《金融數(shù)學》(7)利率風險

利率風險管理

MANAGEMENTOFInterestraterisk孟生旺

i=seq(0,0.15,0.01)A=5*(1-(1+i)^(-5))/i+100*(1+i)^(-5)B=5*(1-(1+i)^(-10))/i+100*(1+i)^(-10)C=5*(1-(1+i)^(-25))/i+100*(1+i)^(-25)plot(i,A,type='l',ylim=c(40,150),lty=1,col=1,xlab="到期收益率",ylab='債券價格',main="面值均為100，息票率均為5%",lwd=2)lines(i,B,type='l',lty=2,col=2,lwd=2)lines(i,C,type='l',lty=3,col=4,lwd=2)legend('topright',c('5年期債券','10年期債券','25年期債券'),bty='n',lty=c(1,2,3),col=c(1,2,4),lwd=2)什么是利率風險？主要內(nèi)容久期（duration）：馬考勒久期，久期，有效久期凸度（convexity）：馬考勒凸度，凸度，有效凸度免疫（immunization）:久期和凸度的應用現(xiàn)金流配比（cashflowmatching）4馬考勒久期（Macaulayduration）

假設資產(chǎn)未來的現(xiàn)金流為Rt

，則資產(chǎn)的價格：

5馬考勒久期：現(xiàn)金流到期時間的加權(quán)平均數(shù)。馬考勒久期越大，資產(chǎn)價格對利率越敏感，利率風險越高。馬考勒久期是一個時間概念。使用等價的名義利率代替利息力，馬考勒久期不變。例：面值為1000元的3年期債券的息票率為10%，每年末支付一次利息，到期償還值為1000元。假設債券的到期收益率為10％，計算債券的馬考勒久期。時間123現(xiàn)金流1001001100現(xiàn)金流現(xiàn)值100/1.1=90.91100/(1.1)2=82.651100/(1.1)3=826.457馬考勒久期的另一種表示：注：表示資產(chǎn)價格關于利息力的單位變化速率。8利息力對馬考勒久期的影響

注：

是利息力的減函數(shù)。（t

的方差）y=seq(0,1,by=0.01)t=1:10R=c(rep(5,9),105)P=D=C=NULLfor(iin1:length(y)){ d=y[i] P[i]=sum(R*exp(-d*t)) D[i]=sum(t*R*exp(-d*t))/P[i]#馬考勒久期

C[i]=sum(t*(t+1)*R*(1+d)^(-t-2))/P[i]#凸度

}plot(y,D,type='l',col=2,lwd=3,xlab='利息力（連續(xù)收益率）',ylab='馬考勒久期',main='面值為100，期限為10年，息票率為5%的債券')練習：計算期末付和期初付永續(xù)年金的馬考勒久期。解：注：期初付P=1+1/i，故馬考勒久期為1/i。

債券到期時間對馬考勒久期的影響（一個反例）例：債券的面值和償還值為100元，年息票率為5%，每年支付一次利息。債券的到期收益率為15%，期限為15年。計算該債券的馬考勒久期。如果債券的期限為30年，馬考勒久期會如何變化？答案：分別為8.36和8.2112

債券到期時間對馬考勒久期的影響（一個反例）P=P1=rep(0,60)for(nin1:60){P[n]=5*(1-(1+0.15)^(-n))/0.15+100*(1+0.15)^(-n)#價格P1[n]=sum(1:n*c(rep(5,n-1),105)*(1.15)^(-(1:n)))}#價格的一階導數(shù)plot(1:60,P1/P,pch='*',type='l',ylab='馬考勒久期',xlab='債券到期時間',main='息票率=5%，收益率=15%',col=2)F=

100

r=

0.05

i=

0.15

P=

D=

NULL

#分別存放價格、久期

for(tin1:60){

cash=

c(rep(r*

F,t-

1),r*

F+

F)#債券的現(xiàn)金流

P[t]=

sum(cash*

(1+

i)^(-(1:t)))

#價格

D[t]=

sum((1:t)*

(cash*

(1+

i)^(-(1:t))))/P[t]#馬考勒久期

}

plot(1:60,D,type=

"l",ylab=

"馬考勒久期",xlab=

"債券到期時間",main=

"息票率=5%，收益率=15%",col=

2)14（修正）久期

修正久期（modifiedduration）：名義收益率變化時資產(chǎn)價格的單位變化速率。y表示每年復利m次的年名義收益率修正久期越大，價格波動幅度越大，利率風險越高。15資產(chǎn)價格對名義收益率y（假設每年復利m次）求導可得：分子上除以價格P就是到期時間的加權(quán)平均數(shù)，即馬考勒久期注意：使用不同的名義收益率（即m

不同），修正久期不同。16修正久期與馬考勒久期的關系：當m→∞時，另一種解釋：當m→∞時，y→

，故有17資產(chǎn)價格與久期的關系：注：△y表示名義收益率的變化，用基點（basepoints）表述。一個基點為0.01%。問題：資產(chǎn)價格與馬考勒久期的關系？例：債券的價格為115.92元，到期收益率為7%，修正久期為8.37。計算到期收益率上升為7.05%時，債券的價格為多少。解：當收益率上升時，債券價格下降的百分比為：所以新的債券價格近似為：19Exercise：Thecurrentpriceofabondis100.Thederivativeofthepricewithrespecttotheyieldtomaturityis–700.Theyieldtomaturityis8%.CalculatetheMacaulaydurationofthatbond.20Solution：21近似誤差？y價格曲線越彎曲，誤差越大22練習一項永續(xù)年金，每月末支付1萬元，每年復利12次的年名義利率為6%，計算該項年金的馬考勒久期和修正久期。如果年名義利率上升為6.1%時，該項年金的價值會變化百分之幾？精確值：下降1.64%24有效久期（effectiveduration）

如果現(xiàn)金流是確定的，可以計算資產(chǎn)價格對收益率的一階導數(shù)P

(y)，從而計算修正久期。如果未來的現(xiàn)金流是不確定的（如可贖回債券），估計：符號：

P+收益率上升時的債券價格

P-收益率下降時的債券價格25

資產(chǎn)價格隨到期收益率變動的近似線性關系

注：對P

(y)的估計是以割線AB的斜率來近似在y0處的切線斜率。26

在修正久期中，P

(y)用近似值代替，得有效久期：即27例：已知一個6年期可贖回債券的現(xiàn)價為100元，當收益率上升100個基點時，該債券的價格將降為95.87元。當收益率下降100個基點時，該債券的價格將升至104.76元。計算該債券的有效久期。解：28主要內(nèi)容：久期（duration）：馬考勒久期，久期，有效久期凸度（convexity）：馬考勒凸度，凸度，有效凸度免疫（immunization）:久期和凸度的應用現(xiàn)金流配比（cashflowmatching）30馬考勒凸度：

凸度(convexity)31

馬考勒久期與馬考勒凸度的關系結(jié)論：給定馬考勒久期，現(xiàn)金流的時間越分散，馬考勒凸度越大。

32

基于名義收益率的凸度C：33

資產(chǎn)價格對名義收益率求二階導數(shù)：

凸度的計算公式：

可以證明，凸度是收益率y的減函數(shù)（見下圖，課后練習）。y=seq(0,1,by=0.01)t=1:10R=c(rep(5,9),105)P=D=C=NULLfor(iin1:length(y)){ d=y[i] P[i]=sum(R*exp(-d*t)) D[i]=sum(t*R*exp(-d*t))/P[i]#馬考勒久期

C[i]=sum(t*(t+1)*R*(1+d)^(-t-2))/P[i]#凸度

}plot(y,D,type='l',col=2,lwd=3,xlab='利息力（連續(xù)收益率）',ylab='馬考勒久期',main='面值為100，期限為10年，息票率為5%的債券')plot(y,C,type='l',col=2,lwd=3,xlab='利息力（連續(xù)收益率）',ylab='凸度',main='面值為100，期限為10年，息票率為5%的債券')35凸度對資產(chǎn)價格的影響債券A的凸度大于債券B的凸度：當利率下降時，A的價格上升快當利率上升時，A的價格下降慢PBAy36

有效凸度

的近似計算：37有效凸度是對凸度C的近似計算：即注：用利息力

代替名義收益率y，上式可近似馬考勒凸度。38例：一個6年期可贖回債券的現(xiàn)價為100元，當收益率上升100個基點時，該債券的價格將降為95.87元。當收益率下降100個基點時，該債券的價格將升至104.76元。計算該債券的有效凸度。解：該債券的有效凸度為：39Exercise

A3-yearbondpaying8%couponssemiannuallyhasacurrentpriceof$97.4211andacurrentyieldof9%compoundedsemiannually.Ifthebond’syieldincreasesby100basispoints,thenthepricewillbe$94.9243.ifthebond’syielddecreasesby100basispoints,thenthepricewillbe$100.calculatetheeffectiveconvexityofthebond.Solution:40久期和凸度的比較久期和凸度的關系（令m=1，y表示年實際收益率）兩邊分別除以資產(chǎn)價格P兩邊分別除以資產(chǎn)價格

P兩邊關于

再求導42資產(chǎn)組合的久期和凸度：以每種資產(chǎn)的市場價值為權(quán)數(shù)計算久期和凸度的加權(quán)平均數(shù)。43例：假設資產(chǎn)組合由n種債券構(gòu)成，債券k的價值

Pk，久期Dk，則組合的價值為：

組合的久期為：

44例：假設資產(chǎn)組合由n種債券構(gòu)成，債券k的價值

Pk，債券k的凸度為Ck，則組合的凸度為：45例：債券組合由兩種面值和償還值均為100的債券構(gòu)成，到期年收益率均為5%。第一種債券的年息票率為6%，期限為5年。第二種債券為10年期的零息債券。計算該債券組合的修正久期。解：第一種債券的價格為

馬考勒久期是到期時間的加權(quán)平均數(shù)

修正久期D1=4.48

(1+0.05)=4.26i=0.05n=5v=(1+i)^(-1)d=i/(1+i)a0=(1-v^n)/ia1=(1-v^n)/da11=(a1-n*v^n)/iP1=6*a0+100*v^nMD1=(6*a11+100*n*v^n)/P1D1=MD1/(1+i)D2=10/(1+i)P2=100*v^10P=P1+P2D=D1*P1/P+D2*P2/PD46第二種債券的價格為：該債券的馬考勒久期：10（零息債券的到期時間）

修正久期

D2=10

(1+0.05)=9.52債券組合的價格為：債券組合的修正久期為：47Exercise:Youaremanagingabondportfolioof$1,000,000.YoudecidethattheMacaulaydurationofyourportfolioshouldbeexactly10.Youhaveonlytwosecuritiestochoosefromforyourinvestments:azero-couponbondofmaturity5years,andacontinuousperpetuitypayingattherateof$1peryear.Currentforceofinterestis5%.HowmuchwillyouinvestineachofthesesecuritiesinordertohavethedesiredMacaulayduration?

49久期和凸度的應用債券價格的二階泰勒近似：

由此可得債券價格變化的近似公式：

注意久期和凸度的配比：久期和凸度。馬考勒久期和馬考勒凸度。有效久期和有效凸度。50例：債券的面值是1000元，期限為15年，年息票率為11%，到期時按面值償還。如果到期年收益率為12%，請計算其價格、馬考勒久期、修正久期和凸度。到期年收益率上升至12.5%時，債券的價格將如何變化？解：

真實值：–3.3674%。用修正久期作近似計算：–6.9184×0.5%=–3.4592%

考慮凸度的影響，凸度引起的價格變化為

故市場利率上升50個基點所導致的價格變動幅度為利率上升50個基點所導致的價格變動幅度R=c(rep(110,14),1110)#債券的現(xiàn)金流t=1:15i=0.12P=sum(R*(1+i)^(-t))#債券價格macD=sum(t*R*(1+i)^(-t))/P#馬考勒久期D=macD/(1+i)#久期macC=sum(t^2*R*(1+i)^(-t))/P#馬考勒凸度C=(macC+macD)*(1+i)^(-2)#凸度di=0.5/100#收益率的變化dP1=-D*di#基于久期計算債券價格變化dP2=-D*0.5/100+0.5*C*(di)^2#基于久期和凸度計算債券價格變化dP1;dP252小結(jié)練習資產(chǎn)組合包含下述兩種資產(chǎn)：（1）每年末支付1萬元的永續(xù)年金（2）到期償還值為50萬元的10年期零息債券。假設年實際利率為10%，計算該資產(chǎn)組合的久期和凸度。53每年末支付1萬元的永續(xù)年金55到期償還值為50萬元的10年期零息債券56資產(chǎn)組合的久期和凸度57盈余=資產(chǎn)

負債假設未來的負債為L1，L2，…，Ln，安排一系列資產(chǎn)A1，A2，…，An，以償付未來到期的債務。如何安排資產(chǎn)的結(jié)構(gòu)，使得無論利率如何變化，盈余總是非負？Redington免疫的條件（下圖）：利率風險管理：免疫（immunization）58現(xiàn)值相等久期相等資產(chǎn)的凸度≥

負債的凸度負債資產(chǎn)利率價值證明：下頁59

盈余（是收益率的函數(shù)）：對盈余求一階導數(shù)：

對盈余求二階導數(shù)：如果免疫的三個條件得以滿足，就有60假設收益率的變化為Δy，應用級數(shù)展開，可得結(jié)論：收益率的微小變化，不會導致盈余減少。注：上述三個條件只在特定時點上成立，隨著時間的推移，資產(chǎn)和負債的久期（或凸度）會發(fā)生不同的變化。61例：某公司在10年末需要償還一筆1790.85萬元的債務。在當前6%的年利率水平下，負債的現(xiàn)值為1000萬元。為了防范利率風險，債務人希望購買價值1000萬元的債券實施免疫策略，假設可供選擇的債券有如下三種，面值均為1000元，到期收益率為6%：A：10年期，息票率為6.7%。B：15年期，息票率為6.988%。C：30年期，息票率為5.9%。債務人應該如何選擇上述三種債券？62計算馬考勒久期：負債：10債券A：7.6655債券B：10（與負債相同）債券C：14.6361計算馬考勒凸度：負債：102=100債券A：68.7346債券B：126.4996債券C：318.108564

結(jié)論：B的凸度大于負債，購買B可以實現(xiàn)免疫。

問題：有更好的選擇嗎？資產(chǎn)和負債在第10年末的累積值（當前利率=6%）65免疫策略的另一種選擇：構(gòu)造一個債券組合。在A上的投資w，在C上的投資(1–w)。令組合的馬考勒久期為7.6655w+14.6361(1–w)=10即可求得在債券A上的投資：66.509%在債券C上的投資：33.491%組合的馬考勒凸度為(大于B的馬考勒凸度126.4996)：68.7346×66.59%+318.1085×33.491%=152.31（見下圖）66結(jié)論：組合的凸度更大，免疫能力更強。在不同利率條件下，第10年末的價格（累積值）V=1000i0=0.06i1=0.05#債券AV=1000i0=0.06i1=0.05tA=1:10RA=c(rep(67,9),1067)PA=sum(RA*(1+i0)^(-tA))#債券A的價格MDA=sum(tA*RA*(1+i0)^(-tA))/PA#A的馬考勒久期MCA=sum(tA^2*RA*(1+i0)^(-tA))/PA#A的馬考勒凸度PA;MDA;MCAV0A=V/PA*sum(RA*(1+i0)^(10-tA))#市場利率保持6%不變情況下購買債券A在第10年末的累計值V1A=V/PA*sum(RA*(1+i1)^(10-tA))#市場利率變?yōu)?%情況下購買債券A在第10年末的累計值#債券BV=1000i0=0.06i1=0.05tB=1:15RB=c(rep(69.88,14),1069.88)PB=sum(RB*(1+i0)^(-tB))#債券B的價格MDB=sum(tB*RB*(1+i0)^(-tB))/PB#B的馬考勒久期MCB=sum(tB^2*RB*(1+i0)^(-tB))/PB#B的馬考勒凸度PB;MDB;MCBt1B=1:10t2B=1:5V0B=V/PB*(sum(RB[1:10]*(1+i0)^(10-t1B))+sum(RB[11:15]*(1+i0)^(-t2B)))#市場利率保持6%不變情況下購買債券B在第10年末的累計值V1B=V/PB*(sum(RB[1:10]*(1+i1)^(10-t1B))+sum(RB[11:15]*(1+i1)^(-t2B)))#市場利率變?yōu)?%情況下購買債券B在第10年末的累計值#債券CV=1000i0=0.06i1=0.05tC=1:30RC=c(rep(59,29),1059)PC=sum(RC*(1+i0)^(-tC))#債券B的價格MDC=sum(tC*RC*(1+i0)^(-tC))/PC#C的馬考勒久期MCC=sum(tC^2*RC*(1+i0)^(-tC))/PC#C的馬考勒凸度PC;MDC;MCCt1C=1:10t2C=1:20V0C=V/PC*(sum(RC[1:10]*(1+i0)^(10-t1C))+sum(RC[11:30]*(1+i0)^(-t2C)))#市場利率保持6%不變情況下購買債券C在第10年末的累計值V1C=V/PC*(sum(RC[1:10]*(1+i1)^(10-t1C))+sum(RC[11:30]*(1+i1)^(-t2C)))#市場利率變?yōu)?%情況下購買債券C在第10年末的累計值rbind(c('利率不變','利率下降'),c(V0A,V1A),c(V0B,V1B),c(V0C,V1C))#負債的價格#繪圖：利率變化對債券價格的影響V1A=V1B=V1C=NULLfor(iin1:20){V1A[i]=V/PA*sum(RA*(1+i/100)^(10-tA))V1B[i]=V/PB*(sum(RB[1:10]*(1+i/100)^(10-t1B))+sum(RB[11:15]*(1+i/100)^(-t2B)))V1C[i]=V/PC*(sum(RC[1:10]*(1+i/100)^(10-t1C))+sum(RC[11:30]*(1+i/100)^(-t2C)))}x=(1:20)/100plot(c(x,x,x),c(V1A,V1B,V1C),type='n',xlab='利率',ylab='價格')lines(x,V1A,col='red',lty=1)lines(x,V1B,col='black',lty=2)lines(x,V1C,col='blue',lty=3)abline(h=1790.85,col='purple',lty=4)text(0.15,2300,'A',col='red')text(0.15,2000,'B',col='black')text(0.15,1700,'C',col='blue')text(0.15,1850,'負債',col='purple')#繪圖：債券組合V1A=V1B=V1C=NULLfor(iin1:20){V1A[i]=V/PA*sum(RA*(1+i/100)^(10-tA))V1B[i]=V/PB*(sum(RB[1:10]*(1+i/100)^(10-t1B))+sum(RB[11:15]*(1+i/100)^(-t2B)))V1C[i]=V/PC*(sum(RC[1:10]*(1+i/100)^(10-t1C))+sum(RC[11:30]*(1+i/100)^(-t2C)))}V1AC=0.66509*V1A+0.33491*V1Cx=(1:20)/100plot(c(x,x),c(V1B,V1AC),type='n',ylim=c(1700,2200),xlab='利率',ylab='價格')lines(x,V1AC,col='red',lty=1)lines(x,V1B,col='black',lty=2)abline(h=1790.85,col='purple',lty=3)text(0.15,2100,'A+C',col='red')text(0.15,1940,'B',col='black')text(0.15,1810,'負債',col='purple')67完全免疫Redington免疫：只有當平坦的收益率曲線發(fā)生微小的平移時，才能保證盈余不會減少。完全免疫（fullimmunization）：即使當平坦的收益率曲線發(fā)生較大的平移，盈余也不會減少。例：假設某機構(gòu)在未來需要支付一筆負債L，支付時間為t，同時在未來有兩筆資產(chǎn)現(xiàn)金流，金額分別為A和B，到期時間分別為t–a

和t+b。它們的關系如下圖所示。68完全免疫需要滿足下述三個條件：（1）資產(chǎn)的現(xiàn)值＝負債的現(xiàn)值（2）資產(chǎn)的久期＝負債的久期（3）資產(chǎn)分布在負債的前后兩端，即：證明（課后閱讀教材）69結(jié)論：如果滿足完全免疫的條件，必滿足Redington免疫的條件。完全免疫Redington免疫資產(chǎn)的現(xiàn)值＝負債的現(xiàn)值資產(chǎn)的現(xiàn)值＝負債的現(xiàn)值資產(chǎn)的久期＝負債的久期資產(chǎn)的久期＝負債的久期資產(chǎn)分布在負債的前后兩端資產(chǎn)的凸度≥

負債的凸度70證明：負債的馬考勒凸度：資產(chǎn)的馬考勒凸度：即：71例：某保險公司在10年末需要支付一筆2000萬元的債務，它現(xiàn)在擁有5年期的零息債券6209213.23元（到期價值），15年期的零息債券16105100元（到期價值）。假設市場利率為10％。判斷保險公司是否處于完全免疫狀態(tài)？如果市場利率變?yōu)?0％，保險公司的盈余將如何變化？解：負債的現(xiàn)值:資產(chǎn)的現(xiàn)值:負債的馬考勒久期:10資產(chǎn)的馬考勒久期:完全免疫的第三個條件顯然是滿足的：5<10<1573如果收益率從10%變?yōu)?0％，則盈余為：

可見，由于保險公司處于完全免疫狀態(tài)，所以市場利率的較大變化仍然會導致盈余增加（參見下圖）。74x=seq(0.001,1,0.001)A=6209213.23/(1+x)^5+16105100/(1+x)^15plot(x,A,type='l',col=2,lty=1,ylab='價值',xlab='市場利率')#資產(chǎn)的價值

curve(20000000/(1+x)^10,col=1,lty=2,add=T)#負債的價值

abline(v=0.1,col=3,lty=3)legend('topright',c('資產(chǎn)','負債'),lty=c(1,2),col=c(2,1))

75x=seq(0.001,1,0.001)S=6209213.23/(1+x)^5+16105100/(1+x)^15-20000000/(1+x)^10plot(x,S,type='l',col=2,ylab='盈余',xlab='市場利率')76Exercise:

Anactuarialdepartmentneedstoset-upaninvestmentprogramtopayforaloanof$20000duein2years.Theonlyavailable