專題12 全等三角形基本模型（4大模型）（原卷版）

專題12全等三角形基本模型（4大模型）模型歸納模型歸納模型一：平移型模型二：翻折型模型三：旋轉(zhuǎn)型模型四：一線三垂直型【典例分析】【模型一：平移型】【典例1】如圖，已知點(diǎn)E、C在線段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F.求證：.【變式1-1】如圖，已知Rt△ABC與Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，點(diǎn)B、F、C、E在同一直線上，且AB＝DE，BF＝CE，求證：∠B＝∠E．【變式1-2】如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，EA//FB，EC//FD，EA=FB．求證：AB=CD．【變式1-3】如圖，點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，BE=CF，AC⊥BC，DF⊥EF，垂足分別為C，F(xiàn)，AB=DE．求證：AC=DF．【模型二：翻折型】【典例2】已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求證：AC＝DC．【變式2-1】如圖，已知BD是∠ABC的角平分線，AB=CB．求證：△ABD≌△CBD．【變式2-2】已知：如圖，線段BE、DC交于點(diǎn)O，點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求證：∠B＝∠C．【變式2-3】已知：如圖，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2.求證AB＝DC.【模型三：旋轉(zhuǎn)型】【典例3】已知：如圖，AD，BE相交于點(diǎn)O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分別為B，D，OA=OE．求證：△ABO≌△EDO．【變式3】如圖，已知線段AC，BD相交于點(diǎn)E，AE＝DE，BE＝CE，求證：△ABE≌△DCE．【典例4】如圖，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC，求證：∠B=∠E.【變式4】如圖，△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點(diǎn)G.（1）求證：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度數(shù).【模型四：一線三垂直型】【典例5】如圖，AB＝AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分別為M、N，BM＝AN．（1）求證：MN＝BM+CN；（2）求證：∠BAC＝90°．【變式5-1】課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉在兩墻之間，如圖所示：（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）已知DE=35cm，請(qǐng)你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大?。繅K磚的厚度相同）【變式5-2】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，①求證：△ADC≌△CEB；②求證：DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論②還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，說明理由.【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．如圖，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，則∠2＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°2．如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝EF，F(xiàn)C∥AB，若AB＝8，CF＝6，則BD的長(zhǎng)是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，在AB上截取AE＝AC，則∠EDB的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．10° D．15°4．如圖，已知點(diǎn)B、D、C、F在同一條直線上，AB∥EF，AB＝EF，AC∥DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的長(zhǎng)等于（）A．1 B． C．2 D．35．如圖，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，∠B＝∠C，BE＝CD．若AB＝7，CE＝4，則AD的長(zhǎng)度為（）A．2 B．3 C．4 D．56．如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，則PN的長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．8 D．117．如圖，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，AE＝CE，F(xiàn)C∥AB，若AB＝3，CF＝5，則BD的長(zhǎng)是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．28．如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O．（1）求證：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝42°，求∠BDE的度數(shù)．9．如圖，AD∥BC，AD＝CB．求證：△ADE≌△CBE．10．已知：如圖，AD，BE相交于點(diǎn)O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分別為B，D，OA＝OE．求證：△ABO≌△EDO．11．如圖，點(diǎn)E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求證：△ACE≌△BED．12．如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求證：∠1＝∠2．13．如圖，點(diǎn)C、E、B、F在一條直線上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求證：CE＝BF．14．如圖，BD，CE分別是△ABC的高，且BE＝CD，求證：Rt△BEC≌Rt△CDB．15．已知：如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求證：OB＝OC．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是過點(diǎn)A的直線，BD