2021-2022學(xué)年新教材人教A版必修第二冊(cè)-8.4.1-平面-學(xué)案

8．4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8．4.1平面同學(xué)們?cè)谏钪卸加羞@樣的常識(shí)，停自行車時(shí)，要翻開腳撐．【問(wèn)題1】為什么翻開腳撐后自行車就能停穩(wěn)？【問(wèn)題2】還有什么確定平面的方法？【問(wèn)題3】怎樣用符號(hào)語(yǔ)言描述空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系？1．平面(1)定義：幾何里所說(shuō)的“平面〞，是從生活中的課桌面、黑板面、平靜的水面等抽象出來(lái)的．(2)本質(zhì)：由點(diǎn)構(gòu)成，平的，向四周無(wú)限延展．2．平面的畫法(1)水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍．如圖①.(2)如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋局部用虛線畫出來(lái)．如圖②.3．平面的表示法如圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.本質(zhì)：1．平面是由鏡面、平靜的水面等實(shí)物抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念．平面與生活中平的面這些實(shí)物有根本的區(qū)別，既具有無(wú)限延展性，又沒(méi)有大小、寬窄、薄厚之分，平面的這種性質(zhì)與直線的無(wú)限延展性是相通的．2．平面沒(méi)有上下曲折，是數(shù)學(xué)上最簡(jiǎn)單的面，即在相交的兩條直線上各取一動(dòng)點(diǎn)，作出過(guò)這兩點(diǎn)的直線，所有這些直線構(gòu)成的面．4．點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)的概念：如果直線l上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，就說(shuō)直線l在平面α內(nèi)，或者說(shuō)平面α經(jīng)過(guò)直線l.(2)符號(hào)表示：點(diǎn)P在直線l上P∈l點(diǎn)P在平面α外P?α點(diǎn)P在直線l外P?l直線l在平面α內(nèi)l?α點(diǎn)P在平面α內(nèi)P∈α直線l在平面α外l?α(3)本質(zhì)：點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面是元素與集合的關(guān)系；直線與平面是集合與集合的關(guān)系．5．平面的根本領(lǐng)實(shí)及推論(1)根本領(lǐng)實(shí)：根本領(lǐng)實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)根本領(lǐng)實(shí)1過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α根本領(lǐng)實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α根本領(lǐng)實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)推論推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(圖①).推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面(圖②).推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面(圖③).(3)本質(zhì)：根本領(lǐng)實(shí)是人們通過(guò)長(zhǎng)期觀察與實(shí)踐總結(jié)出來(lái)的，是幾何推理的根本依據(jù)，進(jìn)一步研究立體幾何的根底．(4)應(yīng)用：根本領(lǐng)實(shí)1：確定平面；根本領(lǐng)實(shí)2：確定直線在平面內(nèi)；根本領(lǐng)實(shí)3：確定點(diǎn)共線．本質(zhì)：三個(gè)根本領(lǐng)實(shí)又稱三個(gè)公理，三個(gè)公理及其推論是研究空間圖形性質(zhì)的理論根底，是立體幾何推理論證的理論依據(jù)．經(jīng)過(guò)空間中三個(gè)點(diǎn)可以作出幾個(gè)平面？提示：當(dāng)三個(gè)點(diǎn)共線時(shí)可以作出無(wú)數(shù)個(gè)平面；當(dāng)三個(gè)點(diǎn)不共線時(shí)只能作唯一的一個(gè)．1．平靜的、一望無(wú)際的湖面是平面嗎？2．一條直線和一個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面嗎？3．平面α與平面β相交于直線l，假設(shè)點(diǎn)P是平面α和平面β公共點(diǎn)，那么點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系是什么？l上．觀察教材圖8.4－10，怎樣用符合語(yǔ)音描述四條腿的底端在一個(gè)平面上？提示：設(shè)凳子腿的底端分別為A，B，C，D，因?yàn)锳B與BD相交于一點(diǎn)，所以直線AB，BD確定一個(gè)平面，設(shè)為α，那么A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，即點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共面．1．以下四個(gè)選項(xiàng)中的圖形表示兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的選項(xiàng)是()【解析】選D.畫兩個(gè)相交平面時(shí)，被遮住的局部用虛線表示．2．假設(shè)點(diǎn)Q在直線b上，b在平面β內(nèi)，那么Q，b，β之間的關(guān)系可記作()A．Q∈b∈βB．Q∈b?βC．Q?b?βD．Q?b∈β【解析】選B.因?yàn)辄c(diǎn)Q(元素)在直線b(集合)上，所以Q∈b.又因?yàn)橹本€b(集合)在平面β(集合)內(nèi)，所以b?β，所以Q∈b?β.根底類型一空間中點(diǎn)、直線、平面(直觀想象)1．三個(gè)平面α，β，γ兩兩均相交，那么這三個(gè)平面的交線總共可能有()條．A．1B．2C．3D．1或3【解析】選D.當(dāng)三個(gè)平面交于一條直線時(shí)，交線的條數(shù)是1，當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交，交線不重合時(shí)，有3條交線，綜上：可知空間中三個(gè)平面兩兩相交交線的條數(shù)是1或3.2．給出以下四個(gè)說(shuō)法，其中正確的選項(xiàng)是()A．線段AB在平面α內(nèi)，那么直線AB不在平面α內(nèi)B．三條平行直線共面C．兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么一定有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)D．空間三點(diǎn)確定一個(gè)平面【解析】選C.對(duì)于A，線段AB在平面α內(nèi)，那么直線AB一定在平面α內(nèi)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，三條平行直線不一定共面，比方正方體AC1中，三條平行線AB，DC，A1B1不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩平面相交于過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線，一定有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，空間中不共面的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故D錯(cuò)誤．3．給出以下結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是()①在空間中，假設(shè)四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，那么此四點(diǎn)不共面．②如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，那么l?α.③三個(gè)平面α，β，γ兩兩相交，并且它們的交線僅交于一點(diǎn)，那么平面α，β，γ可將空間分成八局部．A．1B．2C．3D．0【解析】選B.①錯(cuò)誤，平行四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)中，任意三點(diǎn)不共線，但這四點(diǎn)共面；②直線l即直線MN，因?yàn)镸∈a，N∈b，a?α，b?α，所以M∈α，N∈α，所以l?α正確．③正確，如墻角．關(guān)于空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系一是借助實(shí)物，如教室中的鉛筆、墻面分別代表直線、平面進(jìn)行空間想象判斷；二是利用根本領(lǐng)實(shí)及其推論進(jìn)行判斷，檢驗(yàn)是否符合定理的條件和結(jié)論．根底類型二點(diǎn)、直線的共面問(wèn)題(邏輯推理)【典例】求證：兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線共面．【證明】①?zèng)]有三線共點(diǎn)情況，如圖(1)所示，設(shè)a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.因?yàn)閍∩d＝M，所以a，d可確定一個(gè)平面α.因?yàn)镹∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α，所以NQ?α，即b?α.同理c?α，所以a，b，c，d共面．②有三線共點(diǎn)的情況，如圖(2)所示，設(shè)b，c，d三線相交于點(diǎn)K，與a分別交于N，P，M且K?a，因?yàn)镵?a，所以K和a確定一個(gè)平面，設(shè)為β.因?yàn)镹∈a，a??β，即b?β.同理c?β，d?β，所以a，b，c，d共面．由①②知，a，b，c，d共面．證明直線共面常用的方法(1)納入法：先由局部直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線也在這個(gè)平面內(nèi)．(2)重合法：先說(shuō)明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合．如證明兩個(gè)平面都過(guò)不共線的三點(diǎn)，那么兩個(gè)平面重合，即為同一個(gè)平面．假設(shè)一條直線與兩平行直線都相交，求證這三條直線共面．【證明】由題意，如圖，設(shè)a∥b，直線c與直線a，b相交于點(diǎn)A，P，因?yàn)閍∥b，所以b與a確定一個(gè)平面α，且A∈α，P∈α.所以AP??α，所以a，b，c共面，即原命題得證．綜合類型線共點(diǎn)、點(diǎn)共線問(wèn)題(邏輯推理)點(diǎn)共線問(wèn)題【典例】如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，平面α經(jīng)過(guò)D，E兩點(diǎn)．(1)作直線AB與平面α的交點(diǎn)P；(2)求證：D，E，P三點(diǎn)共線．【解析】(1)延長(zhǎng)AB交平面α于點(diǎn)P，如下圖．(2)證明：因?yàn)槠矫鍭BC∩平面α＝DE，P∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC.又因?yàn)镻∈α，所以P在平面α與平面ABC的交線DE上，即P∈DE，所以D，E，P三點(diǎn)共線．關(guān)于點(diǎn)共線問(wèn)題(1)利用點(diǎn)與線、點(diǎn)與面的關(guān)系說(shuō)明點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，從而證明點(diǎn)在兩個(gè)面的交線上，即點(diǎn)共線；(2)先由其中的兩個(gè)點(diǎn)確定一條直線，該直線應(yīng)是兩平面的交線，再證明其他點(diǎn)在這條直線上，即證明點(diǎn)是上述兩個(gè)平面的公共點(diǎn)．線共點(diǎn)問(wèn)題【典例】如圖，平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).【證明】因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰．所以AB，CD必定相交于一點(diǎn)．設(shè)AB∩CD＝M.因?yàn)锳B?α，CD?β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l.即AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).證明線共點(diǎn)問(wèn)題的方法一般假設(shè)其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證明該點(diǎn)在第三條直線上．創(chuàng)新拓展點(diǎn)共面問(wèn)題(直觀想象)【典例】(多項(xiàng)選擇題)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，假設(shè)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1，B1C1的中點(diǎn)，O1，O2分別是四邊形ADD1A1，A1B1CA．A，C，O1，D1四點(diǎn)共面B．D，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共面C．A，E，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面D．G，E，O1，O2四點(diǎn)共面【解析】選ACD.因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1，B1C1的中點(diǎn)，O1，O2分別為四邊形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O(shè)1是AD1的中點(diǎn)，所以O(shè)1在平面ACD1內(nèi)，故A正確；因?yàn)镋，G，F(xiàn)在平面BCC1B1內(nèi)，D不在平面BCC1B1內(nèi)，所以D，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；由可知EF∥AD1，所以A，E，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面，故C正確；連接GO2并延長(zhǎng)，交A1D1于H，那么H為A1D1的中點(diǎn)，連接HO1，那么HO1∥GE，所以G，E，O1．當(dāng)人們停放摩托車時(shí)，只要將摩托車的腳撐放下，摩托車就穩(wěn)了，這里用到了()A．兩條平行直線確定一個(gè)平面B．兩條相交直線確定一個(gè)平面C．不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面D．三點(diǎn)確定一個(gè)平面【解析】選C.當(dāng)人們停放摩托車時(shí)，只要將摩托車的腳撐放下，摩托車就穩(wěn)了，這里用到的是不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．2．在空間中，以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A．兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形B．四邊相等的四邊形是菱形C．正方形確定一個(gè)平面D．兩直線確定一個(gè)平面【解析】選C.四邊形可能是空間四邊形，故A，B錯(cuò)誤；只有在兩直線平行或相交時(shí)，才能確定一個(gè)平面，故D錯(cuò)誤．3．經(jīng)過(guò)空間任意三點(diǎn)作平面()A．只有一個(gè)B．可作兩個(gè)C．可作無(wú)數(shù)多個(gè)D．只有一個(gè)或有無(wú)數(shù)多個(gè)【解析】選D.假設(shè)三點(diǎn)不共線，那么只可以作一個(gè)平面；假設(shè)三點(diǎn)共線，那么可以作出無(wú)數(shù)多個(gè)平面．4．(2021·銀川高一檢測(cè))一條直線和這條直線外不共線的三點(diǎn)，最多可確定____