13.3.1等腰三角形課件人教版八年級數(shù)學(xué)上冊

等腰三角形1.了解等腰三角形的概念.2.經(jīng)歷操作—觀察—猜想—驗(yàn)證的學(xué)習(xí)過程，探究等腰三角形的性質(zhì)，會用三種語言描述并加以證明.3.能利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算.4.會運(yùn)用分類討論和方程思想等數(shù)學(xué)思想方法解決等腰三角形的問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)知識回顧觀察圖片，探究思考：（1）這些圖片中是否都包含一種特殊的三角形？等腰三角形（2）什么樣的圖形是等腰三角形？（3）回顧小學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)的等腰三角形的相關(guān)概念，結(jié)合圖形（畫圖）說出等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角，并寫出等腰三角形的符號表示：ACB腰腰底邊頂角底角底角ACB腰腰底邊頂角底角底角等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.探究作圖探究作圖1：給定長度分別為a，b的兩條線段：如何利用尺規(guī)作出底邊長為a，腰長為b的等腰三角形呢？b

aBAC①作線段AB=a；②分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，b為半徑作圓，交于兩點(diǎn)，取其中一點(diǎn)為C；③連接AC，AB.則△ABC為所求.探究作圖2：給定長度分別為a，b的兩條線段：如何利用尺規(guī)作出底邊長為a，高為b的等腰三角形呢？b

a①作線段AB=a；②分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長度為半徑作圓，交于M，N兩點(diǎn)；③作直線MN交線段AB于點(diǎn)D；④在直線MN上截取線段DC=b，連接AC，AB.則△ABC為所求.問題探究動手操作：如下圖，先把一個長方形（圖1）的紙按圖中的虛線對折，得到圖2中的圖形，然后剪去圖2中的陰影部分，再把它展開，得到圖3中的三角形.這個三角形有什么特征呢？圖1

圖2

圖3

觀察：AB和AC有什么關(guān)系？通過剪紙得到的三角形有什么特點(diǎn)？思考：等腰三角形是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？等腰三角形軸對稱圖形找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角，填入下表，并猜想等腰三角形的性質(zhì)：重合的線段重合的角

AB與AC

BD與CD

AD與AD∠B

與∠C∠BAD

與∠CAD∠ADB與∠ADC猜想1：等腰三角形的兩個底角相等.猜想2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.深入探究要嚴(yán)格證明一個用文字語言表述的幾何結(jié)論的正確性，需要經(jīng)歷幾個步驟？第1步：繪圖；第2步：寫出已知、求證；第3步：證明.請按如上三個步驟對我們猜測的兩個結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格證明.猜想1：等腰三角形的兩個底角相等.猜想2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.ABC已知：△ABC中，AB=AC,求證：∠B=C.猜想1：等腰三角形的兩個底角相等.D證明：取底邊的中點(diǎn)D，連接AD，則BD=CD.AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共邊)，

∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).在△BAD和△CAD中還有其他的證法嗎？方法二：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.方法三：作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)D.猜想2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.通過分析，我們得到，這個猜想包含了三個命題，即：命題1：已知等腰三角形的頂角平分線，那么頂角平分線也是底邊上的中線，底邊上的高線；命題2：已知等腰三角形的底邊上的中線，那么底邊上的中線也是頂角平分線，底邊上的高線；命題3：已知等腰三角形的底邊上的高線，那么底邊上的高線也是頂角平分線，底邊上的中線.命題1：已知等腰三角形的頂角平分線，那么頂角平分線也是底邊上的中線，底邊上的高線；已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.求證：AD⊥BC，AD平分BC.∴△ABD≌△ACD（SAS）.∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°.∴AD平分BC，AD⊥BC.證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.在△ABD和△ACD中，命題2：已知等腰三角形的底邊上的中線，那么底邊上的中線也是頂角平分線，底邊上的高線；已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線.求證：AD平分∠BAC，AD⊥BC.∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°.∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.

證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD.在△ABD和△ACD中，命題3：已知等腰三角形的底邊上的高線，那么底邊上的高線也是頂角平分線，底邊上的中線.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D.求證：AD平分∠BAC，AD平分BC.∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.∴AD平分∠BAC，AD平分BC.證明：∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中，典型例題例1如圖，在下列等腰三角形中，分別求出它們的底角的度數(shù).∵AB=AC，∴∠C=∠B=70°.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°.72°72°30°30°例2已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=70°.求∠C和∠A的度數(shù).例3如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，∠B=30°.

求∠ADC和∠1的度數(shù).∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC.∴∠ADC=∠ADB=90°.∵在△ABD中，∠1+∠B+∠ADB=180°，∴∠1=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°.例4已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是BC上一點(diǎn)，若BD=AD=AC.

求∠B的度數(shù).解：設(shè)∠B=x.∵BD=AD，∴∠BAD=∠B=x.∵∠ADC為△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x.∵AD=AC，∴∠C=∠ADC=2x.∵AB=BC，∴∠BAC=∠C=2x.在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴x+2x+2x=180°.解得x=36°.∴∠B的度數(shù)為36°.x例5已知：如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE.

求證：BD=CE.證明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED.∴∠ADB=∠AEC.∵AB=AC，∴∠B=∠C.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS）.∴BD=CE.還有其他方法嗎？典型例題例6求證：等腰三角形兩腰上的中線相等.證明：∵AB=AC，BE是AC邊上的中線，∴CE=AC.同理：BD=AB.∵AB=AC，∴BD=CE.在△DBC和△ECB中，∴△DBC≌△ECB（SAS）.∴BE=CD.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BE，CD分別是AC和AB邊上的中線.求證：BE=CD.例7在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°.求∠B的大小.解：（1）當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，AB的中垂線MN與邊AC相交，如圖1∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°.∵∠AED=50°，∴∠A=90-∠AED=90°-50°=40°.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠B=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°.例7在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°.求∠B的大小.解：（2）當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，AB的中垂線與CA的延長線相交，如圖2.由（1）知∠ADE=90°，∠AED=50°，∴∠BAE=90°-∠AED=90°-50°=40°.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵∠BAE=∠B+∠C，∴∠B=∠BAE=20°.例8已知：如圖，在△ABC中AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交AB于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AF.求證：∠B=∠CAF.證明：∵EF垂直平分AD（已知），∴FA=FD（垂直平分線的性質(zhì)定理）.∴∠FAD=∠ADF（等邊對等角）.即∠CAF+∠CAD=∠ADF.∵∠ADF=∠B+∠BAD（三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系），∴∠B+∠BAD=∠CAF+∠CAD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD（角平分線的定義）.∴∠B=∠CAF.練習(xí)鞏固1.（1）等腰三角形的一個頂角是80°，則它的底角是_________度.（2）等腰三角形的一個內(nèi)角是80°，則它的底角是_________度.（3）等腰三角形的腰長是5，底邊長是6，則它的周長是_________.（4）等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則它的周長是_________.2.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=AD.

求證：BD是∠ABC的平分線.3.如圖，在△ABC中，AB=AC，AP為BC邊上的中線，F(xiàn)為AP上任意一點(diǎn)，

點(diǎn)D，E分別在AB，AC上.若BD=CE，求證：DF=EF.請大家回顧本節(jié)課的內(nèi)容，總結(jié)梳理：1.這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的哪些知識？2.在得到等腰三角形的性質(zhì)的過程中，經(jīng)歷了怎樣的過程？3.本節(jié)課你學(xué)到了哪些證明線段相等和角相等以及等腰三角形中常見添加輔助線的方法？總結(jié)提升達(dá)標(biāo)檢測1.（1）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，則它的底角的度數(shù)是_________.（2）已知等腰三角形的兩邊長分別為5和7，則它的周長是____________.（3）等腰三角形的一個外角為110°，則它的底角是___________.（4）等腰三角形的周長是20，一邊長是5，則其他兩邊的長分別是_________.（5）如果等腰三角形ABC的兩邊a，b滿足a2+b2-6a-4b+13=0，則這個等腰三角形的第三邊c的長為_________.（6）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，P是△ABC內(nèi)的點(diǎn)，且∠PBC=∠PCA，則∠BPC=________°.2.等腰三角形的兩邊長分別是5cm和11cm，則它的周長是__________.3.等腰三角形的兩邊a，b滿足|a-2|+（b-5）2=0，那么這個三角形的周長是__________