黑龍江省龍東地區(qū)2024屆中考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2024年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題3分，共30分）1．下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a6 B．（a2）5＝a7 C．（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b22．下列圖形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．3．一個(gè)由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少是（）A．6 B．5 C．4 D．34．一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.55．關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≤4 B．m≥4 C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠26．已知關(guān)于x的分式方程kxx-3-2=3A．k＝2或k＝﹣1 B．k＝﹣2 C．k＝2或k＝1 D．k＝﹣17．國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某班開(kāi)展了主題為“書(shū)香滿校園”的讀書(shū)活動(dòng)．班級(jí)決定為在活動(dòng)中表現(xiàn)突出的同學(xué)購(gòu)買(mǎi)筆記本和碳素筆進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)（兩種獎(jiǎng)品都買(mǎi)）．其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有幾種購(gòu)買(mǎi)方案（）A．5 B．4 C．3 D．28．如圖，雙曲線y=12x（x＞0）經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，連接OA、AB，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為D，BD交OA于點(diǎn)E，且E為AO的中點(diǎn)，則△A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.59．如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，AM⊥BC，垂足為M，AM交BD于點(diǎn)N，OM＝2，BD＝8，則MN的長(zhǎng)為（）A．5 B．455 C．35510．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)H在AD邊上（不與點(diǎn)A、D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分線DF于點(diǎn)F，連接AC交BH于點(diǎn)M，連接BF交AC于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)N，連接BD．則下列結(jié)論：①∠HBF＝45°；②點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)；③若點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，則sin∠NBC=1010；④BN=2BM；⑤若AH=12HD，則S△BNDA．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國(guó)糧食總產(chǎn)量是13908億斤，將13908億用科學(xué)記數(shù)法表示為．12．在函數(shù)y=x-3x+2中，自變量x的取值范圍是13．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得菱形ABCD為正方形．14．七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學(xué)生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和1名女生的概率是．15．關(guān)于x的不等式組4-2x≥012x-a＞0恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是16．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，若∠B＝25°，則∠CAD＝°．17．若圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為36π，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是°．18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC=12，BC＝2，AD＝1，線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，則BP的最大值是19．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將AB沿過(guò)點(diǎn)A的一條直線折疊，折痕交直線BC于點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上，則PC長(zhǎng)為．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OMNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），△OAB是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是（1，0），△OAB在正方形OMNP內(nèi)部緊靠正方形OMNP的邊（方向?yàn)镺→M→N→P→O→M（→…）做無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A1，A1的坐標(biāo)是（2，0）；第二次滾動(dòng)后，A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A2，A2的坐標(biāo)是（2，0）；第三次滾動(dòng)后，A2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A3，A3的坐標(biāo)是（3-32，12）；如此下去，……，則A2024的坐標(biāo)是三、解答題（滿分60分）21．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：m2-2m+1m2-1÷（m22．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（2）畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB2C2，并寫(xiě)出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B2的過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．23．（6分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中B（1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△APC的面積最大．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)和△APC的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．24．（7分）為貫徹落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各一小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間”的要求，某學(xué)校要求學(xué)生每天堅(jiān)持體育鍛煉．學(xué)校從全體男生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，調(diào)查他們的立定跳遠(yuǎn)成績(jī)，整理如下不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合圖解答下列問(wèn)題：（1）頻數(shù)分布表中m＝，扇形統(tǒng)計(jì)圖中n＝；（2）本次調(diào)查立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)落在組別；（3）該校有600名男生，若立定跳遠(yuǎn)成績(jī)大于200cm為合格，請(qǐng)估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績(jī)合格的男生有多少人？組別分組（cm）頻數(shù)A50＜x≤1003B100＜x≤150mC150＜x≤20020D200＜x≤25014E250＜x≤300525．（8分）甲、乙兩貨車(chē)分別從相距225km的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲貨車(chē)從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來(lái)卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，乙貨車(chē)沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車(chē)到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車(chē)晚半小時(shí)到達(dá)B地．如圖是甲、乙兩貨車(chē)距A地的距離y（km）與行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問(wèn)題：（1）甲貨車(chē)到達(dá)配貨站之前的速度是km/h，乙貨車(chē)的速度是km/h；（2）求甲貨車(chē)在配貨站卸貨后駛往B地的過(guò)程中，甲貨車(chē)距A地的距離y（km）與行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫(xiě)出甲、乙兩貨車(chē)在行駛的過(guò)程中，出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙兩貨車(chē)與配貨站的距離相等．26．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN=12∠BAC，∠MAN在∠BAC的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在BC上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段BM、NC、（1）如圖①，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，探究如下：由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，將△ACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABP，則CN＝BP且∠PBM＝90°，連接PM，易證△AMP≌△AMN，可得MP＝MN，在Rt△PBM中，BM2+BP2＝MP2，則有BM2+NC2＝MN2．（2）當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，如圖②：當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，如圖③，分別寫(xiě)出線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．27．（10分）為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開(kāi)展踢毽子活動(dòng)，需購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種品牌毽子．已知購(gòu)買(mǎi)甲種品牌毽子10個(gè)和乙種品牌毽子5個(gè)共需200元；購(gòu)買(mǎi)甲種品牌毽子15個(gè)和乙種品牌毽子10個(gè)共需325元．（1）購(gòu)買(mǎi)一個(gè)甲種品牌毽子和一個(gè)乙種品牌毽子各需要多少元？（2）若購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種品牌毽子共花費(fèi)1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過(guò)乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？（3）若商家每售出一個(gè)甲種品牌毽子利潤(rùn)是5元，每售出一個(gè)乙種品牌毽子利潤(rùn)是4元，在（2）的條件下，學(xué)校如何購(gòu)買(mǎi)毽子商家獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？28．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形OAB的邊OB在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，OA的長(zhǎng)度是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OA﹣AB運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OB﹣BA運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜3.6），△OPQ的面積為S．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)S＝63時(shí)，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1．C2．B3．C4．D5．D6．A解析：kxx-3kx﹣2（x﹣3）＝﹣3，kx﹣2x+6＝﹣3（k﹣2）x＝﹣9，x=-9∵關(guān)于x的分式方程kxx-3∴x﹣3＝0，解得：x＝3，-9k-2=∴3k﹣6＝﹣9且k﹣2＝0，解得：k＝﹣1或2，故選：A．7．B解析：設(shè)購(gòu)買(mǎi)筆記本x件，筆y支，根據(jù)題意得：3x+2y＝28，∴y＝14-32又∵x，y均為正整數(shù)，∴x=2y=11或x=4y=8或x=6y=5∴共有4種購(gòu)買(mǎi)方案．故選：B．8．A解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥y軸，垂足為M，連接OB，則S△AOM＝S△OBD=12|k|=12∵E是OA的中點(diǎn)，即OE＝AE，而DE∥AM，∴DE=12AM，OD=∵S△AOM＝S△OBD＝6，即12AM?OM=12OD?BD∴AM?OD=12BD?∴BD＝2AM，∴DE=12AM=∴DE=13∵S△ODE=14S△AOM=1∴S△ABE＝3S△ODE＝3×32故選：A．9．C解析：連接AC，如圖，∵菱形ABCD中，AC與BD互相垂直平分，又∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∴A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，∴OA＝OC，∵OM＝2，AM⊥BC，∴OA＝OC＝OM＝2，∵BD＝8，∴OB＝OD=12BD＝∴BC=OB2+OC2=42∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠OBC＝90°，∴∠MAC＝∠OBC∴sin∠MAC＝sin∠OBC=OC∴MC＝ACsin∠MAC=4∴BM＝BC?MC＝25?45∴MN＝BMtan∠OBC=6故選：C．10．A解析：連接DG，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∠BDC＝∠BAC＝∠ADB＝45°，BDAB=2，∠BAD＝∠ADC＝90°，AC∴∠CDP＝90°，∵DF平分∠CDP，∴∠CDF=1∴∠BDF＝∠CDF+∠CDB＝90°，∠BHF＝90°＝∠BDF，∴點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，∴∠HFB＝∠HDB＝45°，∠DHF＝∠DBF，∴∠HBF＝180°﹣∠HFB﹣∠FHB＝45°，故①正確，∵AC垂直平分BD，∴BG＝DG，∴∠BDG＝∠DBG，∵∠BDF＝90°，∴∠BDG+∠GDF＝90°＝∠DBG+∠DFG，∴∠GDF＝∠DFG，∴DG＝FG，∴DG＝FG＝BG，∴點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)，故②正確，∵∠BHF＝90°＝∠BAH，∴∠AHB+∠DHF＝90°＝∠AHB+∠ABH，∴∠DHF＝∠ABH，∵∠DHF＝∠DBF，∴∠ABH＝∠DBF，又∵∠BAC＝∠DBC＝45°，∴△ABM∽△DBN，∴BNBM∴BN=2BM，故∴S△ABM若AH=12HD∴3AH＝AD，∴AHAD=1∵AD∥DC，∴△AHM∽△CBM，∴HMBM∵S△AHM∴S△ABM＝3S△AHM，∴S△ABM∴S△BND＝2S△ABM＝6S△AHM，故⑤錯(cuò)誤，如圖，③若點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，設(shè)AD＝2，即AB＝BC＝AD＝2，∴AH=1∴BH=A同理可證明△AHM∽△CBM，∴HMBM=AHBC=∵BN=2∴BN=2∵BC＝2，在Rt△BNC中，NC=BN2-BC2=故選：A．二、填空題（每小題3分，共30分）11．1.3908×101212．x≥313．（示例）AC＝BD14．315．-12≤16．6517．9018．2解析：作AC的中點(diǎn)Q．連結(jié)PQ，作以Q為圓心PQ為半徑的圓．∵P是CD的中點(diǎn)，Q是AC的中點(diǎn)，∴PQ是△ACD的中位線，∴PQ=12AD∴線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P在以Q為圓心PQ為半徑的圓上移動(dòng)，∴當(dāng)BP經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q時(shí)BP的值最大．∵BC＝2，tan∠BAC=1∴AC＝4，∴AQ＝CQ＝2．∵BQ2＝BC2+CQ2＝8，∴BQ＝22（負(fù)數(shù)不合題意舍去）．∴BP的最大值為22+故答案為：22+19．52、72解析：①點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在矩形對(duì)角線BD上，如圖，∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，由折疊性質(zhì)可知BB'⊥AP，∴∠BAP+∠BPA＝∠BPA+∠CBD，∴∠BAP＝∠CBD，∴tan∠BAP＝tan∠CBD=CD∴BP＝ABtan∠BAP＝6×3∴PC＝BC﹣BP＝8-9②點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′落在矩形對(duì)角線AC上，如圖∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝90°，∴AC=AB∴cos∠ACB=BC由折疊性質(zhì)可知：∠ABP＝∠AB'P＝90°，AB＝AB'＝3，∴B′C＝AC﹣AB'＝5﹣3＝2，∴PC=B'Ccos∠ACB=③點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′落在矩形對(duì)角線CA延長(zhǎng)線上，如圖，在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝90°，∴AC＝√AB2∴cos∠ACB=BC由折疊性質(zhì)可知：∠ABP＝∠AB'P＝90°，AB＝AB'＝3，∴B′C＝AC+AB'＝5+3＝8，∴PC=B'Ccos∠ACB=8綜上所述：52、72或故答案為：52、72或20．（1，3）解析：由題知，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（3-3點(diǎn)A4的坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)A5的坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)A6的坐標(biāo)為（52點(diǎn)A7的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)A8的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)A9的坐標(biāo)為（32點(diǎn)A10的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)A11的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)A12的坐標(biāo)為（12點(diǎn)A13的坐標(biāo)為（2，0），…，由此可見(jiàn)，點(diǎn)An的坐標(biāo)每12個(gè)循環(huán)一次，因?yàn)?024÷12＝168余8，所以點(diǎn)A2024的坐標(biāo)為（1，3）．故答案為：（1，3）．三、解答題（滿分60分）21．（5分）解：原式==m-1＝1﹣m，當(dāng)m＝cos60°=1原式＝1-122．（6分）解：（1）△A1B1C1如圖所示，B1的坐標(biāo)為（2，3）；（2）△AB2C2如圖所示，B2的坐標(biāo)為（﹣3，0）；（3）∵AB=12+22=∴點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B2的過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為：90π?523．（6分）解：（1）將B（1，0），C（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中，-1+b+c=0c=3解得：b=-2c=3∴拋物線y＝﹣x2﹣2x+3．（2）令y＝0，則0＝﹣x2﹣2x+3，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），∴OA＝3，∵C（0，3），∴OC＝3，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)P（x，﹣x2﹣2x+3），且在第二象限內(nèi)，∴OE＝﹣x，AE＝3+x，∴S△APC＝S△APE+S梯形PCOE﹣S△AOC=12×AE×PE+12（OC+PE）×=12×（3+x）（﹣x2﹣2x+3）+12（3﹣x2﹣2x+3）（﹣x=-32（x+3∵-32∴S有最大值，∴當(dāng)x=-32時(shí)，S有最大值，最大值為此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-32，24．（7分）解：（1）由題意可得，3÷6%＝50，m＝50﹣3﹣20﹣14﹣5＝8，扇形統(tǒng)計(jì)圖中C組所在的百分比=2050∴n＝40，故答案為：50，40；（2）被抽取的50名學(xué)生立定跳遠(yuǎn)成績(jī)按從小到大的順序排列第25個(gè)和第26個(gè)的平均數(shù)，3+8＜25，3+8+20＝31＞25被抽取的50名學(xué)生這一天的體育活動(dòng)時(shí)間數(shù)據(jù)的中位數(shù)在C組；（3）600×14+550答：估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績(jī)合格的男生有228人．25．（8分）解：（1）甲貨車(chē)到達(dá)配貨站之前的速度是105÷3.5＝30（km/h）；乙貨車(chē)的速度是（225﹣105）×2÷6＝40（km/h）．故答案為：30，40．（2）∵3.5+0.5＝4（h），6﹣0.5＝5.5（h），∴點(diǎn)E（4，105），F(xiàn)（5.5，225）．設(shè)線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）．將坐標(biāo)E（4，105）和F（5.5，225）分別代入y＝kx+b，得4k+b=1055.5k+b=225解得k=80b=-215∴甲貨車(chē)在配貨站卸貨后駛往B地的過(guò)程中，甲貨車(chē)距A地的距離y與行駛時(shí)間x之間的函數(shù)解析式為y＝80x﹣215（4≤x≤5.5）．（3）線段CM對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝225﹣40x＝﹣40x+225（0≤x≤3），線段MN對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝105+40（x﹣3）＝40x﹣15（3＜x≤6），線段OD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝30x（0≤x≤3.5）．當(dāng)0≤x≤3時(shí)，甲貨車(chē)離配貨站的距離為（105﹣30x）km，乙貨車(chē)離配貨站的距離為﹣40x+225﹣105＝（﹣40x+120）km，根據(jù)“甲、乙兩貨車(chē)與配貨站的距離相等”，得105﹣30x＝﹣40x+120，解得x=3當(dāng)3＜x≤3.5時(shí)，甲貨車(chē)離配貨站的距離為（105﹣30x）km，乙貨車(chē)離配貨站的距離為40x﹣15﹣105＝（40x﹣120）km，根據(jù)“甲、乙兩貨車(chē)與配貨站的距離相等”，得105﹣30x＝40x﹣120，解得x=45當(dāng)乙貨車(chē)返回B地過(guò)程中與甲貨車(chē)相遇時(shí)，兩車(chē)與配貨站的距離相等，根據(jù)“相遇時(shí)兩車(chē)與A地距離相等”，80x﹣215＝40x﹣15，解得x＝5；∴出發(fā)32h或4514h或526．（8分）解：圖②的結(jié)論是BM2+NC2+BM?NC＝MN2．證明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在△ABC外作∠ABK＝60°，在BK上截取BQ＝CN，連接QA、QM，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H，∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，∴△ACN≌△ABQ（SAS），∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，又∵∠CAN+∠BAM＝30°，∴∠BAM+∠QAB＝30°，即∠QAM＝∠MAN，又∵AM＝AM，∴△AQM≌△ANM（SAS），∴MN＝QM；∵ABQ＝60°，∠ABC＝60°，∴∠QBH＝60°，∴∠BQH＝30°，∴BH=12BQ，QH=∴HM＝BM+BH＝BM+12在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（32BQ）2+（BM+12BQ）2＝整理得BM2+BQ2+BM?BQ＝QM2．∴BM2+NC2+BM?NC＝MN2．圖③的結(jié)論是：BM2+NC2﹣BM?NC＝MN2．證明：以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在△ABC外作∠ABK＝30°，在BK上截取BQ＝CN，連接QA、QM，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H，∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，∴△ACN≌△ABQ（SAS），∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，又∵∠CAN+∠BAM＝60°，∴∠BAM+∠QAB＝60°，即∠QAM＝∠MAN，又∵AM＝AM，∴△AQM≌△ANM（SAS），∴MN＝QM，在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，∠BQH＝30°，∴BH=12BQ，QH=HM＝BM﹣BH＝BM-12在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（32BQ）2+（BM-12BQ）2＝整理得BM2+BQ2﹣BM?BQ＝QM2．∴BM2+NC2﹣BM?NC＝MN2．27．（10分）解：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)一個(gè)甲種品牌毽子需要x元，一個(gè)乙種品牌毽子需要y元，根據(jù)題意得：10x+5y=20015x+10y=325解得：x=15y=10答：購(gòu)買(mǎi)一個(gè)甲種品牌毽子需要15元，一個(gè)乙種品牌毽子需要10元；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)m個(gè)甲種品牌毽子，則購(gòu)買(mǎi)1000-15m10=（100-根據(jù)題意得：m≥5(100-3解得：100017≤m≤又∵m，（100-32∴m可以為60，62，64，∴學(xué)校共有3種購(gòu)買(mǎi)方案，方案1：購(gòu)買(mǎi)60個(gè)甲種品牌毽子，10個(gè)乙種品牌毽子；方案2：購(gòu)買(mǎi)62個(gè)甲種品牌毽子，7個(gè)乙種品牌毽子；方案3：購(gòu)買(mǎi)64個(gè)甲種品牌毽子，4個(gè)乙種品牌毽子；（3）學(xué)校選擇方案1商家可獲得的總利潤(rùn)為5×60+4×10＝340（元）；學(xué)校選擇方案2商家可獲得的總利潤(rùn)為5×62+4×7＝338（元）；學(xué)校選擇方案3商家可獲得的總利潤(rùn)為5×64+4×4＝336（元）．∵340＞338＞336，∴在（2）的條件下，學(xué)校購(gòu)買(mǎi)60個(gè)