高中數(shù)學(xué)試題：不等式

不等式

一、選擇題

1.（2013?安徽高考）已知一元二次不等式段）<0的解集為{很<—1或x>

|），則人10*）>0的解集為（）

A.{x|x<—1或%>—lg2}

B.{x|—l<x<—1g2}

C.{x|x>-lg2}

D.{x|x<—1g2}

【解析】由題意知，一元二次不等式八工）>0的解集為:x|—

而火明>0,.---1<10￥<|,解得xVIg3,

即x<-lg2.

【答案】D

2.（2013?武漢模擬）設(shè)a,b為實數(shù),則是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】若0<a"<l,則當(dāng)a<0時，0>Z?>p此時》<：不成立；

若貝U當(dāng)a<0時，ab>l,

此時Q<ab<l不成立，

是的既不充分也不必栗條件.

【答案】D

—x+1?（x〈0）,

3.函數(shù)段）=<.、小則不等式％+a+i）火光+i）wi的解集是

x~11,（%30）,

B.{小Wl}

C.{x|x<V2-l}

D.{x|—y[2—IWXW也一1}

x+1三0,

【解析】不等式轉(zhuǎn)化為《

、x+(x+l)xWl,

fx+l<0,

或〈

[x+(x+l)(—x)Wl,

解得一lWxW表一1或xV—1.

綜上知xW/一1,故選C.

【答案】C

4.（2013-山東高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組

2x—y—2三0,

x+2y—120,所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為（）

.3x+y—8W0,

11

C.一D.—2

（2x-y一220,

【解析】如圖所示，＜x+2y—1N0,所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影

[3x+y-8W0

部分.

x+2y—1=0,

由《得A(3,-1).

、3x+y-8=0,

當(dāng)M點與A重合時，0M的斜率最小，koM=—1.

【答案】C

5.在一次為期15天的大型運動會期間，主辦方每天都要安排專用大巴接送

運動員到各比賽場館參賽，每輛大巴可乘坐40人，已知第t日參加比賽的運動

[30r+60,1WW6,

員人數(shù)M與f的關(guān)系是x”為了保證賽會期間

、3t十61/十88,

運動員都能按時參賽，主辦方應(yīng)至少準(zhǔn)備大巴的數(shù)量是()

A.10輛B.11輛

C.12輛D.13輛

【解析】①當(dāng)1WW6時，般⑺=30/+60是增函數(shù)，

⑺的最大值為M(6)=240.

②當(dāng)7WW15時，M(?)=-3(Z-y)2+88+3X(y)2,

當(dāng)1=10時,M⑺有最大值M(10)=398.

由①②知，M⑺的最大值為398,

.,.至少準(zhǔn)備大巴車10輛.

【答案】A

二、填空題

尤+yW3,

6.(2013.開封模擬)設(shè)x,y滿足約束條件〈、八則z=x—2y的取

X-09

值范圍為

【解析】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分所示,

作直線X—2y=0,并向左上，右下平移，當(dāng)直線過點A時，Z=x—2y取最

大值；當(dāng)直線過點3時，z=x—2》取最小值.

%—v+l=0,y=o,

由,[x+廠3=。，得“2),叫,得A(3,0).

lx+y-3=0,

，Zmax=3-2X0=3,Zmin=1—2X2=-3,

...z￡[—3,3]?

【答案】[-3,3]

7.(2013?四川高考)已知函數(shù)五X)=4X+E(X>°，。>0)在尤=3時取得最小值，

貝!Ja—.

【解析】fix)=4x+-^2A/4x--=4-y[a(x>0,tz>0),當(dāng)且僅當(dāng)4x=~,即%

時等號成立,此時取得最小值.又由已知X=3時，/(X)min=4，^,

=3,即a=36.

【答案】36

8.(2013?天津高考)設(shè)。+。=2,b>0,則當(dāng)。=時，冊+,取得最

小值.

【解析】由于a+22,所以冊+船喏+船俞+嘉+2由于。>。，

⑷>。,所以篇+*2退聘=1,因此當(dāng)?>0時，冊+f的最小值是打1

=|；當(dāng)a<Q時，]a十號的最小值是一(+1=*故]1+,的最小值為點此時

b\a\

<4|。廠"即a=—2.

、Q<0,

【答案】-2

三、解答題

9.設(shè)集合A為函數(shù)y=ln(—x2—2%+8)的定義域，集合3為函數(shù)丁=%+^^

JiIL

的值域，集合C為不等式[x—1)(x+4)W0的解集.

(1)求AA&

(2)若CJ[RA,求a的取值范圍.

【解】⑴由一f—2x+8>0得一4VxV2,

即A=(-4,2).

y=x+^7=(x+D+747—1，當(dāng)x+l>0，即x>—1時yN2—1=1,此

JiILA-I1

時x=0,符合題意；當(dāng)％+lVO,即xV—1時，yW—2—1=—3,此時x=12,

符合要求.所以5=(—8,-3]U[1,+8),所以AnB=(—4,-3]U[1,2).

(2)(ax—1)(x+4)=0有兩根x=—4或x=*.

當(dāng)。＞0時，C={x|—4W尤W、},不可能C三[RA；

當(dāng)aVO時,C={4xW—4或無》3},

若CJ[RA,則，N2,.?./wT，，-乎WaVO.

故a的范圍為一乎，o).

10.某公司計劃2013年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣

告，廣告總費用不超過9萬元.甲、乙電視臺的廣告收費標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分

鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告能給公司

帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺

的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？

[解】設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，

總收益為z元.

[x+yW300,

由題意，得《500x+200yW90000,

Lx》O,yNO.

目標(biāo)函數(shù)為z=3000x+2OOOy.

(x+yW300,

二元一次不等式組等價于15x+2yW900,

【九20,y20.

作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域

如圖所示.

5x+2y-900=0

作直線/:3000x+2OOOj=0,即3x+2y=0.

平移直線/,從圖中可知當(dāng)直線I過M點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.聯(lián)立

x+y=300,|x=100,

；解得

[5x+2y=900,ly=200.

.?.點M的坐標(biāo)為(100,200).zmax=3000x+2000y=700000(元).

故該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的

收益最大，最大收益是70萬元.

11.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建

造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成

本為6萬元，該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度式單位:

cm)滿足關(guān)系：C(X)=T￡(0WXW10),若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8

萬元.設(shè)五x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.

(1)求k的值及火工)的表達(dá)式；

(2)隔熱層修建多厚時，總