第八章 第8講 直線與圓錐曲線的位置關系

命題點五年考情命題分析預測直線與圓錐曲線的

位置關系2023新高考卷ⅡT5；2022新高考卷

ⅡT10；2022全國卷甲T15；2020新高考

卷ⅡT21本講每年必考，命

題熱點為直線與圓

錐曲線相交的弦

長、中點弦問題，

以及直線與圓錐曲

線的綜合應用，常

與向量、圓等知識

綜合命題，難度中

等偏上.弦長及中點弦問題2023全國卷乙T11；2023全國卷甲T20；

2023天津T12；2022新高考卷ⅠT16；

2022新高考卷ⅡT16；2020新高考卷

ⅠT13；2020全國卷ⅡT19；2019全國卷

ⅠT19切線及切點弦問題2021全國卷乙T21命題點五年考情命題分析預測直線與

圓錐曲

線的綜

合應用2023新高考卷ⅡT10；2023新高考卷ⅡT21；2023

全國卷乙T20；2023北京T19；2022新高考卷

ⅠT11；2022新高考卷ⅠT21；2022新高考卷

ⅡT21；2022全國卷乙T20；2022全國卷甲T20；

2021新高考卷ⅠT21；2021新高考卷ⅡT20；2020

新高考卷ⅠT22；2020全國卷ⅠT20；2019全國卷

ⅡT21；2019全國卷ⅢT21在2025年高考備考時應

重視和直線與圓錐曲線

的位置關系相關的典型

題型的研究，注意培養(yǎng)

數(shù)學運算素養(yǎng).在解題

時，要充分利用數(shù)形結

合、轉化與化歸等思

想.

1.直線與圓錐曲線位置關系的判斷將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消去

y

(或

x

)，得到關于

x

(或

y

)的一元二次方

程，設其判別式為Δ，則①

?有兩個交點

?相交；Δ＝0?有一個交點?相

切；②

?無交點?相離.注意

直線與雙曲線方程聯(lián)立消元后，得出的方程中二次項系數(shù)為零時，直線與雙

曲線漸近線平行，兩者有且只有一個交點；二次項系數(shù)不為零時，利用判別式進行

判斷.Δ＞0

Δ＜0

2.弦長與中點弦(1)弦長公式

(2)中點弦

3.切線與切點弦所在直線的方程圓錐曲線的方程y2＝2px(p＞0)過曲線上一點P(x0，y0)的切線方程y0y＝p(x0＋x)過曲線外一點P(x0，y0)所引兩條切線的切點弦所在直線的方程y0y＝p(x0＋x)

A.相交B.相切C.相離D.無法判斷

A1234

A.8，6B.4，3

B12343.已知直線

l

：

y

＝

x

－1與拋物線

y

2＝4

x

交于

A

，

B

兩點，則線段

AB

的長是

(

C

)A.2B.4C.8D.16

C1234

D1234

C訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

2(答案不唯一)

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7方法技巧(1)直線與橢圓的位置關系問題可直接轉化為直線與橢圓的交點個數(shù)問題.(2)直線與雙曲線只有一個交點，則直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.(3)直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線相切或直線與拋物線的對稱軸平行

(或重合).(4)對于過定點的直線，可以根據定點與圓錐曲線的位置關系判斷直線與圓錐曲線的

位置關系，注意數(shù)形結合的應用.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7訓練1

(1)[2023天津高考]過原點

O

的一條直線與圓

C

：(

x

＋2)2＋

y

2＝3相切，交曲線

y

2＝2

px

(

p

＞0)于點

P

，若｜

OP

｜＝8，則

p

的值為

?.

6

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7命題點2

弦長及中點弦問題角度1

弦長問題

13

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7例3

[2023成都市模擬]已知拋物線

C

：

y

2＝2

px

(

p

＞0，

p

≠4)，過點

A

(2，0)且斜率

為

k

的直線與拋物線

C

相交于

P

，

Q

兩點.(1)設點

B

在

x

軸上，分別記直線

PB

，

QB

的斜率為

k

1，

k

2，若

k

1＋

k

2＝0，求點

B

的坐標；

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7方法技巧(1)使用弦長公式時注意對直線斜率的討論.(2)直線經過特殊點(如焦點、原點等)或斜率特殊時，利用圓錐曲線的定義或數(shù)形結

合來求弦長.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7角度2

中點弦問題

A.(1，1)B.(－1，2)C.(1，3)D.(－1，－4)

D訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7方法技巧點差法解決中點弦問題的步驟(1)設弦的兩個端點：

A

(

x

1，

y

1)，

B

(

x

2，

y

2)；(2)將兩點坐標分別代入圓錐曲線方程中并兩式作差，得到關于直線

AB

的斜率和線

段

AB

的中點坐標的關系式；(3)將已知條件代入關系式并化簡求解.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7訓練2

(1)已知

F

為拋物線

C

：

y

2＝4

x

的焦點，過

F

作兩條互相垂直的直線

l

1，

l

2，

直線

l

1與

C

交于

A

，

B

兩點，直線

l

2與

C

交于

D

，

E

兩點，則｜

AB

｜＋｜

DE

｜的

最小值為(

A

)A.16B.14C.12D.10A訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7方法技巧(1)曲線的切線方程可以利用判別式求解，也可以利用導數(shù)的幾何意義求解.(2)“代一半，留一半”是曲線的切線方程與切點弦所在直線方程相關結論的記

憶口訣.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7訓練3

[2023山西運城模擬]過點

P

作拋物線

C

：

x

2＝4

y

的切線

l

1，

l

2，切點分別為

M

，

N

，若△

PMN

的重心坐標為(3，4)，則

P

點坐標為(

A

)A.(3，－3)B.(1，2)C.(2，1)D.(－3，3)A訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7(2)設

P

為第一象限內

E

上的動點，直線

PD

與直線

BC

交于點

M

，直線

PA

與直線

y

＝－2交于點

N

，求證：

MN

∥

CD

.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7方法技巧(1)解答直線與圓錐曲線相交的題目時，常用到“設而不求”的方法，即聯(lián)立直線和

圓錐曲線的方程，消去

y

(或

x

)得一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合

題設條件，建立有關參變量的等量關系求解；(2)涉及直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊

情形.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

(1)求

C

的方程；

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

A.(3，7)B.[3，7]C.(1，9)D.[1，9]

B訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7解法二由“蒙日圓”定理可得，點

P

的軌跡方程為

C

1：

x

2＋

y

2＝4，所以要使圓

C

2：(

x

－3)2＋(

y

－4)2＝

r

2(

r

＞0)上總存在點

P

滿足題意，則圓

C

1與

C

2有交點，所

以｜2－

r

｜≤｜

C

1

C

2｜≤2＋

r

，又｜

C

1

C

2｜＝5，所以3≤

r

≤7，故選B.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

性質1：

PA

⊥

PB

.

性質2：(1)

C

，

O

，

D

三點共線；(2)

CD

∥

AB

；

性質3：

PO

平分橢圓的切點弦

AB

.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5訓練4例6訓練5例7

C123456

A.1條B.2條C.3條D.4條C123456

123456

A.kAB·kOM＝－1B.若M(1，1)，則直線l的方程為2x＋y－3＝0BD123456

123456

1234564.

[命題點3/多選/2023重慶市調研質量抽測]設

O

為坐標原點，

F

為拋物線

C

：

x

2＝2

py

(

p

＞0)的焦點，過焦點

F

且傾斜角為θ的直線

l

與拋物線

C

交于

M

，

N

兩點(點

M

在第二象限)，當θ＝30°時，｜

MF

｜＝2，則下列說法正確的是(

ABD

)A.p＝3C.存在直線l，使得∠OMF＋∠ONF＞90°D.分別過點M，N且與拋物線相切的兩條直線互相垂直ABD123456

123456

123456

123456

123456

123456

(1)求橢圓的方程和離心率

e

；

123456

(2)已知點

P

是橢圓上一動點(不與端點重合)，直線

A

2

P

交

y

軸于點

Q

，若三角形

A

1

PQ

的面積是三角形

A

2

FP

的面積的二倍，求直線

A

2

P

的方程.123456

123456

A.±1A1234567891011121314

1234567891011121314

A.(2，＋∞)B.(1，2]C.(1，2)D.[2，＋∞)

A1234567891011121314

12345678910111213143.[2024南昌市模擬]已知拋物線

C

：

x

2＝4

y

的焦點為

F

，

P

是拋物線

C

在第一象限

內的一點，過點

P

作

C

的準線的垂線，垂足為

M

，

FM

的中點為

N

，若直線

PN

經過

點(0，－3)，則直線

PN

的斜率為(

C

)A.1B.2D.3

C1234567891011121314

12345678910111213144.[多選/2024牡丹江月考]已知直線

l

：

x

＝

ty

＋2與拋物線

C

：

y

2＝8

x

交于

A

，

B

兩

點，若線段

AB

的中點是

M

(

m

，2)，則(

AB

)B.m＝3C.｜AB｜＝8D.點(－2，2)在以AB為直徑的圓內AB1234567891011121314

1234567891011121314

A.直線AB與OM垂直B.若點M坐標為(1，1)，則直線方程為2x＋y－3＝0BD1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

(1)求橢圓

C

的標準方程；

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314(2)若

b

＝1，過點

F

作與直線

AB

平行的直線

l

，

l

與

C

交于

P

，

Q

兩點，求直線

OP

的斜率與直線

OQ

的斜率的乘積.

1234567891011121314

B.2B1234567891011121314

123456789101112131410.[多選]在平面直角坐標系

xOy

中，點

A

(－1，0)在拋物線

C

：

y

2＝2

px

(

p

＞0)的

準線上，過拋物線

C

的焦點

F

作直線

l

交

C

于

P

，

Q

兩點，點

B

(2，0)，則下列結論

正確的是(

BCD

)C.∠PAB＝∠QABD.∠OPB＋∠OQB＜180°BCD1234567891011121314[解析]由題可知，拋物線

C

的準線方程為

x

＝－1，所以

p

＝2，則

F

(1，0)，拋物

線

C

：

y

2＝4

x

.設

P

(

x

1，

y

1)，

Q

(

x

2，

y

2)，直線

l

的方程為

x

＝

ty

＋1，(巧設直線方

程，可避免分類討論，也可以將