高中數(shù)學(xué)學(xué)案1：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第二冊 平面與平面平行

8.5.3.2平面與平面平行的性質(zhì)

【新知初探】

要點(diǎn)兩平面平行的性質(zhì)定理

兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交

文字語言

線________

符號語言a〃￡,aQy=a9y=b=>_______

圖形語言

跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知平面?！ā辍?,兩條相交直線/,加分別與平面a,

￡，7相交于/，B,C與D,E,F,若49=6,DE'.DF=2：5,則47=.

題型二利用面面平行的性質(zhì)定理證明線線平行

【例2】如圖所示，平面四邊形/靦的四個頂點(diǎn)4B,3〃均在平行四邊形

A'B'CD'外，且AA',BB',CC',DD'互相平行，求證：四邊形ABCD

是平行四邊形.

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在三棱錐尸一/a'中，D,E,尸分別是為，PB,尸。的中點(diǎn),

〃是力6上一點(diǎn)，連接艙1，川是41/與座的交點(diǎn)，連接AK求證：NF//CM.

p

B

題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

【例3】如圖，在棱長為a的正方體48口一A3G〃中，E,F,P,0分別是比;

CD，AD、,劭的中點(diǎn).

⑴求證：溝〃平面次:G〃；

⑵求AQ的長；

(3)求證：EF〃平面BBDD.

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在棱長為2的正方體/四一4月G〃中，46的中點(diǎn)是P,

過點(diǎn)4作與截面網(wǎng)平行的截面，能否確定截面的形狀？如果能，求出截面的

面積.

【課堂達(dá)標(biāo)】

1.下列命題：

①一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，必與另外一個平面相交；

②如果一個平面平行于兩個平行平面中的一個平面，必平行于另一個平面；

③若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.

其中正確的命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.0

2.平面a〃平面￡，點(diǎn)力，ga,B,DWB,則直線力勿直線劭的充要條件

是（）

A.AB//CDB.AD//CB「-----

D.4B,C,〃四點(diǎn)共面

C.AB與切相交c，?I

I,?

3.如圖，不同在一個平面內(nèi)的三條平行直線和兩個平行平面

相交，則兩個平行平面內(nèi)以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的兩個三角形是

A.相似但不全等的三角形B.全等三角形

C.面積相等的不全等三角形D.以上結(jié)論都不對

4.如圖所示，正方體力靦-48C山中，AB=2小，點(diǎn)E為AD,/

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在G〃上，若跖〃平面陽&則篦=_：A\\

5.如圖，在正方體4?（第一45G〃中，側(cè)面對角線/A,8G上分別畛/二抄

有兩點(diǎn)￡,F,且6￡=G￡求證：EF〃平面ABCDY'Y

【札記】

參考答案

【新知初探】

平行

a//b

【基礎(chǔ)自測】

［判斷］

1.X直線/和/也可能是異面直線.

2.V

［訓(xùn)練］

1.解析由面面平行的性質(zhì)定理易得.

答案A

2.解析由于。〃￡,aua,MGB,過"有且只有一條直線與a平行，故D

項正確.

答案D

【題型通關(guān)】

【例1】解設(shè)仍"共面Y，

因為yna=/C,YnJ3=BD,且?！ā?

所以〃施，

所以△弘切，

值…SCS

明以SC+5一%

用SC_3

1SC+34-9，

所以SC=17.

跟蹤訓(xùn)練1解析由面面平行的性質(zhì)定理知〃應(yīng)

.,ABDEiDF5

所C1以無三而所以/小=應(yīng).?45=]X6=15.

答案15

【例2】證明???四邊形〃B'CD'是平行四邊形，D'//B'C.

'：A'D'4平面曲'CC,B'Cu平面3'CC,

：.A'D'〃平面如'CC同理A4'〃平面緲'CC.

\"A'D'u平面A4'D'D,AA'u平面A4'D'D,

且力'D'HAA'=A',

...平面44'D'〃〃平面期'CC.

又?.?平面/靦n平面力/'D'D=AD,平面力靦n平面如'CC=BC,：.AD//

BC.

同理可證AB//CD.：.四邊形/心是平行四邊形.

跟蹤訓(xùn)練2證明因為。，少分別是為，陽的中點(diǎn)，所以DE〃/18

又弧平面46G/比平面48G所以龍〃平面/6G

同理以〃平面ABC,且DECDF=D,DE,DFu平面DEF,所以平面兩〃平面ABC.

又平面PCMC平面DEF=NF,平面PQC平面ABC=CM,所以NF//CM.

【例3】⑴證明如圖，連接力C,必.因為48（%是正方形，且0是劭的中點(diǎn),

所以0是的中點(diǎn)，又P是4〃的中點(diǎn)，所以PQ〃CD”

又即平面〃CG〃，口u平面〃陽〃，所以國〃平面

1、回

⑵解由（1）易知PQ=/\C=%a.

⑶證明法一取區(qū)〃的中點(diǎn)Q,連接陽，B0、,則有加〃89且

乙

又BE〃BC豆BE=^B、C\,

所以BEHF0\,BE=FO\,

所以四邊形座FQ為平行四邊形，

所以EF〃BO1.

又小平面BB、D\D,BOu平面BB\D、D,

所以用1〃平面BBDD.

法二取8c的中點(diǎn)品連接旗，F(xiàn)E、,

則有用〃6口，EE\〃BB、,

且9A能=5，F(xiàn)E、,外u平面打人孫防u平面做

所以平面旗P〃平面BBDD.

又EFu平面EEE

所以跖〃平面BBM

跟蹤訓(xùn)練3解能.如圖，分別取力6,G〃的中點(diǎn)區(qū)N,

連接4MMC,CN,NAi.

?平面481G〃〃平面力比7?,平面4,必VC平面48￡〃=4M平面136萬Cl平面

AXMCN=MC,

：.AXN//MC.同理AXM//NC.

...四邊形4，比”是平行四邊形.

11

,:C、N=aCD\=QA\B\=A\P,C\N〃AP

，四邊形4尸卬V是平行四邊形，

:.A\N〃PG.同理4M〃歐

又C、PCPB=P,A.N,力/上平面4,必MCRQfc平面呼，

，平面4股獷〃平面PBC\.

故過點(diǎn)4與截面PBC、平行的截面是平面AM

連接MN,作仞V于點(diǎn)H.

由題意，易得加仁4N=#,W=2^2.

，四邊形4MCN是菱形，MH=NH=/,

:"出=事.

故S菱LV=2S*LMV=2X-X2'\^2X^3=2^6.

【課堂達(dá)標(biāo)】

1.解析根據(jù)面面平行的性質(zhì)知①②③正確，故選C.

答案C

2.解析充分性：A,B,C,〃四點(diǎn)共面，由平面與平面平行的性質(zhì)知做

必要性顯然成立.

答案D

3.解析由面面平行的性質(zhì)定理，得力加力'C,

則四邊形"TA'為平行四邊形，C.

同理a'=8'C,AB=A'B',比/△/B'C.

答案B

4.解析設(shè)平面/sen平面/￡=血

?.?①〃平面仍&同t平面4G，：.EF//m.

又平面4c〃平面力C,平面4?Cn平面4C=加，平面45CC平面然=4。,

：.m//AC,：.EF//AC.

又AGIIAC,:.EFHAC.

為4〃的中點(diǎn)，

￡F=fiC=2.

答案2

5.證