計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)題型專練 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)1.某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，隨機(jī)抽查了100根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），將所得到的數(shù)據(jù)分成7組：，，，，，，（棉花纖維的長(zhǎng)度均在內(nèi)），繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值，并估計(jì)棉花纖維的長(zhǎng)度的眾數(shù)和平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；(2)估計(jì)棉花纖維的長(zhǎng)度的分位數(shù).2.某學(xué)校高一新生體檢，校醫(yī)室為了解新生的身高情況，隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的身高數(shù)據(jù)(單位：cm)，制作成頻率分布直方圖如圖所示.（1）求這100名同學(xué)的平均身高的估計(jì)值(同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值作為代表)；（2）用分層抽樣的方法從，，中抽出一個(gè)容量為17的樣本，如果樣本按比例分配，則各區(qū)間應(yīng)抽取多少人；（3）估計(jì)這100名同學(xué)身高的上四分位數(shù).3.國(guó)家發(fā)改委和住建部等六部門發(fā)布通知，提到：2025年，農(nóng)村生活垃圾無(wú)害化處理水平將明顯提升.現(xiàn)階段我國(guó)生活垃圾有填埋?焚燒?堆肥等三種處理方式，隨著我國(guó)生態(tài)文明建設(shè)的不斷深入，焚燒處理已逐漸成為主要方式.根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，對(duì)2013-2020年全國(guó)生活垃圾焚燒無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)y（單位：座）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代碼x12345678垃圾焚燒無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)y166188220249286331389463(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明（精確到0.01）；(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2022年全國(guó)生活垃圾焚燒無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)；(3)對(duì)于2035年全國(guó)生活垃圾焚燒無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)，還能用（2）所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，參考數(shù)據(jù)：，，，，，，4.某市為了解車主用車的能源類型與對(duì)該市交通擁堵感受的關(guān)系，共調(diào)查了100名車主，并得到如下的列聯(lián)表：覺(jué)得交通擁堵覺(jué)得交通不擁堵合計(jì)燃油車車主302050新能源車車主252550合計(jì)5545100（1）將頻率估計(jì)為概率，從該市燃油車和新能源車車主中隨機(jī)抽取1名，記“抽取到燃油車車主”為事件，“抽取到新能源車車主”為事件，“抽取到的車主覺(jué)得交通擁堵”為事件，“抽取到的車主覺(jué)得交通不擁堵”為事件，計(jì)算，，比較它們的大小，并說(shuō)明其意義；（2）是否有的把握認(rèn)為該市車主用車的能源類型與對(duì)該市交通擁堵的感受有關(guān)?將分析結(jié)果與（1）中結(jié)論進(jìn)行比較，并作出解釋.附表及公式：0.1000.0100.0012.7066.63510.828，.5.有6名同學(xué)站成一排.(1)甲不站排頭也不站排尾，則不同的排法種數(shù)為？(2)甲、乙不相鄰，則不同的排法種數(shù)為？(3)甲、乙相鄰，且甲、乙均不與丙相鄰，則不同的排法種數(shù)為？6.電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡(jiǎn)陋的裝備和極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國(guó)人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無(wú)畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利，著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場(chǎng)景.現(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起.（列出算式，并計(jì)算出結(jié)果）(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？7.現(xiàn)有9件產(chǎn)品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，從中抽取3件產(chǎn)品.(1)試問(wèn)共有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少種?(3)抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件二等品的抽法共有多少種?8.一個(gè)袋子中有7個(gè)大小相同的球，其中有2個(gè)紅球，2個(gè)藍(lán)球，3個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出3個(gè)球.(1)求至少取到2個(gè)黑球的概率；(2)設(shè)取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)藍(lán)球得1分，取到一個(gè)黑球得0分，記總得分為X，求X的分布列和均值.9.已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為46.(1)求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和：(2)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).10.某場(chǎng)知識(shí)競(jìng)賽比賽中，甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)環(huán)保知識(shí)的問(wèn)題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是，若各家庭回答是否正確互不影響.(1)求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率.11.甲，乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負(fù)1局或平局都不得分，積分先達(dá)到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒(méi)有人積分達(dá)到2分，則積分多的一方獲勝；若第四周結(jié)束，沒(méi)有人積分達(dá)到2分，且積分相等，則比賽最終打平.假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為，負(fù)的概率為，且每局比賽之間的勝負(fù)相互獨(dú)立.（1）求第三局結(jié)束時(shí)乙獲勝的概率；（2）求甲獲勝的概率.12.為普及防火救災(zāi)知識(shí)，某學(xué)校組織防火救災(zāi)知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手在第一輪比賽勝出后才能進(jìn)入第二輪比賽.若其在兩輪比賽中均勝出，則贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲，乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲?乙勝出的概率分別為，，甲，乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響，（1）比較甲?乙兩人誰(shuí)贏得比賽的概率大；（2）求甲贏得比賽且乙沒(méi)贏得比賽的概率.13.進(jìn)行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事.為了普及垃圾分類知識(shí)，某學(xué)校舉行了垃圾分類知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對(duì)每題的概率都為p，乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為q（），且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響已知每題甲，乙同時(shí)答對(duì)的概率為，恰有一人答對(duì)的概率為.(1)求p和q的值；(2)試求兩人共答對(duì)至少3道題的概率.14.為了解某品牌A型號(hào)空調(diào)的質(zhì)量，某商場(chǎng)對(duì)購(gòu)買該型號(hào)的顧客進(jìn)行了產(chǎn)品滿意度的問(wèn)卷調(diào)查.隨機(jī)抽取了100位顧客的問(wèn)卷進(jìn)行評(píng)分統(tǒng)計(jì)，評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，，.(1)求a的值；(2)求這100位顧客問(wèn)卷評(píng)分的平均數(shù)；(3)若根據(jù)各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評(píng)分在和內(nèi)的居民中共抽取7戶居民，查閱他們答卷的情況，再?gòu)倪@7戶居民中選取2戶進(jìn)行專項(xiàng)調(diào)查，求這2戶居民中恰有1戶的評(píng)分在內(nèi)的概率.15.某高新技術(shù)企業(yè)新研發(fā)出了一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品由三個(gè)電子元件組裝而成，這三個(gè)電子元件在生產(chǎn)過(guò)程中的次品率均為.組裝過(guò)程中不會(huì)造成電子元件的損壞，當(dāng)且僅當(dāng)三個(gè)電子元件都不是次品時(shí)，產(chǎn)品能正常工作，否則該產(chǎn)品為次品.（1）設(shè)一件產(chǎn)品中所含電子元件為次品的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望；（2）設(shè)“任取一件產(chǎn)品為次品”，“該產(chǎn)品僅有一個(gè)電子元件是次品”，求；（3）安排質(zhì)檢員對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行逐一檢查，確保沒(méi)有次品流入市場(chǎng).現(xiàn)有兩種方案，方案一：安排三個(gè)質(zhì)檢員先行檢測(cè)這三個(gè)元件，次品不進(jìn)入組裝生產(chǎn)線；方案二：安排一個(gè)質(zhì)檢員檢測(cè)成品，若發(fā)現(xiàn)次品，則進(jìn)行電子元件的更換，保證產(chǎn)品能正常工作.更換電子元件的費(fèi)用為15元/個(gè).已知每位質(zhì)檢員的月工資為3000元，該企業(yè)每月生產(chǎn)該產(chǎn)品800件，請(qǐng)從企業(yè)獲益的角度考慮，應(yīng)該選擇哪種方案?

答案以及解析1.答案：(1)，眾數(shù)為，平均數(shù)；(2)解析：(1)由頻率分布直方圖知，解得.最高小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)，可得眾數(shù)為.平均(2)設(shè)棉花纖維的長(zhǎng)度的分位數(shù)為，所以，解得.2.答案：（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）176.25解析：（1）第一組的頻率為0.05，第二組的頻率為0.35，第三組的頻率為，第四組的頻率為0.20，第五組的頻率為0.10，故平均數(shù).（2）根據(jù)題意，第組有人，第組有人，所以第3組選人.（3）因?yàn)榍?組的頻率和為0.7，前4組的頻率和為0.9，所以第75百分位數(shù)在第四組，不妨設(shè)為x，則，解得，即第75百分位數(shù)約為176.25；3.答案：(1)答案見(jiàn)解析；(2)，513；(3)答案見(jiàn)解析解析：（1），相關(guān)系數(shù)因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)，接近1，所以y與x的線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.（2）所以y與x的線性回歸方程為又2022年對(duì)應(yīng)的年份代碼，當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)2022年全國(guó)生活垃圾焚燒無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)為513.（3）對(duì)于2035年全國(guó)生活垃圾焚燒無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)，不能由（2）所求的線性回歸方程預(yù)測(cè)，理由如下（說(shuō)出一點(diǎn)即可）：①線性回歸方程具有時(shí)效性，不能預(yù)測(cè)較遠(yuǎn)情況；②全國(guó)生活垃圾焚燒無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)有可能達(dá)到上限，一段時(shí)間內(nèi)不再新建；③受國(guó)家政策的影響，可能產(chǎn)生新的生活垃圾無(wú)害化處理方式.4.答案：（1），，，答案見(jiàn)解析（2）沒(méi)有，答案見(jiàn)解析解析：（1）由題意得，，，說(shuō)明從抽樣情況來(lái)看，燃油車車主覺(jué)得交通擁堵的比例比新能源車車主覺(jué)得交通擁堵的比例更高（2），因此沒(méi)有90%的把握認(rèn)為該市車主用車的能源類型與是否覺(jué)得該市交通擁堵有關(guān)，說(shuō)明調(diào)查人數(shù)太少，（1）中的結(jié)論不具有說(shuō)服力，需要調(diào)查更多車主.5.答案：(1)480(2)480(3)144解析：(1)甲不站排頭也不站排尾，則先排其余5人，有種排法，甲插空，有種，故共有種不同排法.(2)甲、乙不相鄰，則先排其余4人，有種不同排法，甲乙兩人再插空，有種，故共有種不同排法.(3)甲、乙相鄰，且甲、乙均不與丙相鄰，則甲乙捆綁在一起，有種排法，先排列其余3人，有種，甲乙與丙再插空，有種排法，故共有種不同排法.6.答案：(1)576(2)144(3)960解析：(1)先將4名女生排在一起，有種排法，將排好的女生視為一個(gè)整體，再與3名男生進(jìn)行排列，共有種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法；(2)先將3名男生排好，共有種排法，在這3名男生中間以及兩邊的4個(gè)空位中插入4名女生，共有種排法，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法；(3)先將甲乙丙以外的其余4人排好，共有種排法，由于甲乙相鄰，則有種排法，最后將排好的甲乙這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的5個(gè)空隙中，共有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理，共有種排法.7.答案：(1)84(2)24(3)64解析：(1)從9件產(chǎn)品中抽取3件產(chǎn)品共有種；(2)從9件產(chǎn)品中抽取3件產(chǎn)品，其中一等品、二等品、三等品各1件有種；(3)“抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件二等品”的對(duì)立事件是“抽取的3件產(chǎn)品沒(méi)有一件二等品”，因此抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件二等品共有種.8.答案：(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，解析：（1）記“至少取到2個(gè)黑球”，事件A包含：①取到2個(gè)黑球，1個(gè)紅球或藍(lán)球；②取到3個(gè)黑球.所以，故至少取到2個(gè)黑球的概率為.（2）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5.即取到2個(gè)紅球，1個(gè)藍(lán)球，則；即取到1個(gè)紅球，2個(gè)藍(lán)球，或取到2個(gè)紅球，1個(gè)黑球，則；即取到1個(gè)紅球，1個(gè)藍(lán)球，1個(gè)黑球，則；即取到1個(gè)紅球，2個(gè)黑球，或取到2個(gè)藍(lán)球，1個(gè)黑球，則；即取到1個(gè)藍(lán)球，2個(gè)黑球，則；即取到3個(gè)黑球，則.所以的分布列為X012345P所以.9.答案：(1)-1(2)2304解析：(1)因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為46，所以，即，，解得或（舍）.令，則，所以展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為-1.(2)由(1)知二項(xiàng)式為，所以二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，令，得，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.10.答案：(1)，；(2)解析：（1）設(shè)甲、乙、丙家庭回答正確分別為事件A、B、C，根據(jù)題意，則有，則，又，所以，即，又，所以.所以乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率分別為和.（2）設(shè)甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題為事件D，則有，所以甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率為.11.答案：（1）（2）解析：（1）設(shè)事件A為“第三局結(jié)束乙獲勝”由題意知，乙每局獲勝的概率為，不獲勝的概率為.若第三局結(jié)束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝).故（2）設(shè)事件B為“甲獲勝”.若第二局結(jié)束甲獲勝，則甲兩局連勝，此時(shí)的概率.若第三局結(jié)束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝).此時(shí)的概率.若第四局結(jié)束甲以積分獲勝，則甲第四局必定獲勝，前三局為1勝2平或1勝1平1負(fù)，總共有9種情況：(勝，平，平，勝)，(平，勝，平，勝)，(平，平，勝，勝)，(勝，平，負(fù)，勝)，(勝，負(fù)，平，勝)，(平，勝，負(fù)，勝)，(負(fù)，勝，平，勝)，(平，負(fù)，勝，勝)，(負(fù)，平，勝，勝).此時(shí)的概率若第四局結(jié)束甲以積分獲勝，則乙的積分為0分，總共有4種情況：(勝，平，平，平)，(平，勝，平，平)，(平，平，勝，平)，(平，平，平，勝).此時(shí)的概率，故12.答案：（1）甲贏得比賽的概率大（2）解析：（1）設(shè)“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”，“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，則“甲贏得比賽”，，“乙贏得比賽”，.因?yàn)椋约宗A得比賽的概率大.（2）設(shè)“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，由（1）知，，所以甲贏得比賽且乙沒(méi)贏得比賽的概率為.13.答案：(1)，；(2)解析：（1）設(shè){甲