共點力平衡(第一課時)(解析版)-2022-2023學年高一物理備課講義(人教2019必修第一冊 )_第1頁
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文檔簡介

第三章相互作用——力

3.5共點力平衡(第一課時)

@素養(yǎng)導航

課標要求素養(yǎng)要求

1.物理觀念:知道什么是共點力,理

課解共點力平衡的條件。

2.科學思維:(1)能利用合成法、分

1.知道什么是共點力,知道什么是平衡狀態(tài),掌

標解法解決三力平衡

握共點力平衡的條件.

⑵能利用正交分解法處理多力平衡

2.會利用合成法或分解法分析三力平衡問題.

解及動態(tài)平衡問題。

3.整體法隔離法在共點力平衡中的應用

3.科學態(tài)度與責任:能運用共點力平

讀衡條件解決生活、生產(chǎn)、科技中的實

際問題。

做’自主學習?必備知識

上、教材原句01

物體受到幾個力的作用,如果保持靜止或勻速直線運動狀態(tài),我們就說這個物體處于壬迤憂念。

自主思考

籃球被豎直向上拋出,運動到最高點的瞬間速度等于零,則籃球在最高點處于平衡狀態(tài)嗎?為

什么

【答案】不處于平衡狀態(tài)。最高瞬時速度等于零,但籃球不處于靜止狀態(tài)。

教材原句02

在共點力作用下物體平衡的條件是合力為0,我們把它稱為共點力平衡的條件。

自主思考

如圖所示,斧子、酒瓶處于靜止狀態(tài),它們的加速度是多少?所受合力是多少?

【答案】加速度為零;所受合力為零。

Q互動探究?關鍵能力

探究點01對平衡條件的理解及應用

情境探究

如圖所示,甲圖中的鳥在幾個力的作用下處于靜止狀態(tài);乙圖中的飛機在水平方向上做勻

速直線運動;丙圖中的照相機靜止在三腳架上。

甲乙丙

上述三個物體均在多個共點力作用下處于平衡狀態(tài),它們各自所受的作用力應滿足什么條

件?

[答案]

物體所受的合力為零,物體將保持平衡狀態(tài)。

探究歸納

i.平衡狀態(tài)

物體受到幾個力作用時,保持靜止或勻速直線運動的狀態(tài)。

2.在共點力作用下物體平衡的條件是合力為0。

即F介=0或匕、合二,其中凡含和6介分別是將力進行正交分解后,在x軸和),軸上所受

與合一。

的合力。

3.共點力平衡的推論

(1)二力平衡:若物體在兩個力作用下處于平衡狀態(tài),則這兩個力一定等大、反向、共線。

(2)多力平衡:若物體在多個共點力作用下處于平衡狀態(tài),則其中任意一個力與其余所有力

的合力等大、反向、共線。

【探究應用1]物體在五個共點力的作用下保持平衡,如圖所示,其中R大小為10N,

方向水平向右。

(1)若撤去力而保持其余四個力不變,求其余四個力的合力的大小和方向;

(2)若將Fi轉過90。,求物體所受的合力大小。

【答案】(D10N水平向左(2)1(人粒N

【解析】

(1)五個共點力平衡時合力為零,則其余四個力的合力與尸?等大、反向,故其余四個力

的合力大小為10N,方向水平向左。

(2)若將Fi轉過90°,則F1'與其余四個力的合力垂直―合=/尸產(chǎn)+尸=苗]()2+]o2N=10^/2

【遷移應用1】如圖所示,在水平天花板上用繩AC、6。和。。吊起一個物體,使其處于

靜止狀態(tài),結點為C繩子的長度分別為AC=4dm,BC=3dm,懸點A、8間距為5dm。則

AC繩、繩、CD繩上的拉力大小之比為()

A.40:3():24

B.4:3:5

C.3:4:5

D.因C。繩長未知,故無法確定

【答案】c

【解析】對三條繩的結點C進行受力分析,如圖所示,由共點力平衡的條件知,AC、8C繩上

拉力的合力與CO繩上的拉力等大反向。由幾何關系知,AC繩、5c繩、CO繩上的拉力大小

之比為3:4:5,所以C正確。

1D

探究點02解決共點力平衡的三種常用方法

情境探究

懸掛式廣告掛牌如圖所示,掛牌的重力為G,兩側繩與豎直方向的夾角都為仇掛牌保持靜止,有哪些

方法能確定兩側繩的拉力大小?說說你的想法。

【答案】

方法1:利用合成法。根據(jù)共點力平衡的條件可知,掛牌所受三個共點力的

合力為零,即任意兩個力的合力與第三個力等大反向,這樣就可以利用解三角形的知識,

確定繩的拉力大小。

方法2:正交分解法。因為掛牌所受三個共點力的合力為零,所以將各力沿兩個互相垂直

的方向正交分解后,有用=0,Fy=0,由方程即可確定繩的拉力大小。

方法3:利用分解法。掛牌保持靜止時,其重力有兩個效果,就是沿繩使掛牌向兩側拉繩。

將重力沿兩側繩的方向分解,利用解三角形的知識,也可確定繩的拉力大小。

探究歸納

物體在三個共點力作用下處于平衡時,將其中的任意兩個力合成,其合力一

合成法

定與第三個力平衡,從而把三力平衡問題轉化為二力平衡問題

物體在三個共點力作用下處于平衡時,將其中任意一個力沿其他兩個力的反

分解法方向分解,則每個方向上的一對力大小相等,方向相反,從而把三力平衡問

題轉化為兩個方向上的二力平衡問題

物體在三個或三個以上的共點力作用下處于平衡時,將物體所受的各個力均

正交分解法向兩個互相垂直的方向上分解,然后分別在這兩個方向上列平衡方程。此時

平衡條件可表示為:凡合=0,a合=0

【探究應用2】“風力儀”可直接測量風力的大小,其原理如圖所示。儀器中一根輕質金屬絲懸掛著一

個金屬球。無風時,金屬絲豎直下垂;當受到沿水平方向吹來的風時,金屬絲偏離豎直方向一個角度。風力

越大,偏角越大。通過傳感器,就可以根據(jù)偏角的大小指示出風力。求風力大小尸跟金屬球的質量,入偏角

。之間的關系(重力加速度為g)<

LH

【答案】F=fngtan0

【解析】

選取金屬球為研究對象,它受到三個力的作用,如圖甲所示。金屬球處于平衡狀態(tài),這三個力的合力為

零。可用以下三種方法求解。

方法一:合成法

如圖乙所示,風力尸和拉力K的合刀與重力等大反向,由平行四邊形定則可得尸=mgtan/

方法二:分解法

重力有兩個作用效果:使金屬球抵抗風的吹力和使金屬絲拉緊,所以可以將重力沿水平方向和金屬絲的

方向進行分解,如圖丙所示,由幾何關系可得尸=r=機gtan仇

方法三:正交分解法

以金屬球為坐標原點,取水平方向為k軸,豎直方向為y軸,建立坐標系,如圖丁所示。由水平方向的

合力和豎直方向的合力尸丫含分別等于零,即

人分=臼sin。一尸=0

Fy合=FTCOS0—mg=0

解得F=mglan仇

【遷移應用2】如圖所示,光滑半球形容器固定在水平面上,。為球心.一質量為m的小滑塊,在水平力

產(chǎn)的作用下靜止于尸點.設滑塊所受支持力為尸N,。尸與水平方向的夾角為仇重力加速度為g,下列關系

正確的是()

C.F="77D.尸N=〃?gtan。

NIdll(7

【答案】

A

【解析】

對小滑塊進行受力分析,如圖所示,將心沿水平方向和豎直方向進行分解,根據(jù)平衡條件列方程.

水平方向有:FNCOS0=F

豎直方向有:FNsin0=mg

聯(lián)立解得尸=器,

探究點03受力分析和整體法、隔離法在平衡中應用

情境探究

分析平衡問題的基本思路是怎樣的?

【答案】

1.明確平衡狀態(tài)(合力為零).

2.巧選研究對象.

3.受力分析(畫出規(guī)范的受力分析圖).

4.列平衡方程(靈活運用力的合成法、效果分解法、正交分解法).

5.求解或討論(解的結果及物理意義).

探究歸納

1.整體法與隔離法

項目整體法隔離法

將加速度相同的兒個物體作為一將研究對象與周圍物體分隔

概念

個整體來分析的方法開的方法

研究系統(tǒng)外的物體對系統(tǒng)整體的研究系統(tǒng)內物體之間的相互

選用原則

作用力或系統(tǒng)整體的加速度作用力

受力分析時不要再考慮系統(tǒng)內物

注意問題一般隔離受力較少的物體

體間的相互作用

2.注意問題

(1)只分析所受的力

在進行受力分析時,一定要注意,我們分析的是物體“受到”的力,而不是物體對外施加

的力,也不要把作用在其他物體上的力,錯誤地認為通過“力的傳遞”而作用在研究對象上。

⑵只分析外力

對幾個物體的整體進行受力分析時,這幾個物體間的作用力為內力,不能在受力圖中出現(xiàn);

當把某一物體單獨隔離分析時,原來的內力變成了外力,要畫在受力分析圖上。

(3)合力與分力

進行受力分析時,同一物體受到的合力與分力是“等效替代”的關系,不能同時出現(xiàn)。

【探究應用3](多選汝I圖所示,一個固定的斜面,一個小物塊在水平推力作用下處于靜

止狀態(tài),關于小物塊的受力下列說法正確的是()

A.一定受到重力、彈力、摩擦力和水平推力四個力

B.水平推力和重力的合力一定垂直斜面方向

C.不一定受到摩擦力,摩擦力也不一定沿斜面向上

D.斜面的支持力和水平推力的合力方向可能豎直向上

【答案】CD

【解析】對小物塊分析可知,如果力尸沿斜面向上的分力等于重力沿斜面向下的分力,則物體

不受摩擦力,此時物塊受到重力、支持力和推力3個力,故A錯誤;如果摩擦力不為零,水平

推力和重力的合力與支持力、摩擦力的合力平衡,不垂直于斜面方向,故B錯誤;是否受到摩

擦力,關鍵看尸沿斜面向上的分力與重力沿斜面向下的分力大小,所以物塊不一定受到摩擦

力,摩擦力也不一定沿斜面向上,故C正確;摩擦力為零時,支持力和水平推力的合力豎直向

上與重力平衡,故D正確。

【遷移應用3】如圖所示,M、N兩物體疊放在一起,在恒力F作用下,保持靜止狀態(tài),

則關于兩物體受力情況的說法TF確的是()

A.物體N可能受到4個力

B.物體M與墻之間可能有彈力和摩擦力

C.物體M一定受到4個力

D.物體M與N之間可能無摩擦力

【答案】C

【解析】

對N進行受力分析:N受到重力、M對N的支持力,這兩個力不能平衡,所以N還

受到M對N向上的靜摩擦力,不可能受到4個力,A、D錯誤;M、N兩物體靜止,合力為

0,對M、N整體進行受力分析,受到重力和R墻對M沒有彈力,否則合力不能為0,所以

M與墻之間沒有摩擦力,B錯誤;再對M進行受力分析:M受到重力、推力尸、N對M的

壓力以及N給M沿斜面向下的靜■摩擦力,一共4個力,C正確。

力評價檢測?素養(yǎng)提升

學業(yè)合格練

1.(2022?全國?高一課時練習)如圖所示的三種情況下,日光燈所受的拉力B、尸2及重力G

不是共點力的是()

B.乙情況下

C.丙情況下D.甲、乙、丙三種情況下

【答案】B

【解析】共點力為作用于同一點的力,或力的作用線延長相交于一點的力,甲、丙圖中三力

均為共點力,乙圖中三力不是共點力。

故選B。

2.(2022.山東省臨沂第一中學高一開學考試)如圖所示,兩個相似的斜面體A、B在豎直向

上的力尸的作用下靜止靠在豎直粗糙墻壁上。關于斜面體A和B的受力情況,下列說法正確

的是()

A.A一定受到五個力B.B可能受到四個力

C.B與墻壁之間一定有彈力和摩擦力D.A與B之間一定有摩擦力

【答案】D

【解析】C.對A、B整體受力分析,如圖甲所示,A、B整體受到向下的重力和向上的推力

F,由平衡條件可知B與墻壁之間不可能有彈力,因此也不可能有摩擦力,故C錯誤;

B.對B受力分析如圖乙所示,其受到重力、A對B的彈力及摩擦力而處于平衡狀態(tài),故8只

能受到三個力,B錯誤;

AD.對A受力分析,如圖丙所示,其受到重力、推力足B對A的彈力和摩擦力,共四個

力,故A錯誤、D正確。

故選D。

3.(2022?江西省樂平中學高二開學考試)如圖,質量相等的A、B兩個磁鐵石吸附在豎直的

磁性黑板上處于靜止狀態(tài),磁鐵石A與磁性黑板的磁力大于磁鐵石B與磁性黑板的磁力,磁

鐵石A受到的摩擦力大小為弓,磁鐵石B受到的摩擦力大小為£一現(xiàn)用豎直向下的推力使兩

個磁鐵石沿黑板向下做勻速直線運動,作用于磁鐵石A的推力大小為作用于磁鐵石B的

推力大小為尸2,磁鐵石與黑板間的動摩擦因數(shù)相同,下列關系式正確的是()

A.月>"尸1=尸2B.£="耳〉用

C.4="片<耳D.4

【答案】B

【解析】磁鐵石靜止時,根據(jù)平衡條件有

磁鐵石勻速滑動時

由于磁鐵石A的磁力大,因此滑動時的滑動摩擦力大,由

F+nig=Fr

F-Ff—mg

故選B。

4.(2022?甘肅?永昌縣第一高級中學模擬預測)如圖所示,傾角為附的斜面頂端連接一輕質

彈簧,彈簧下端連接一小物塊,在斜面上保持靜止狀態(tài)。己知小物塊質量為根、與斜面間的

動摩擦因數(shù)為坐,彈簧勁度系數(shù)為鼠彈簧處于彈性限度內,最大靜摩擦力等于滑動摩擦

力,重力加速度為g,則()

A.彈簧可能處于壓縮狀態(tài)B.彈簧的最大形變量為鬻

C.小物塊所受的摩擦力不可能為零D.斜面對小物塊的作用力方向豎直向上,且大小等

于mg

【答案】B

【解析】A.由于

mgsin30°>——nigcos300

故小物塊若想靜止在斜面上,彈簧必伸長,故A錯誤;

B.當彈力最大,即

7

%=mgsin30°+mgcos30°=—mg

則由胡克定律可得最大形變量為

8k

故B正確;

C.當彈簧彈力大小等于mgsin30。,則此時物塊所受摩擦力為零,故C錯誤;

D.斜面對小物塊的作用力與重力和彈力的合力等大反向,故D錯誤;

故選B。

5.(2022?全國?高三課時練習)將四塊相同的堅固石塊壘成圓弧形的石拱,3、4兩塊固定在

地基上,1、2塊間的接觸面豎直,每個石塊的兩個側面所夾的圓心角均為3。。,不考慮石塊

間的摩擦力,則石塊1、2間的作用力F/和石塊1、3間的作用力尸2的大小之比為()

A.6回2B.102C.8回3D.8團1

【答案】A

【解析】對第一個石塊進行受力分析如圖所示,由幾何關系知

0=60°

所以有

后團產(chǎn)2=sin60°=巫

2

故選Ao

6.(2022?重慶十八中高三階段練習)某同學用如圖所示的裝置開展探究實驗,固定在墻壁上

的一個力傳感器通過一根水平繩與小木塊B相連,A、B都放在質量可以忽略的長薄板C上,

地面光滑。已知A的質量為lkg,B的質量為0.6kg,A、C間與B、C間的動摩擦因數(shù)都為

0.5,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。重力加速度g=10m/s2,當施加一個力尸作用在A上,下

列說法正確的是()

力傳

感器生

L、

A.尸=1N時,力傳感器示數(shù)為0B.尸=3N時,力傳感器示數(shù)為3N

C.尸=4N時,力傳感器示數(shù)為4ND.尸=5N時,力傳感器示數(shù)為2N

【答案】B

【解析】A、C間的最大靜摩擦力

森=M%g=5N

B、C間的最大靜摩擦力

2Ag=3N

A.對于輕質薄板C,合力一定為零。A、C間的最大靜摩擦力為5N,B、C間的最大靜摩擦力

為3N,當尸=1N時、C與A、B都保持相對靜止,由平衡條件知道彈簧秤示數(shù)為1N,故A錯

誤;

B.對于輕質薄板C,合力一定為零。A、C間的最大靜摩擦力為5N,B、C間的最大靜摩擦力

為3N,當/=3N時,C與A、B都保持相對靜止,由平衡條件知道彈簧秤示數(shù)為3N,故B正

確;

CD.當辰4N,拉力超過B、C間的最大靜摩擦力,發(fā)生相對滑動,B、C間的摩擦力為3N,

A、C間摩擦力也是3N,是靜摩擦力,從而保持輕質薄板C的合力零。同理分析知道,拉力

產(chǎn)超過4N,彈簧示數(shù)總是3N,保持輕質薄板C的合力零,A、C不可能發(fā)生相對滑動。故CD

錯誤。

故選B。

7.(2022?四川省德陽市第三中學高三開學考試)如下圖所示,兩木塊的質量分別為叫和

嗎,兩輕質彈簧的勁度系數(shù)分別為K和網(wǎng),上面木塊壓在上面彈簧上(但不拴接),整個系統(tǒng)

處于平衡狀態(tài)?,F(xiàn)緩慢向上提上面的木塊,直到它剛離開上面的彈簧。在這個過程中,下面

木塊移動的距離為()

A.華B.竽「叫g

【答案】C

【解析】設下面彈簧的原長為4,初始時,以兩木塊為上面彈簧為整體,根據(jù)受力平衡可得

(班+叫)g=429

解得下面彈簧的壓縮量為

_(g+嗎)g

則下面木塊離地面的高度為

現(xiàn)緩慢向上提上面的木塊,直到它剛離開上面的彈簧,說明上面彈簧的彈力為零,以下面木

塊為對象,根據(jù)受力平衡可得

m2g=kX

解得下面彈簧的壓縮量為

則下面木塊離地面的高度為

“3T

故下面木塊移動的距離為

k2bk2

故選C。

8.(2022?山西省翼城中學校高三階段練習)如圖所示,兩根直桿豎直固定在水平地面上,兩

桿之間的距離為一根不可伸長的細繩的兩端分別固定在桿上等高的M點和N點,輕繩

的長度為;L在繩上距離M點為L的P點系一固定繩套,懸掛質量為加的鉤碼。重力加速

度為g,則MP和NP段細繩的拉力大小分別是()

M\一7N

/777777777777777777777777777777Z7777

.7x/67^77

A.——mg,——mgBD.-mg,-mg

3455

「34_43

C.-fng,-mgD.-mg,-mg

【答案】D

[解析]設MP和NP段與豎直方向的夾角分別是。和A,由幾何關系得

sina=0.6,sin£=0.8

由物體的平衡條件得

7;cosa+T2cosfl=mg

7;sina=7^sinp

解得

T4

T.=-mg

T3

D正確,ABC錯誤。

故選D。

學業(yè)等級練

9.(2022?重慶十八中高三階段練習)張鵬同學在家?guī)蛬寢屜赐暌路?,掛在如圖所示的晾衣

架上晾曬,A、B為豎直墻壁上等高的兩點,A。、80為長度相等的兩根輕繩,8為一根輕

桿。轉軸。在A8中點Z)的正下方,A、0、8在同一水平面上。=90°,ZZX?C=30°,衣服

B.8桿的彈力大小為苧叫

A.8桿的彈力大小為沖

C.A。繩所受的拉力大小為半沖

D.80繩所受的拉力大小為可

【答案】C

【解析】AB.以。點為研究對象,。點受到衣服的拉力八C0桿的支持力B和繩40、BO

的拉力,設繩AO和繩80拉力的合力為E作出O點的受力示意圖如圖1所示,根據(jù)平衡條

件得

B=溫=2制

知CO桿彈力大小為2mg,故AB錯誤;

CD.由圖1分析可知

F=mgtan60°=6mg

將尸沿OA、08方向分解,如圖2所示,設繩AO和繩30所受拉力的大小均為心,則

尸=222cos45°

解得

故C正確,D錯誤。

故選C。

10.(2022?四川?雙流中學高三階段練習)如圖所示,滑輪本身的質量可忽略不計,滑輪軸。

安裝在一根輕木桿B上,一根輕繩4。繞過滑輪,A端固定在墻上,且保持水平,C端下面掛

一個重物,80與豎直方向的夾角為公45。,系統(tǒng)保持平衡。若保持滑輪的位置不變,改變6

的大小,則滑輪受到木桿的彈力大小的變化情況是()

A.只有。變小,彈力才變大

B.只有。變大,彈力才變大

C.無論J變大還是變小,彈力都變大

D.無論。變大還是變小,彈力都不變

【答案】D

【解析】無論。變大還是變小,水平繩和豎直繩中的拉力不變,這兩個力的合力與桿的彈力

平衡,故彈力都不變。

故選D。

11.(2022?廣東?鹽田高中高三階段練習)如圖所示,傾角為30。的斜面體放在水平面上,質

量為機=lkg的滑塊用質量不計的細繩拴接,細繩跨過固定在斜面體頂端的光滑滑輪后被水平

向右、大小為尸=10N的拉力拉著,整個裝置處于靜止狀態(tài),重力加速度g=10m/s2,則下列說

法正確的是()

A.滑塊與斜面體之間的摩擦力的大小為5N

B.斜面體對滑塊的支持力大小為5N

C.地面對斜面體沒有摩擦力的作用

D.滑塊與斜面體之間沒有摩擦力的作用

【答案】A

【解析】AD.滑塊的重力沿斜面方向的分力

G/=/〃gsin300=5N

根據(jù)共點力的平衡條件可知

F-G、=f

滑塊與斜面體之間的摩擦力等于5N,故A正確,D錯誤;

B.斜面體對滑塊的支持力大小

FN=mgcos30°=56N

故B錯誤;

C.斜面體和滑塊組成的整體處于靜止狀態(tài),說明整體所受合外力等于零,則地面對斜面體的

摩擦力大小等于細繩的拉力大小,為10N,故C錯誤。

故選Ao

12.(多選)(2022?山東?青島超銀高級中學高一期末)一學校物理項目學習小組研究懸索橋的

受力特點,實際的懸索橋在工程上是復雜的,他們進行了合理簡化,懸索橋的簡化模型如

下:懸索橋由六對鋼桿懸吊,六對鋼桿在橋面上分列兩排,其上端掛在兩根鋼纜上,如圖為

其一側面圖。己知圖中相鄰兩鋼桿間距離為9m,靠橋面中心的鋼桿長度為2m(即

A4=0O=2m),BB,=EE,CC=PP\又己知兩端鋼纜CM、PN與水平方向成45。角,若鋼

桿、鋼纜自重不計,每根鋼桿承受拉力相同,橋面總質量為〃?,以下說法正確的是()

A.每根鋼桿拉力大小為jgB,每對鋼纜4)中拉力大小為gmg

C.每對鋼纜CM中拉力大小為孝陽gD.的長度為6m

【答案】AC

【解析】A.對橋面根據(jù)平衡條件得

12F=mg

解得

c1

A正確;

BC,根據(jù)平衡條件得

%sin45°=丁g

67Mcos45。=兒

解得

「1

兒=*

FCM=-

B錯誤,C正確;

D.每根鋼纜4Q的拉力為%咫,鋼桿47的拉力為上,咫,根據(jù)三角形相似得

1

工"唱

;mg[容]

解得

LB&=5m

D錯誤。

故選ACo

13.(多選)(2022?全國?高三課時練習)如圖所示,傾角為。的斜面體C置于水平地面上,物

體8置于斜面上,通過細繩跨過光滑的定滑輪與物體A相連接,連接物體3的一段細繩與斜

面平行,已知A、B、C都處于靜止狀態(tài)。則()

A.物體B受到斜面體C的摩擦力可能為零

B.斜面體。受到水平地面的摩擦力一定為零

C.斜面體C有沿地面向右滑動的趨勢,一定受到水平地面向左的摩擦力

D.將細繩剪斷,若8物體依然靜止在斜面上,此時水平地面對斜面體。的摩擦力一定不為

【答案】AC

【解析】A.設4、B、C的重力分別為GA、GB、GC。若

G4=G8sin0

8相對于C沒有運動趨勢,不受。的摩擦力,故A正確;

BC.4B、。整體為研究對象,分析受力如圖,根據(jù)平衡條件得:水平地面對C的摩擦力

f=Feos6=G4cos0

方向水平向左,說明。有沿水平地面向右滑動的趨勢,則其受到向左的摩擦力,故B錯誤,

C正確;

D.將細繩剪斷,若B依然靜止在斜面上,則以B、C整體為研究對象得到

/=0

即水平地面對。的摩擦力為零,故D錯誤。

故選ACo

沖刺“雙一流”

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