1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第一章空間向量與立體幾何空間向量的數(shù)量積運(yùn)算人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解空間兩個(gè)向量夾角的定義.2.掌握空間向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律,會(huì)求空間向量的數(shù)量積.3.能夠運(yùn)用空間向量的數(shù)量積解決夾角與距離問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1空間向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)O,作

則∠AOB叫做向量a,b的夾角,記作

,向量夾角的取值范圍是

.如果<a,b>=,那么向量a,b互相垂直,記作

.

名師點(diǎn)睛1.由定義知,只有兩個(gè)非零空間向量才有夾角,當(dāng)兩個(gè)非零空間向量共線同向時(shí),夾角為0;共線反向時(shí),夾角為π.2.對(duì)空間任意兩個(gè)非零向量a,b有:①<a,b>=<b,a>;②<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;③<-a,-b>=<a,b>.<a,b>[0,π]a⊥b過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(2)兩個(gè)共線向量的夾角是0.(

)2.向量的夾角與直線夾角范圍有何區(qū)別?××3.[人教B版教材習(xí)題]已知ABCD-A1B1C1D1是一個(gè)正方體,寫(xiě)出下列向量夾角的大小:知識(shí)點(diǎn)2空間向量的數(shù)量積1.定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,則

叫做a,b的數(shù)量積,記作

.

即a·b=|a||b|cos<a,b>.特別地,零向量與任意向量的數(shù)量積為

.

|a||b|cos<a,b>a·b02.數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)a·e=|a|cos<a,e>(e為單位向量).若向量a,b是非零向量,則a⊥b?a·b=0;若向量a與b同向,則a·b=|a||b|;若向量a與b反向,則a·b=-|a||b|.|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)向量a,b共線時(shí),等號(hào)成立)3.向量a在向量b上的投影向量在空間,向量a向向量b投影,將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi),利用平面上向量的投影,得到與向量b共線的向量c,c=|a|cos<a,b>,向量c稱(chēng)為向量a在向量b上的投影向量.4.向量a在平面β上的投影向量5.數(shù)量積的運(yùn)算律:(λa)·b=

,λ∈R;

a·b=

(交換律);

(a+b)·c=

(分配律).

λ(a·b)b·aa·c+b·c名師點(diǎn)睛1.對(duì)空間向量數(shù)量積的理解(1)兩個(gè)空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;2.空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

(3)利用關(guān)系a⊥b?a·b=0(a,b為非零向量)可以證明空間兩直線的垂直.

過(guò)關(guān)自診1.若a·b>0,則<a,b>一定是銳角嗎?2.[人教B版教材習(xí)題]已知a,b均為空間向量,分別判斷下列各式是否恒成立:(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a-b)2=a2-2a·b+b2;(3)(a+b)·(a-b)=a2-b2.提示

當(dāng)<a,b>=0時(shí),也有a·b>0,故當(dāng)a·b>0時(shí),<a,b>不一定是銳角.解

(1)恒成立;(2)恒成立;(3)恒成立.提示

類(lèi)比平面向量知,三式均恒成立.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求空間向量的數(shù)量積【例1】

已知三棱錐O-ABC的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形,且邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)M,N,P分別為AB,BC,CA的中點(diǎn).試求:思路分析

求出每個(gè)向量的模及它們的夾角,然后按照數(shù)量積的定義求解,必要時(shí),對(duì)向量進(jìn)行分解.規(guī)律方法

空間向量運(yùn)算的方法與步驟方法:(1)利用定義,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.(2)利用圖形,計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點(diǎn),利用圖形尋找?jiàn)A角,再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算.(3)利用向量分解,在幾何體中進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí),要充分利用幾何體的性質(zhì),把待求向量用已知夾角和模的向量表示后再進(jìn)行運(yùn)算.步驟:(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的線性組合形式;(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi),轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積;(3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.變式訓(xùn)練1在四面體O-ABC中,棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,點(diǎn)G為△ABC的重心,則

=

.

探究點(diǎn)二利用數(shù)量積求夾角D規(guī)律方法

利用向量數(shù)量積求夾角問(wèn)題的思路(1)結(jié)合圖形,平移向量,把向量夾角轉(zhuǎn)化為平面幾何中的對(duì)應(yīng)角,利用三角形的知識(shí)求解;變式訓(xùn)練2(1)若非零空間向量a,b滿(mǎn)足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則向量a與b的夾角為(

)A.30° B.60°

C.120°

D.150°C解析

設(shè)向量a與b的夾角為θ,則由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos

θ+|b|2=0.又因?yàn)閨a|=|b|,所以cos

θ=-

,所以θ=120°.探究點(diǎn)三利用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題【例3】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中點(diǎn),O是底面ABCD的中心.求證:OB1⊥平面PAC.規(guī)律方法

利用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題的一般方法將所證垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直,然后把直線轉(zhuǎn)化為向量,并用已知向量表示未知向量,然后通過(guò)向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算,證明直線所在向量的數(shù)量積等于零,即可證明線線垂直.變式訓(xùn)練3已知在四面體OABC中,M,N,P,Q分別為BC,AC,OA,OB的中點(diǎn),若AB=OC,求證:PM⊥QN.探究點(diǎn)四利用數(shù)量積求距離或長(zhǎng)度【例4】

如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿著它的對(duì)角線AC將△ACD折起,使直線AB與CD成60°角,求此時(shí)點(diǎn)B,D間的距離.規(guī)律方法

求兩點(diǎn)間的距離或線段長(zhǎng)度的方法

一將所求線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為某一向量的模二用其他已知夾角和模的向量表示該向量三利用|a|=

,通過(guò)計(jì)算求出|a|,即得所求距離變式訓(xùn)練4[北師大版教材習(xí)題]如圖,已知PA⊥平面ABC,垂足為點(diǎn)A,C本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)空間向量的夾角、投影;(2)空間向量數(shù)量積的概念;(3)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化化歸.3.常見(jiàn)誤區(qū):(1)數(shù)量積的符號(hào)由夾角的余弦值決定;(2)當(dāng)a≠0時(shí),由a·b=0可得a⊥b或b=0.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345678910111213A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的單位向量,則a·b=(

)A.1 B.2

C.3

D.4A解析

由條件知p·q=0,p2=q2=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.123456789101112132.[探究點(diǎn)三]已知e1,e2為單位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為(

)A.-6 B.6

C.3

D.-3B解析

由題意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.123456789101112133.[探究點(diǎn)一][2023上海黃浦期中]正四面體O-ABC棱長(zhǎng)為1,E為BC中點(diǎn),B12345678910111213123456789101112134.[探究點(diǎn)二]已知|a|=1,|b|=,且a-b與a垂直,則a與b的夾角為(

)A.30°

B.45°

C.135° D.60°B解析

∵a-b與a垂直,∴(a-b)·a=0,123456789101112135.[探究點(diǎn)一](多選題)如圖,已知四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,連接AC,BD,PB,PC,PD,則下列各組向量中,數(shù)量積為零的是(

)BCD12345678910111213123456789101112136.[探究點(diǎn)四]已知空間向量a,b,c中每?jī)蓚€(gè)的夾角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,則|a+b+c|=

.

10解析

∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=,∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos<a,b>+2|a||c|cos<a,c>+2|b||c|cos<b,c>=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10.123456789101112137.[探究點(diǎn)二][人教B版教材習(xí)題]已知a,b都是空間向量,且<a,b>=,求<2a,-3b>.12345678910111213B級(jí)關(guān)鍵能力提升練D123456789101112139.(多選題)如圖所示,已知空間四邊形每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都為a,點(diǎn)E,F,G分別是AB,AD,DC的中點(diǎn),則下列向量的數(shù)量積等于a2的是(

)BC1234567891011121310.已知MN是棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)切球的一條直徑,點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng),則

的最大值為(

)A.4 B.12 C.8 D.6C123456789101112131234567891011121311.已