)中，大數(shù)的n次方根大于小數(shù)

根據(jù)性質(zhì)5和根式的性質(zhì)，得a＜b或a＝b．

反證法不等式開方性質(zhì)證明方法的實質(zhì)是：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立．這種得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法通常稱為反證法，反證法是一種間接證明的方法．反證法的一般步驟：假設(shè)假設(shè)命題結(jié)論不成立．推理得出的結(jié)論與已知條件矛盾與定理，定義，公理矛盾假設(shè)不成立所證命題成立例題精講例1

試比較(x＋1)(x＋5)與(x＋3)2的大?。啵▁＋1）（x＋5）＜（x＋3）2．解答：作差比較，（x＋1）（x＋5）－（x＋3）2＝－4＜0．例題精講例2

試證明：若0＜a＜b，m＞0，則

．證明：

作差比較，

因為a＜b，所以b－a＞0，又因a＞0，b＞0，m＞0，所以

所以

例題精講例3(1）已知a＞b，ab＞0，求證：

；

（2）已知a＞b，c＜d，求證：a－c＞b－d．（2）因c＜d．由不等式的性質(zhì)3，－c＞－d再由a＞b，利用不等式的性質(zhì)4，同向不等式相加，得a－c＞b－d．證明(1)因ab＞0，則

＞0，

由不等式的性質(zhì)3，a·

＞b·

，即

練習(xí)鞏固1用“>”或“<”填空

>><><<特殊值法練習(xí)鞏固2試比較下面各組中兩式的大?。?）(x-2)2與(x-1)(x-3)．（2）x2+2x與3x-1方法總結(jié)[方法總結(jié)]

利用作差法比較兩個實數(shù)(或代數(shù)式)大小的步驟及變形方法(1)利用作差法比較兩個實數(shù)(或代數(shù)式)大小的步驟：作差→

變形→

定號→結(jié)論．(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④對數(shù)與指數(shù)的運算性質(zhì)；⑤分母或分子有理化；⑥分類討論．(3)在遇到無理數(shù)(式)比較大小時，可將分子或分母有理化再作比較，如果比較大小的兩個數(shù)(式子)都是正數(shù)，那么可先乘方再作比較．（4）對于小題，可取特殊值代入進(jìn)行比較課堂小結(jié)性質(zhì)內(nèi)容備注性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4如果a＞b，且b＞c，那么a＞c傳遞性如果a＞b，那么a＋c＞b＋c如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc加（減）乘（除）運算如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d同向不等式相加性質(zhì)5性質(zhì)6如果a＞b＞0