第6講　函數(shù)的圖象

第6講函數(shù)的圖象課標要求命題點五年考情命題分析預(yù)測在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇圖象法、列表法、解析式法表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.作函數(shù)的圖象本講是高考的一個熱點，主要考查函數(shù)圖象的識別和應(yīng)用，題型以選擇題為主，中檔難度.在2025年高考備考過程中要掌握數(shù)形結(jié)合思想，并能靈活應(yīng)用.函數(shù)圖象的識別2023天津T4；2022全國卷乙T8；2022全國卷甲T5；2019全國卷ⅠT5；2019全國卷ⅢT7函數(shù)圖象的應(yīng)用2020北京T6學(xué)生用書P0391.利用描點法作函數(shù)的圖象2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象平移變換y＝f（x）的圖象y＝f（x＋a）的圖象.y＝f（x）的圖象y＝①f（x－a）的圖象.y＝f（x）的圖象y＝f（x）＋h的圖象.y＝f（x）的圖象y＝②f（x）－h(huán)的圖象.對稱變換y＝f（x）的圖象y＝－f（x）的圖象.y＝f（x）的圖象y＝③f（－x）的圖象.y＝f（x）的圖象y＝f（x）的反函數(shù)的圖象.y＝f（x）的圖象y＝④－f（－x）的圖象.翻折變換y＝f（x）的圖象y＝｜f（x）｜的圖象.y＝f（x）的圖象y＝⑤f（｜x｜）的圖象.伸縮變換y＝f（x）的圖象y＝f（ax）的圖象.y＝f（x）的圖象y＝⑥Af（x）的圖象.注意（1）平移變換，基本原則是“左加右減”“上加下減”.“左加右減”只針對x本身，若x的系數(shù)不是1，需先將系數(shù)變?yōu)?后，再進行變換.（2）對稱變換的對稱是指兩個函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，而與奇偶性有關(guān)的對稱，是指一個函數(shù)圖象自身的特征.常用結(jié)論1.函數(shù)圖象自身的對稱性（1）若函數(shù)y＝f（x）的定義域為R，且有f（a＋x）＝f（b－x），則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a＋b2對稱.特別地，若f（a＋x）＝f（a－x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝（2）若函數(shù)y＝f（x）的定義域為R，且有f（a＋kx）＝f（b－kx）（k≠0），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a＋b2對稱，函數(shù)f（kx）的圖象關(guān)于直線x＝（3）函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）中心對稱?f（a＋x）＝2b－f（a－x）?f（x）＝2b－f（2a－x）.特別地，若f（a＋x）＝－f（a－x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，0）中心對稱.2.兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系（1）函數(shù)y＝f（a＋x）與y＝f（b－x）的圖象關(guān)于直線x＝b－a2對稱（由a＋x＝b－（2）函數(shù)y＝f（x）與y＝2b－f（2a－x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱.1.下列說法正確的是（D）A.函數(shù)y＝f（1－x）的圖象可由y＝f（－x）的圖象向左平移1個單位長度得到B.函數(shù)y＝f（x）與y＝－f（x）的圖象關(guān)于原點對稱C.當x∈（0，＋∞）時，函數(shù)y＝f（｜x｜）的圖象與y＝｜f（x）｜的圖象相同D.若函數(shù)y＝f（x）滿足f（1＋x）＝f（1－x），則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱解析y＝f（1－x）可由y＝f（－x）的圖象向右平移1個單位長度得到，A錯誤；y＝f（x）與y＝－f（x）的圖象關(guān)于x軸對稱，B錯誤.令f（x）＝－x，當x∈（0，＋∞）時，y＝｜f（x）｜＝x，y＝f（｜x｜）＝－x，兩者圖象不同，C錯誤.易知D正確.2.函數(shù)y＝x2，x<0，xA B C D解析x＜0時，圖象單調(diào)遞減，x≥0時，圖象單調(diào)遞增，且函數(shù)圖象過點（0，－1），易知C正確.3.[全國卷Ⅲ]下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝lnx的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的是（B）A.y＝ln（1－x） B.y＝ln（2－x） C.y＝ln（1＋x） D.y＝ln（2＋x）解析設(shè)f（x）＝lnx，易知函數(shù)f（2－x）與f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，f（2－x）＝ln（2－x），故選B.4.[2024北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)模擬]要得到函數(shù)y＝xx－1的圖象，只需將函數(shù)y＝1x的圖象（A.向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度B.向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度C.向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度D.向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度解析y＝xx－1＝x－1+1x－1＝1＋1x－1，故將y＝1x5.[2024江西省部分學(xué)校聯(lián)考]將二次函數(shù)y＝3（x＋1）2－2的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，則a＋b＋c＝2.解析由題意可得ax2＋bx＋c＝3（x－2＋1）2－2＋4＝3x2－6x＋5，所以a＝3，b＝－6，c＝5，則a＋b＋c＝2.學(xué)生用書P041命題點1作函數(shù)的圖象例1分別畫出下列函數(shù)的圖象：（1）y＝2x＋1－1；（2）y＝｜lg（x－1）｜；（3）y＝x2－｜x｜－2.解析（1）將y＝2x的圖象向左平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝2x＋1的圖象，再將所得圖象向下平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝2x＋1－1的圖象，如圖1所示. 圖1 圖2（2）首先作出y＝lgx的圖象，然后將其向右平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝lg（x－1）的圖象，再把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得y＝｜lg（x－1）｜的圖象，如圖2所示（實線部分）.（3）y＝x2－｜x｜－2＝x2－方法技巧作函數(shù)的圖象的策略（1）熟練掌握幾種基本初等函數(shù)的圖象.（2）若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱和伸縮得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序.訓(xùn)練1分別畫出下列函數(shù)的圖象：（1）y＝（12）｜x｜；（2）y＝2解析（1）先作出y＝（12）x的圖象，再去掉y軸左側(cè)圖象，并將y軸右側(cè)圖象翻折到y(tǒng)軸左側(cè)，y軸上及右側(cè)圖象不變，即得y＝（12）｜x｜的圖象，如圖中實線部分所示.（2）y＝2x+1x+1＝2－1x+1的圖象可由y＝－1命題點2函數(shù)圖象的識別角度1知式選圖或知圖選式例2（1）[2022全國卷甲]函數(shù)y＝（3x－3－x）·cosx在區(qū)間[－π2，π2]的圖象大致為（A A B C D解析解法一（特值法）取x＝1，則y＝（3－13）cos1＝83cos1＞0；取x＝－1，則y＝（13－3）cos（－1）＝－83cos1解法二令y＝f（x），則f（－x）＝（3－x－3x）cos（－x）＝－（3x－3－x）cosx＝－f（x），所以函數(shù)y＝（3x－3－x）cosx是奇函數(shù)，且當x∈（0，π2）時，3x－3－x＞0cosx＞0，故f（x）＞0，故選A.（2）[2022全國卷乙]如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間[－3，3]的大致圖象，則該函數(shù)是（A）A.y＝－x3+3xx2+1C.y＝2xcosxx2+1解析對于選項B，當x＝1時，y＝0，與圖象不符，故排除B；對于選項D，當x＝3時，y＝15sin3＞0，與圖象不符，故排除D；對于選項C，當x＞0時，y＝2xcosxx2+1＝2cosxx＋1x，因為x＋1x≥2，當x＝1時取等號，所以y≤方法技巧識別函數(shù)圖象的主要方法有：（1）利用函數(shù)的定義與性質(zhì)，如定義域、奇偶性、單調(diào)性等判斷；（2）利用函數(shù)的零點、極值點等判斷；（3）利用特殊函數(shù)值判斷.角度2借助動點探究函數(shù)圖象例3如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點.點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x.將動點P到A，B兩點的距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則y＝f（x）的圖象大致為（B）A BC D解析由題易知f（0）＝2，f（π4）＝1＋5，f（π2）＝22＜f（π4），可排除選項C，D；當點P在邊BC上時，f（x）＝BP＋AP＝tanx＋4+tan2x（0≤x≤π4方法技巧借助動點探究函數(shù)圖象的兩種方法（1）定量計算法：根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象.（2）定性分析法：采用“以靜觀動”，即判斷動點處于不同位置時圖象的變化特征，從而作出選擇.訓(xùn)練2（1）[2024重慶七校聯(lián)考]函數(shù)f（x）＝ex－1ex+1·cos（π2解析因為f（x）＝ex－1ex+1·cos（π2＋x）＝1－exex+1sin（－x）＝－ex（1－e－x）ex（e－x+1）·sinx＝1－exex+1·sinx＝f（x），所以f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除B，D；當0＜x＜π時，1－exe（2）如圖，不規(guī)則四邊形ABCD中，AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線l⊥AB于E，當l從左至右平行移動（與線段AB有公共點）時，l把四邊形ABCD分成兩部分.設(shè)AE＝x，l左側(cè)的面積為y，則y關(guān)于x的圖象大致是（C）解析當l從左至右移動時，一開始l左側(cè)面積的增加速度越來越快，過了D點后l左側(cè)面積保持勻速增加，圖象呈直線變化，過了C點后l左側(cè)面積的增加速度又逐漸減慢.故選C.命題點3函數(shù)圖象的應(yīng)用角度1研究函數(shù)性質(zhì)例4已知函數(shù)f（x）＝x｜x｜－2x，則下列結(jié)論正確的是（C）A.f（x）是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是（0，＋∞）B.f（x）是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是（－∞，1）C.f（x）是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是（－1，1）D.f（x）是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是（－∞，0）解析由題意得f（x）＝x2－2x，x≥0，－f（x）為奇函數(shù)，且在（－1，1）上單調(diào)遞減.故選C.角度2解不等式（或方程）例5（1）[北京高考]已知函數(shù)f（x）＝2x－x－1，則不等式f（x）＞0的解集是（D）A.（－1，1） B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）C.（0，1） D.（－∞，0）∪（1，＋∞）解析函數(shù)f（x）＝2x－x－1，則不等式f（x）＞0的解集即2x＞x＋1的解集，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y＝2x，y＝x＋1的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象易得2x＞x＋1的解集為（－∞，0）∪（1，＋∞）.故選D.（2）設(shè)f（x）＝｜lg（x－1）｜，若1＜a＜b且f（a）＝f（b），則ab的取值范圍是（4，＋∞）.解析畫出函數(shù)f（x）＝｜lg（x－1）｜的圖象，如圖所示.由1＜a＜b且f（a）＝f（b）可得－lg（a－1）＝lg（b－1），解得ab＝a＋b＞2ab（由于a＜b，故取不到等號），所以ab＞4.角度3求參數(shù)范圍例6[2024福建三明第一中學(xué)模擬]已知函數(shù)f（x）＝sinπx，0≤x≤1，log2024x，x>1，若實數(shù)a，b，c互不相等，且f（a）＝A.（2，2025） B.（2，2025]C.（2，2024） D.（2，2024]解析函數(shù)f（x）＝sinπ不妨令a＜b＜c，由f（a）＝f（b）＝f（c）及正弦曲線的對稱性可知a＋b＝1，1＜c＜2024，所以2＜a＋b＋c＜2025.故選A.方法技巧函數(shù)圖象的應(yīng)用，實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.（1）研究函數(shù)的性質(zhì)可借助函數(shù)圖象的對稱性、走向趨勢、最高點、最低點等進行分析；（2）不等式問題可轉(zhuǎn)化為圖象的上下位置關(guān)系問題；（3）函數(shù)零點或方程根的問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題.訓(xùn)練3（1）把函數(shù)f（x）＝ln｜x－a｜的圖象向左平移2個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，則a的最大值為（B）A.1 B.2 C.3 D.4解析把函數(shù)f（x）＝ln｜x－a｜的圖象向左平移2個單位長度，得到函數(shù)g（x）＝ln｜x＋2－a｜的圖象，則函數(shù)g（x）在（a－2，＋∞）上單調(diào)遞增，又因為所得函數(shù)在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以a－2≤0，即a≤2，所以a的最大值為2.（2）已知函數(shù)f（x）＝（12）x，x≥1，log4（A.（－∞，0] B.（－1，0]C.（－1，0]∪[1，＋∞） D.[1，＋∞）解析作出函數(shù)y＝f（x）與y＝12x的圖象，如圖結(jié)合圖象知不等式f（x）≤12x的解集為（－1，0]∪[1，＋∞），故選（3）已知函數(shù)f（x）＝2x－x，x≤0，log2x－x，x>0，若方程f解析方程f（x）＝－2x＋a有兩個不同的實數(shù)根，即方程f（x）＋x＝－x＋a有兩個不同的根，等價于函數(shù)y＝f（x）＋x與函數(shù)y＝－x＋a的圖象有兩個不同的交點.因為f（x）＝2所以y＝f（x）＋x＝2x作出函數(shù)y＝f（x）＋x與y＝－x＋a的大致圖象，如圖所示.數(shù)形結(jié)合可知，當a≤1時，兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，即方程f（x）＝－2x＋a有兩個不同的實數(shù)根.1.[命題點2角度1/全國卷Ⅰ]函數(shù)f（x）＝sinx＋xcosx＋x2在[－π A B C D解析易知函數(shù)f（x）的定義域為R.因為f（－x）＝sin（－x）－xcos（－x）＋（－x）2＝－sin因為f（1）＝sin1+1cos1+1，且sin1＞cos1，所以f（1）＞1，排除B，C.故選2.[命題點2角度1]從某個商標中抽象出一個如圖所示的圖象，其對應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（C）A.f（x）＝sin6xB.f（x）＝cos6C.f（x）＝cos6D.f（x）＝sin6解析因為函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，所以此函數(shù)為偶函數(shù).四個選項中的函數(shù)的定義域均為（－∞，0）∪（0，＋∞）.對于A，f（－x）＝sin（－6x）2f（x），f（x）是偶函數(shù)，當x＞0時，令f（x）＝0，則sin6x＝0，得x＝kπ6（k∈N*），則當x＞0時，函數(shù)的第一個零點為x＝π6，當0＜x＜π6時，sin6x＞0，2－x－2x＜0，f（x）＜0對于B，f（－x）＝cos（－6x）2－x－2x＝cos6x－（2x對于C，f（－x）＝cos（－6x）｜2－x－2x｜＝cos6xf（x）＝0，則cos6x＝0，得x＝π12＋kπ6（k∈N），所以當x＞0時，函數(shù)的第一個零點為x＝π12，當0＜x＜π12時，cos6x＞0，｜2x－2－x｜＞0，f（x對于D，f（－x）＝sin（－6x）｜2－x－2x｜＝－sin6x｜23.[命題點2角度2/2024北京市育英學(xué)校模擬]點P從點A出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，A，P兩點間的距離y關(guān)于點P所走的路程x的函數(shù)圖象如圖所示，那么點P所走的圖形是（C） A B C D解析觀察題圖，可以發(fā)現(xiàn)兩個顯著特點：①點P所走的路程為圖形周長的一半時，A，P兩點間的距離y最大；②y關(guān)于x的函數(shù)圖象是曲線.設(shè)點M是點P所走的路程為圖形周長的一半時所對應(yīng)的點，如圖所示，在圖1和圖4中，易知｜AM｜＜｜AP｜max，均不符合特點①，所以排除選項A，D.在圖2中，當點P在線段AB上運動時，y＝x，其圖象是一條線段，不符合特點②，因此排除選項B.故選C.4.[命題點3角度3/2024山東省德州市模擬]已知函數(shù)f（x）＝2x－1+1，x≤2，｜log2（x－2)|,x>2，若關(guān)于x的方程[f（x）]2－（aA.? B.[－1，0）C.（－2，0） D.（－2，－1）解析作出函數(shù)f（x）的大致圖象如圖，由函數(shù)圖象可知，要使關(guān)于x的方程[f（x）]2－（a＋3）f（x）－a＝0有6個不同的實數(shù)根，設(shè)f（x）＝t，則關(guān)于t的方程t2－（a＋3）t－a＝0在（1，3]有兩個不同的實數(shù)根，因此Δ＝[－（a+3）]5.[命題點3/多選]已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）＝2｜x－1｜A.函數(shù)f（x）在（－6，－5）上單調(diào)遞增B.函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝x有且僅有2個不同的交點C.若關(guān)于x的方程[f（x）]2－（a＋1）f（x）＋a＝0（a∈R）恰有4個不相等的實數(shù)根，則這4個實數(shù)根之和為8D.記函數(shù)f（x）在[2k－1，2k]（k∈N*）上的最大值為ak，則數(shù)列{ak}的前7項和為127解析若2＜x≤4，則0＜x－2≤2，f（x）＝12f（x－2）＝12（2｜x－3｜－1），若4＜x≤6，則2＜x－2≤4，f（x）＝12f（x－2）＝14（2｜x－5｜作出f（x）的部分圖象如圖所示.對于A，由圖可知，f（x）在區(qū)間（5，6）上單調(diào)遞增，因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（－6，－5）上單調(diào)遞增，故A正確.對于B，由圖可知，f（x）在（0，＋∞）上的圖象與直線y＝x有1個交點，結(jié)合f（x）為定義在R上的奇函數(shù)可知，f（x）在（－∞，0）上的圖象與直線y＝x有1個交點，且f（0）＝0，所以f（x）的圖象與直線y＝x有3個不同的交點，故B錯誤.對于C，由[f（x）]2－（a＋1）f（x）＋a＝0（a∈R），得[f（x）－1][f（x）－a]＝0，因為原方程恰有4個不相等的實數(shù)根，且方程f（x）－1＝0有唯一實數(shù)根x1＝2，所以方程f（x）－a＝0應(yīng)有3個不同的實數(shù)根（從小到大依次記為x2，x3，x4），結(jié)合圖象及f（x）為奇函數(shù)可知，a＝12或a＝－12.當a＝12時，x2＋x3＝2，x4＝4，此時4個實數(shù)根的和為8；當a＝－12時，x2＝－4，x3＋x4＝－2，此時4個實數(shù)根的和為－4對于D，函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值為f（2）＝1，即a1＝1，函數(shù)f（x）在[3，4]上的最大值為f（4）＝12，即a2＝12，…….由函數(shù)解析式及性質(zhì)可知，數(shù)列{ak}是首項為1，公比為12的等比數(shù)列，則其前7項和為S7＝1－（12）7學(xué)生用書·練習(xí)幫P2701.[2023武漢市模擬]函數(shù)f（x）＝sinxex＋e解析因為f（－x）＝sin（－x）e－x＋ex＝－sinxe－x＋ex＝－f（x），所以f（x）是奇函數(shù)，排除D；（速解：牢記y＝ax＋a－x（a＞0且a≠1）為偶函數(shù)，y＝ax－a－x為奇函數(shù).因為y＝sinx為奇函數(shù)，因為f（π）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上必有零點，排除C；因為當x∈（0，π）時，f（x）＞0，所以排除B.故選A.2.已知函數(shù)f（x）的圖象如圖1所示，則圖2所表示的函數(shù)是（C）圖1 圖2A.1－f（x） B.－f（2－x）C.f（－x）－1 D.1－f（－x）解析由題圖知，將f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱后再向下平移1個單位長度即得題圖2，故題圖2表示的函數(shù)為y＝f（－x）－1.3.已知函數(shù)f（x）＝ex－1－1，x≤1，log2 A B C D解析解法一令g（x）＝f（1－x）.由題意，得g（0）＝f（1－0）＝f（1）＝e0－1＝0，易知f（x）在R上單調(diào)遞增，所以y＝f（1－x）在R上單調(diào)遞減，故選B.解法二先作f（x）＝ex－1－1，x≤1，log2x4.[2023天津高考]函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式可能為（D）A.f（x）＝5（ex－e－x）C.f（x）＝5（ex+e－x）解析由題圖可知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù).因為y＝x2＋2是偶函數(shù)，y＝ex－e－x是奇函數(shù)，所以f（x）＝5（ex－e－x）x2+2是奇函數(shù)，故排除A；因為y＝x2＋1是偶函數(shù)，y＝sinx是奇函數(shù)，所以f（x）＝5sinxx2+1是奇函數(shù)，故排除B；因為x2＋2＞0，ex＋e－x＞05.[2024遼寧模擬]已知奇函數(shù)f（x）在x≥0時的圖象如圖所示，則不等式xf（x）＜0的解集為（A）A.（－2，－1）∪（1，2） B.（－2，－1）C.（－1，0）∪（1，2） D.（－1，0）解析∵xf（x）＜0，∴x和f（x）異號.由f（x）為奇函數(shù)，可得f（x）在R上的圖象如圖所示.由圖可得，當x∈（－2，－1）∪（0，1）∪（2，＋∞）時，f（x）＞0，當x∈（－∞，－2）∪（－1，0）∪（1，2）時，f（x）＜0，∴不等式xf（x）＜0的解集為（－2，－1）∪（1，2）.6.[2024陜西調(diào)研]若函數(shù)f（x）＝e－x－ln（x＋a）在（0，＋∞）上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是（D）A.（－1e，＋∞） B.（－e，＋∞C.（－∞，1e） D.（－∞，e解析由題意知，函數(shù)y＝e－x與g（x）＝ln（x＋a）的圖象在（0，＋∞）上有交點.當a＞0時，g（x）＝ln（x＋a）的圖象是由函數(shù)y＝lnx的圖象向左平移a個單位長度得到的，根據(jù)圖象（如圖）可知此時只需要g（0）＝lna＜1，即0＜a＜e；當a≤0時，g（x）＝ln（x＋a）的圖象是由函數(shù)y＝lnx的圖象向右平移－a個單位長度得到的，此時在（0，＋∞）上y＝e－x與g（x）的圖象恒有交點，滿足條件.綜上，a＜e，即實數(shù)a的取值范圍是（－∞，e）.故選D.7.[2024江西聯(lián)考]已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（2＋x）＝－f（－x），且曲線y＝f（x）與曲線y＝－1x－1有且只有兩個交點，則函數(shù)g（x）＝f（x）＋1x－A.2 B.－2 C.4 D.－4解析由f（2＋x）＝－f（－x），得f（x）的圖象關(guān)于點（1，0）中心對稱，函數(shù)y＝－1x－1的圖象是由y＝－1x的圖象向右平移一個單位長度得到的，故y＝－1x又曲線y＝f（x）與曲線y＝－1x－1有且只有兩個交點，則這兩個交點關(guān)于（1，0）對稱，故這兩個交點的橫坐標之和為2，而函數(shù)g（x）＝f（x）＋1x－1的零點即曲線y＝f（x）與曲線y＝－1x－1交點的橫坐標，故函數(shù)g（x）＝f8.[多選/2024山東日照模擬改編]下列結(jié)論正確的是（ABD）A.函數(shù)y＝sinx與y＝logπx的圖象只有一個交點B.函數(shù)y＝sinx與y＝（12）xC.函數(shù)y＝sinx與y＝x的圖象有三個交點D.函數(shù)y＝sinx與y＝tanx，x∈（－π2，π解析在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)y＝sinx，y＝logπx，y＝（12）x及y＝x由圖象可知，A，B正確，C錯誤.對于D，sinx＝tanx?sinx＝sinxcosx?sinx（1－1cosx）＝0，∵x∈（－π2，π2），∴x＝0，因此函數(shù)y＝sinx與y＝tanx，x∈（－9.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）＝x2－x.若f（a）＜4＋f（－a），則實數(shù)a的取值范圍是（－∞，2）.解析因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（－x）＝－f（x），所以f（a）＜4＋f（－a）可轉(zhuǎn)化為f（a）＜2，作出f（x）的圖象，如圖所示，由圖易知a＜2.10.設(shè)函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且f（x＋2）＝f（x）.當x∈[－1，0]時，f（x）＝x2，則函數(shù)f（x）與y＝｜lgx｜的圖象的交點個數(shù)為10.解析因為f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是周期為2的偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱.因為當x∈[－1，0]時，f（x）＝x2，所以當x∈[－1，1]時，f（x）＝x2.根據(jù)f（x）是周期為2的偶函數(shù)畫出f（x）的圖象如圖所示，同時畫出y＝｜lgx｜的圖象，根據(jù)圖象可知，兩個函數(shù)的圖象有10個交點.11.[2023吉林長春模擬]函數(shù)y＝f（x）（x∈R）的圖象如圖所示，則函數(shù)g（x）＝f（－lnx）的單調(diào)遞減區(qū)間是（D）A.（0，12） B.（12，C.（0，1e] D.[1e，解析因為t＝－lnx在x∈（0，＋∞）上單調(diào)遞減，所以g（x）＝f（－lnx）的單調(diào)遞減區(qū)間為y＝f（t）的單調(diào)遞增區(qū)間，由圖象可知y＝f（t）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，12]－lnx∈[0，12]，解得x∈[1e，1]12.[2024遼寧省沈陽市新民市高級中學(xué)模擬]嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊，還聚焦生態(tài)的發(fā)展.圖1是番禺區(qū)某風(fēng)景優(yōu)美的公園地圖，其形狀如一顆愛心.圖2是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在x軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（C）A.y＝｜x｜4－x2 B.yC.y＝－x2+2｜x｜解析由圖象可知，函數(shù)為偶函數(shù)，排除B，D.對于A，∵y＝｜x｜4－x2＝x2（4－x2）≤（x2+4－x22）2＝2（當且僅當x2＝4－x2，即x＝±2時取等號），∴y＝｜x｜4－x2在（－2，2）上的最大值為2，與圖象不符，A錯誤.對于C，∵y＝－x2+2｜x｜＝－(|x｜－1）2+1，∴當x＝±1時，ymax＝1.又y＝－x2+2｜x｜的圖象過點（－2，0），（2，0），（0，0），由－x2＋2｜x｜≥0得｜x｜（｜x｜－2）≤0，解得－2≤x≤2，即函數(shù)定義域為[－2，2]，又－（－x）2+2|－x｜＝13.[2024河南模擬]已知函數(shù)①f（x）＝e｜x｜sinx；②g（x）＝x－ln｜x｜；③t（x）＝x2sinx；④h（x）＝exx2.則下列（1）（2）（3）（4）4個函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式的序號依次為（A.④②①③ B.②④①③C.②④③① D.④②③①解析由題圖可知，圖象（1）對應(yīng)函數(shù)的定義域為{x｜x≠0}，值域為{y｜y＞0}，結(jié)合函數(shù)解析式可知，圖象（1）必對應(yīng)函數(shù)④，排除B，C.對于函數(shù)①，當x＞0時，f（x）＝exsinx，易得f'（x）＝ex（sinx＋cosx）＝2exsin（x＋π4），當x∈（0，3π4）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當x∈（3π4，π）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以當x∈（0，π）時，f（x）max＝f（3π4）＝22e3π4＞5，所以函數(shù)①對應(yīng)圖象（3），排除D14.[多選]已知函數(shù)f（x）＝｜3x－1|,x<1，－4x2+16x－13A.若g（x）有3個不同的零點，則a的取值范圍是[1，2）B.若g（x）有4個不同的零點，則a的取值范圍是（0，1）C.若g（x）有4個不同的零點x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），則x3＋x4＝4D.若g（x）有4個不同的零點x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），則x3x4的取值范圍是（134，7解析令g（x）＝f（x）－a＝0，得f（x）＝a，所以g（x）的零點個數(shù)為函數(shù)y＝f（x）與y＝a圖象的交點個數(shù)，作出函數(shù)y＝f（x）與y＝a的大致圖象，如圖所示.由圖可知，若g（x）有3個不同的零點，則a的取值范圍是[1，2）∪{0}，所以A選項不正確.若g（x）有4個不同的零點，則a的取值范圍是（0，1），所以B選項正確.若g（x）有4個不同的零點x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），此時（x3，0），（x4，0）關(guān)于直線x＝2對稱，所以x3＋x4＝4，所以C選項正確.（兩零點滿足“對稱性”，即兩零點之和為其“對稱軸”與x軸的交點橫坐標的2倍）由C選項可知x3＝4－x4，所以x3x4＝（4－x4）x4＝－x42＋4x由于g（x）有4個不同的零點，a的取值范圍是（0，1），故0＜－4x42＋16x4－13＜1，所以134＜－x42＋4所以D選項正確.故選BCD.15.已知函數(shù)f（x）＝1－x2，x≤0，lnx，x>0，若直線y＝kx與函數(shù)f（x）的圖象交于A，B兩點，且滿足｜OA解析由題意知，函數(shù)y＝f（x）的圖象上有關(guān)于原點O對稱的點，因此存在x0，使得f（x0