浙江省寧波市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期適應(yīng)性考試二?？荚囋囶}含解析

PAGE25-浙江省寧波市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期適應(yīng)性考試（二?？荚嚕┰囶}（含解析）一、選擇題1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先分別求出，，再求即可.【詳解】，，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的補(bǔ)集和并集的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題.2.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，滿意（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意設(shè)且，轉(zhuǎn)化條件得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】設(shè)且，則，所以，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了純虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.3.已知實(shí)數(shù)滿意約束條件，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意畫(huà)出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意畫(huà)出可行域，如圖陰影部分所示：目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為，上下平移直線，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，由可得點(diǎn)，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.4.已知中角、、所對(duì)的邊分別是，則“”是“為等邊三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】舉反例分析充分性,再干脆推理必要性再推斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí),滿意三邊關(guān)系與,但不等邊三角形.當(dāng)為等邊三角形時(shí),成立.故“”是“為等邊三角形”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分與必要條件的判定,須要依據(jù)題意推導(dǎo)或者舉出反例證明充分性與必要性.屬于基礎(chǔ)題.5.已知隨機(jī)變量的分布列是（）－101其中，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，由離散型隨機(jī)變量期望公式即可得解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)與期望公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，由可解除B、D；由當(dāng)時(shí)，，可解除C；即可得解.【詳解】令，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，可解除B、D；當(dāng)時(shí)，，，所以，故解除C.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象識(shí)別，考查了函數(shù)奇偶性與三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)，無(wú)窮數(shù)列滿意：，，，則下列說(shuō)法中不正確的是（）A.時(shí)，對(duì)隨意實(shí)數(shù)，數(shù)列單調(diào)遞減B.時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為常數(shù)列C.時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得不是單調(diào)數(shù)列D.時(shí)，對(duì)隨意實(shí)數(shù)，都有【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，由可推斷A；當(dāng)時(shí)，由可得，即時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，可推斷B；當(dāng)、時(shí)，由可推斷C；若，可得，進(jìn)而可得，即可推斷D；即可得解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則即，所以對(duì)于隨意實(shí)數(shù)，數(shù)列單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，若，則即，當(dāng)即時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)、時(shí)，，，，，，故數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.8.若正實(shí)數(shù)、滿意，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿意，故要保證有意義，可得.利用換元法，令()，將化簡(jiǎn)，可得，結(jié)合方程的根的特征，即可求得答案.【詳解】正實(shí)數(shù)、滿意保證有意義，則①令()，將代入①可得：，結(jié)合解得：將平方可得：整理可得：故：②將代入②，可得：這是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，則方程有兩個(gè)正根(含相等)解得：故故選：C【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是利用還原法，將所給等式轉(zhuǎn)化一元二次方程，利用一元二次方程學(xué)問(wèn)求解變量的范圍，考查了分析實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.9.點(diǎn)在橢圓上，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，與軸相交于，若是鈍角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因?yàn)閳A與軸相切于焦點(diǎn)，不妨設(shè)，則(因?yàn)橄嗲?，則圓心與的連線必垂直于軸)，依據(jù)題意畫(huà)出大致圖象，依據(jù)幾何關(guān)系求得，，依據(jù)為鈍角，則，結(jié)合已知，即可求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】圓與軸相切于焦點(diǎn)，不妨設(shè)，則(因?yàn)橄嗲?，則圓心與的連線必垂直于軸)依據(jù)題意畫(huà)出大致圖象：在橢圓上，則或圓的半徑為過(guò)作軸與，則為鈍角，則即得，即得，即可得：即：即：即：故：選故：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓離心率范圍問(wèn)題，解題關(guān)鍵是駕馭橢圓離心率定義，要留意橢圓的離心率范圍是：，數(shù)形結(jié)合，考查了分析實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.10.在四面體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）.設(shè)與平面所成角為，與平面所成角為，與平面所成角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】不妨設(shè)，，，，，，然后算出，，即可.【詳解】不妨設(shè)，，，，，所以，所以所以設(shè)平面的法向量為則有，即，即所以可取所以，同理可得，因?yàn)?，所以，故，故選：D【點(diǎn)睛】對(duì)于選擇題，特殊化處理是解答本題的關(guān)鍵.二、填空題11.的綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則實(shí)數(shù)______，該綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由的綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為求出，然后寫出的綻開(kāi)式的通項(xiàng)即可算出答案.【詳解】因?yàn)榈木`開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為所以令中的可得，所以因?yàn)榈木`開(kāi)式的通項(xiàng)為所以綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為故答案為：1，10【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理的相關(guān)學(xué)問(wèn)，屬于基礎(chǔ)題.12.一個(gè)四面體的三視圖如圖所示（單位cm），則該四面體體積（單位cm3）為_(kāi)_____，外接球的表面積（單位cm2）為_(kāi)_____.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)三視圖畫(huà)出原圖，由此計(jì)算出幾何體的體積，并計(jì)算出外接球的表面積.【詳解】依據(jù)三視圖可知，該幾何體為如圖所示四面體，將其放置在長(zhǎng)方體中，所以幾何體的體積為.四面體的外接球即長(zhǎng)方體的外接球，外接球的直徑為，所以外接球的表面積為.故答案為：（1）；（2）.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖求幾何體的體積，考查幾何體外接球表面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.13.已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，最小正周期，則______，的單調(diào)遞減區(qū)間是______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)的對(duì)稱性和的范圍，求得，依據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由于的最小正周期，，所以.由于圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，所以，兩式相加得，由于，，所以.則，結(jié)合可得，所以.所以的最小正周期為.由，解得，所以的減區(qū)間為.故答案為：（1）；（2）【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性、周期性求參數(shù)，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.14.已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中，雙曲線過(guò)點(diǎn)，則的值是______，雙曲線的漸近線方程是______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得，由此求得拋物線方程，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入雙曲線的方程，由此求得，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】由于在拋物線上，所以.所以拋物線方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的方程為.由，解得或，所以.將坐標(biāo)代入雙曲線的方程得，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：（1）；（2）【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線方程的求法，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查雙曲線的方程的求法，考查雙曲線的漸近線方程，屬于中檔題.15.某會(huì)議有來(lái)自個(gè)學(xué)校的代表參與，每個(gè)學(xué)校出名代表.會(huì)議要選出來(lái)自個(gè)不同學(xué)校的人構(gòu)成主席團(tuán)，不同的選取方法數(shù)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)的計(jì)算，求得不同的選取方法數(shù).【詳解】第一步：從個(gè)學(xué)校中選出個(gè)學(xué)校，方法數(shù)有；其次步，從選出的個(gè)學(xué)校中各選取個(gè)代表，方法數(shù)有；依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，總的方法數(shù)有種.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分步計(jì)數(shù)原理，考查組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.16.函數(shù)，，若恰有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，則.由圖像知，要使得恰有三個(gè)零點(diǎn)，則方程存在兩個(gè)實(shí)根，滿意，或者，，結(jié)合的性質(zhì)，得.【詳解】畫(huà)出的圖像如下圖所示.設(shè)，則.由圖像知，要使得恰有三個(gè)零點(diǎn)，則方程存在兩個(gè)實(shí)根，滿意“，”或者“，”.由于，所以在上遞減，在上遞增，兩個(gè)零點(diǎn)為，最小值為.由于.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，即故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的探討，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.17.已知矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在射線、上運(yùn)動(dòng)，且滿意.對(duì)角線交于點(diǎn)，設(shè)，則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】由條件可知，故，則點(diǎn)到的距離為，即，故，則.【詳解】由于，所以，所以，所以，所以點(diǎn)到的距離為，所以，而，所以，設(shè)，則，所以，則.則.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量在幾何計(jì)算中的運(yùn)用，屬于中檔題.三、解答題18.已知中角、、所對(duì)的邊分別是,且.(1)求的值；(2)若且,求的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依據(jù)正弦定理邊化角,再利用三角恒等變換以及三角函數(shù)值求解即可.(2)利用與內(nèi)角和的關(guān)系,將化簡(jiǎn)成關(guān)于角的表達(dá)式,再利用三角恒等變換結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍求解即可.【詳解】(1)由,故即,∵,∴,而,∴.(2)由,得,即,∴,,.故,即.又,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理進(jìn)行邊角互化求解角度的問(wèn)題,同時(shí)也考查了三角恒等變換在解三角形中的運(yùn)用.屬于中檔題.19.已知三棱柱中，、分別是與的中點(diǎn)，為等邊三角形，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）（i）求證：平面；（ii）求二面角的正弦值.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）（i）見(jiàn)解析（ii）【解析】【分析】（Ⅰ）由推出平面，由推出平面，則平面平面，由平面PMN即可得證；（Ⅱ）（i）勾股定理證明、，即可推出平面；（ii）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AMN，平面BMN的法向量代入即可求得兩向量夾角的余弦值，再求出正弦值即可.【詳解】（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接MP，則，因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以平面，因?yàn)镹、P分別的中點(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，故平面，因?yàn)椋矫鍼MN，平面PMN，于是平面平面，又平面PMN，所以平面.（Ⅱ）（i）不妨設(shè)，則.依題意，故為等腰底邊上的中線，則.于是，因?yàn)?，所以，同理，則，又，平面，平面，所以平面.（ii）方法一：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)闉榈冗吶切吻覟榈闹悬c(diǎn)，所以，又,平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫鍭MN，故平面平面.設(shè)，則為平面與平面的交線.過(guò)作于點(diǎn)，則平面.又過(guò)作于點(diǎn)，則平面，即為二面角的平面角.在中，，，則；在中，.所以，即二面角的正弦值是.方法二：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，.設(shè)平面的法向量，平面的法向量.由，可?。挥?，可取.于是，所以二面角的正弦值是.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線面垂直的判定及證明，二面角的求法，空間向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題.20.已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng),其前項(xiàng)和為,且與的等比中項(xiàng)是,數(shù)列滿意：.(1)求,并求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)記,,證明：.【答案】(1),,.(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)由題可得,再依據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求得遞推公式,再依據(jù)的值求解通項(xiàng)即可.(2)依據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求出的通項(xiàng)公式,再代入可得再利用裂項(xiàng)放縮法或者利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】(1)依題意,由,得,.于是有,,兩式相減可得.約去正項(xiàng)可得.又,,所以是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.故.(2)依題意,當(dāng)時(shí),,兩式相減即得.另外亦符合上式,所以.證一：所以.證二：（1）時(shí)命題成立.（2）假設(shè)時(shí)命題成立,即那么即當(dāng)時(shí)命題也成立.綜合（1）（2）對(duì)隨意命題均成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求得遞推公式與通項(xiàng)公式的方法,同時(shí)也考查了數(shù)列不等式的問(wèn)題,包括裂項(xiàng)放縮以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.屬于難題.21.已知橢圓的焦點(diǎn)的距離為，過(guò)且垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使得經(jīng)過(guò)相異兩點(diǎn)和的直線交橢圓所得弦的中點(diǎn)恰為點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)題意得到，解得答案.（Ⅱ）計(jì)算直線的方程，聯(lián)立方程得到，利用點(diǎn)差法得到，故，，變換得到，解得答案.【詳解】（Ⅰ）依據(jù)題意：，，即，解得，故，橢圓的方程為.（Ⅱ）過(guò)、兩點(diǎn)的直線的斜率為，直線的方程，代入可得，整理可得，依題意，即.①若設(shè)直線交橢圓于點(diǎn)，，則依題意有，經(jīng)整理可得，，即.②由題意，故由②可知，再結(jié)合①可知：若，，則，不成立；故，，將②代入①消去，可得，再次將②代入①，可得，即.又，，故解得.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，求參數(shù)范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力，利用點(diǎn)差法是解題的關(guān)鍵.22.已知實(shí)數(shù)，函數(shù).（Ⅰ）證明：對(duì)隨意，恒成立；（Ⅱ）假如對(duì)隨意均有，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)得到函數(shù)，故只需證，設(shè)，求導(dǎo)得到，得到證明.（Ⅱ）對(duì)隨意有意義，，令可得，所以，再證明對(duì)隨意，隨意，不等式恒成立，考慮關(guān)于的函數(shù)，依據(jù)其單調(diào)性得到，計(jì)算函數(shù)單調(diào)性得到證明.【詳解】（Ⅰ）易知的定義域?yàn)?，若，則，，則在單調(diào)增，在單調(diào)減，所以