2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（解析版）

.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式知識點一解無參的一元二次方程【【解題思路】解一元二次不等式的一般步驟(1)將一元二次不等式化為一端為0的形式(習慣上二次項系數(shù)大于0)．(2)求出相應一元二次方程的根，或判斷出方程沒有實根．(3)畫出相應二次函數(shù)示意草圖，方程有根的將根標在圖中．(4)觀察圖象中位于x軸上方或下方的部分，對比不等式中不等號的方向，寫出解集．【例1】（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）解下列不等式：(1)；(2)；(3).(4)；(5)；(6)；(7)．【答案】(1)或(2)(3)(4)或(5)(6)(7)【解析】（1）原不等式對應的一元二次方程為，可化為：，方程的根為，不等式的解集為（或?qū)憺椋?（2）原不等式可化為，此不等式對應的一元二次方程的根的判別式，原不等式的解集為.（3）原不等式對應的一元二次方程的根的判別式，原不等式的解集為.（4）解：由可得，解得或，故原不等式的解集為或.（5）解：由可得，即，解得，故原不等式的解集為.（6）解：由可得，解得或，故原不等式的解集為.（7）解：由可得，，故原不等式的解集為.【變式】（23-24高一上·河南濮陽·階段練習）解下列一元二次不等式：(1)；(2)．(3)；(4)；(5)；(6)．(7)；(8).(9)(10)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)；(10)；【解析】（1）由，得，即，所以，所以不等式得解集為；（2）由，得，無解，所以不等式的解集為.（3），所以，故不等式的解集為；（4），所以，故不等式的解集為；（5）因為的判別式，故原不等式的解集為；（6），所以或，故不等式的解集為.（7）可化為，解得或，所以解集為.（8）可化為，解得，所以解集為.（9）由，則或，所以或，故不等式解集為.（10）由，可得，所以不等式解集為.知識點二已知一元二次不等式的解求參數(shù)【【解題思路】已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循(1)根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號．(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式．(3)約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解．【例2】（23-24高一上·河南濮陽·階段練習）已知關于x的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【解析】因為關于x的一元二次不等式的解集為，所以且方程的解為，所以，所以，則不等式，即為不等式，則，解得，所以不等式的解集為.故選：D.【變式】1．（2024高一上·全國·專題練習）已知關于的一元二次不等式的解集為，其中，，為常數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】關于的一元二次不等式的解集為，則，且是一元二次方程的兩根，于是，解得，則不等式化為，即，解得，所以不等式的解集是．故選：A2．（23-24高一上·吉林延邊·階段練習）已知不等式的解集為,則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．D．的解集為【答案】D【解析】根據(jù)題意,可以知道,的兩根為.由根與系數(shù)的關系得到：.因為開口向下,則,故A正確.,故B正確.且,對稱軸為,,故C正確.,兩邊同時除以,得到,解得,故D錯誤.故選:D.3．（23-24高一下·河北張家口·開學考試）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】不等式的解集為，則是方程的兩個根，且，于是，解得，則不等式為，解得或，所以不等式的解集為或.故選：D知識點三分式不等式與絕對值不等式【【解題思路】1.絕對值不等式2.分式不等式【例3-1】（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）求下列不等式的解集.(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1），則，解得，所以解集為.（2）因為，所以，即，解出或，或，即，無實數(shù)解，綜上，解集為.（3），，，兩邊平方得到：，即，解得或，，所以解集為：.（4），，即，解得，故解集為.【例3-2】（2025湖北）解下列關于x的不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【解析】（1）由題得由可得：或，又，則得或，即不等式的解集為.（2）由，得，所以，解得或，所以不等式的解集為.（3）當，即時，，得，此時，，當，即時，，得，此時，，綜上所述，，即不等式的解集為.（4）原不等式可化為或，即或．由圖可知，原不等式的解集為或．（5）原不等式可化為，即，即或，即或．由圖可知，原不等式的解集為或.（6）對于，變形為，即，與同解，，即.【變式】1（2023湖南）解下列不等式（1）；（2）.（3）；（4）.（5）【答案】（1）（2）（3）；（4）（5）【解析】（1），，即，不等式的解集是.（2），或，或.原不等式的解集為.（3）原不等式可化為.解不等式，得.（4）原不等式可化為.兩邊平方，得.解不等式組，得.（5）∵，∴，即，解得：或，即不等式的解為.2.（2023北京）解下列不等式：（1）；（2）（3）.（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）（3）或.（4）（5）（6）【解析】（1）等價于，解得，∴原不等式的解集為.（2）由題意，不等式可轉(zhuǎn)化為或，解得或，所以不等式的解集為.（3）∵，∴，∴，即.此不等式等價于且x－≠0，解得或，∴原不等式的解集為或.（4）移項、通分，，此不等式與不等式組的解集相同．解不等式組，得．（5）將原不等式轉(zhuǎn)化為同解的整式不等式，即，所以原不等式解集為．（6）移項、通分，得．轉(zhuǎn)化為整式不等式組或．解不等式組，得或．∴不等式的解集為3．（24-25高一上·上海·假期作業(yè)）（1）解不等式；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1），即，令，有或或，則該不等式的解集為；（2），即，令，有或或，又恒成立，故該不等式的解集為；（3），即，由，故，對：令，有或或，又恒成立，故有，故該不等式的解集為.知識點四實際應用題【例4】（23-24高一上·江蘇南京·期中）通過技術(shù)創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場．年，該種玻璃售價為歐元/平方米，銷售量為萬平方米．(1)據(jù)市場調(diào)查，售價每提高歐元/平方米，銷售量將減少萬平方米；要使銷售收入不低于萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米?(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在年對該種玻璃實施二次技術(shù)創(chuàng)新和營銷策略改革：提高價格到歐元/平方米（其中），其中投入萬歐元作為技術(shù)創(chuàng)新費用，投入萬歐元作為固定宣傳費用，投入萬歐元作為浮動宣傳費用，試問：該種玻璃的銷售量（單位：萬平方米）至少達到多少時，才可能使年的銷售收入不低于年銷售收入與年投入之和?并求出此時的售價．【答案】(1)40(2)102萬平方米，30歐元/平方米【解析】（1）設該種玻璃的售價提高到歐元/平方米，由題知，即，解得，所以該種玻璃的售價最多提高到40歐元/平方米.（2）由題意得，整理得，兩邊同除以得，又，當且僅當，即時取等號，所以，故該種玻璃的銷售量（單位：萬平方米）至少達到102萬平方米時，才可能使年的銷售收入不低于年銷售收入與年投入之和，此時的售價為歐元/平方米.【變式】1．（23-24高一上·湖北襄陽·期中）中華人民共和國第14屆冬季運動會將于2024年2月17日至2月27日在內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市舉行，某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少0.2萬件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元?(2)為了抓住此次契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到元.公司擬投入萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量至少應達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時商品的每件定價.【答案】(1)40元；(2)至少應達到10.2萬件，每件定價30元.【解析】（1）設每件定價為t元，依題意得，則，解得，所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元（2）依題意，時，不等式有解，等價于時，有解，因為（當且僅當時等號成立），所以，此時該商品的每件定價為30元，當該商品明年的銷售量至少應達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元．2．（23-24高一上·陜西寶雞·階段練習）如圖，在長為，寬為的矩形地面的四周種植花卉，中間種植草坪，如果要求草坪外側(cè)四周的花卉帶的寬度都相同，且草坪的面積不超過總面積的一半，則花卉帶的寬度至少應為多少米？【答案】花卉的寬度至少為【解析】設花卉帶的寬度為，則，可得，所以，草坪的長為，寬為，則草坪的面積為，因為草坪的面積不超過總面積的一半，則，整理可得，解得，又因為，可得.所以，花卉的寬度至少為.3．（22-23高一上·上海徐匯·階段練習）如圖所示，將一個矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在射線AB上，N在射線AD上，且對角線MN過點C，已知AB長為4米，AD長為3米，設米．

(1)要使矩形花壇AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應在什么范圍內(nèi)；(2)要使矩形花壇AMPN的擴建部分鋪上大理石，則AN的長度是多少時，用料最?。俊敬鸢浮?1)(2)米時，用料最?。窘馕觥浚?）解：由，可得，則，則，花壇AMPN面積等于，由題意，可得，即，解得或，所以AN的長應在范圍內(nèi).（2）解：根據(jù)題以，可得擴建部分面積，令，可得，當且僅當時，即時，等號成立，即米時，用料最?。?/p>

重難點一一元二次函數(shù)的單調(diào)性求參【例5-1】（23-24高一上·江蘇南京·期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：D【例5-2】（23-24陜西渭南·階段練習）若二次函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為二次函數(shù)在上為減函數(shù)，所以的取值范圍為，故選：D【變式】1．（23-24高一上·浙江·單元測試）設函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的對稱軸方程為：，因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，解得，故選：B2．（22-23高一上·廣東東莞·期中）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)開口向上，對稱軸為，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則，所以，故實數(shù)的取值范圍是；故選：A．3．（23-24高一上·山東棗莊·階段練習）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，，滿足在上為減函數(shù)；當時，為二次函數(shù)，要滿足在區(qū)間上為減函數(shù)，則，解得.綜上，a的取值范圍是.故選：B.4．（22-23高一上·陜西咸陽·階段練習）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以當時，在區(qū)間上是單調(diào)遞增，則，解得，當時，在區(qū)間上是單調(diào)遞減，則，解得，綜上故選：B重難點二解含參數(shù)的一元二次不等式【【解題思路】解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟二次項系數(shù)的討論：二項式系數(shù)若含有參數(shù)，應討論等于0、小于0、大于0.判斷方程根的個數(shù)：判斷根的個數(shù)，利用判別式與0的關系、寫出解集：無根時直接寫解集；確定有兩個根時，要討論兩根的大小關系，兩根的大小關系有等于、大于、小于【例6】（2025廣東潮州）解下列關于的不等式(1)；(2)；(3)；(4).【答案】答案見解析【解析】（1）由，可得或，則：當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；（2）由對應函數(shù)開口向上，且，當，即時，恒成立，原不等式解集為；當，即或時，由，可得，所以原不等式解集為；綜上，解集為；或解集為.（3）由得或.當，即時，不等式解集為；當，即時，解集為；當，即時，解集為．綜上：時，不等式解集為；時，解集為；時，解集為．（4）①當時，；∴.②當時，由得或，（i）當即時，，（ⅱ）當即時，，（ⅲ）當即時，，綜上，當時，所求不等式的解集為.當時，所求不等式的解集為，當時，所求不等式的解集為，當時，所求不等式的解集為.【變式】（2023-2024江蘇）解關于實數(shù)的不等式；(2)；(3).(4)；(5)（6）（是常數(shù)）（7）【答案】答案見解析【解析】（1）易知方程的，由得，解得，當時，的解集為，當時，的解集為，當時，的解集為．（2）不等式可化為，當時，，不等式的解集為；當時，不等式化為，其解集為；當時，不等式化為，（?。┊?，即時，不等式的解集為；（ⅱ）當，即時，不等式的解集為；（ⅲ）當，即時，不等式的解集為.（3）對方程，當時，即時不等式的解集為；當時，即或時的根為，，不等式的解集為；綜上，時不等式的解集為，或時不等式的解集為.（4）由可得，當時，不等式的解為或；當時，不等式的解為；當時，不等式的解為或（5）由可得，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.（6）由，解得，或.故分以下情況討論不等式的解集：①當時，不等式為，無解；②當時，不等式為，無解；③當，即，或時，（i）當時，不等式可化為，解得，或；（ii）當時，不等式可化為，解得；④當，即時，不等式可化為，解得；綜上所述，當時，不等式的解集為；當，或，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.（7）原不等式可化為，當時，原不等式為，故原不等式的解集為，當時，，當時，則，原不等式的解集為或，當時，則，原不等式的解集為或，綜上，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為或重難點三一元二次不等式恒成立【【解題思路】一元二次不等式恒成立問題的解法(1)轉(zhuǎn)化為對應的二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題，考慮兩個方面：x2的系數(shù)和對應方程的判別式的符號．(2)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題：分離參數(shù)后，求相應二次函數(shù)的最值，使參數(shù)大于(小于)這個最值．解不等式應用題的步驟【例7-1】（2024高一廣西）若命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知，不等式在R上有解，∴，解得，∴實數(shù)m的取值范圍是.故選：A.【例7-2】（23-24高一下·貴州貴陽·期中）對任意的，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為對任意的，恒成立，所以對任意的，恒成立，又，當且僅當，即時取等號，所以，解得，即的取值范圍為.故選：D【例7-3】（23-24高一上·全國·期末）“，為真命題”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若“，為真命題”，則，對恒成立，則，解得，顯然可以推出，但不可以推出，則“，為真命題”是“”的充分不必要條件，故選：B.【例7-4】（23-24高二下·重慶·期末）若命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于“，”為假命題，故其否定為“，”為真命題，則，得，故選：D【變式】1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命題“，使”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意命題“，使”是真命題，所以，當且僅當，有，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：C.2．（23-24高一上·江蘇徐州·期末）若命題“，”是假命題，則實數(shù)的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】因為命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題，因此有，所以實數(shù)的最小值為，故選：C3．（23-24高一下·湖南·期中）設命題p：，（其中m為常數(shù)），則“命題p為真命題”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由命題p為真命題，得，解得，顯然，所以“命題p為真命題”是“”的充分不必要條件.故選：A4．（23-24高二下·浙江·期中）關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】B【解析】的解集為,即恒成立，當時，即，不符合題意，當時，則’解得綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：B5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】當時，，，不滿足題意；當時，,所以，綜上，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：單選題1．（23-24高一下·廣東湛江·開學考試）關于的不等式的解集為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為不等式的解集為，所以是方程的兩個實根，所以，解得，所以.故選：C.2．（23-24山西呂梁·階段練習）第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，參賽的各國運動員在比賽、訓練之余，都愛逛逛杭州亞運會特許商品零售店，開啟“買買買”模式.某商店售賣的一種亞運會紀念章，每枚的最低售價為15元，若每枚按最低售價銷售，每天能賣出45枚，每枚售價每提高1元，日銷售量將減少3枚，為了使這批紀念章每天獲得600元以上的銷售收入，則這批紀念章的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，得，即，∴，解得.又每枚的最低售價為15元，∴.故選：B.3．（22-23高一下·上海寶山·階段練習）函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意知，函數(shù)的圖象對稱軸為，開口向上，因為函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，所以，解得.故選：C.4．（22-23高一上·陜西寶雞·階段練習）“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，因為，因此，“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件，故選：B.5．（2023春·福建泉州）“關于的不等式的解集為”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】因為不等式的解集為，所以應有，解得.選擇的必要不充分條件的范圍，應該大于包含的范圍，顯然只有C項滿足.故選：C.6．（2023·全國·高一專題練習）若關于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若關于的不等式有解,則，解得.故選：C.7．（21-22高一上·重慶沙坪壩·期末）關于x的不等式恰有2個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由恰有2個整數(shù)解，即恰有2個整數(shù)解，所以，解得或，①當時，不等式解集為，因為，故2個整數(shù)解為1和2，則，即，解得；②當時，不等式解集為，因為，故2個整數(shù)解為，，則，即，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或.故選：B.8．（23-24高一上·貴州銅仁·期末）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，不等式恒成立，當時，滿足不等式恒成立；當時，令，則在上恒成立，函數(shù)的圖像拋物線對稱軸為，時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有，解得；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有，解得.綜上可知，的取值范圍是.故選：D.多選題9．（23-24高一上·江西贛州·期中）已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的值可能為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】ABD【解析】依題意可得的圖象的對稱軸為，又函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則或．故選：ABD．10．（23-24高二下·浙江寧波·期末）若關于的一元二次不等式的解集為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對于A，由題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象知，拋物線開口應向下，則，故A錯誤；對于B，依題意，，且一元二次方程的兩根為和3，由韋達定理，，故，，即，故B正確；對于C，由上分析可得，故C正確；對于D，由上分析可得，故D正確.故選：BCD.11．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若關于的不等式只有一個整數(shù)解，則的可能取值有（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】AD【解析】關于的不等式即，即，當時，即，解集為空集，不合題意；當時，的解滿足，要使得關于的不等式只有一個整數(shù)解，需，由于，故；當時，的解滿足，要使得關于的不等式只有一個整數(shù)解，需，由于，故，綜合得的可能取值，故選：AD填空題12．（23-24高二下·福建福州·期中）已知，若關于的不等式的解集中恰有3個整數(shù)解，則的取值范圍是．【答案】【解析】由于，，則不等式的解為，由于恰有3個解，其中，于是3個解為，則要求，解出，綜上，．故答案為：13．（23-24·北京朝陽·期中）已知不等式對任意正實數(shù)x恒成立，寫出一個a的可能值為.【答案】4（答案不唯一）【解析】不等式對任意正實數(shù)x恒成立，即對任意正實數(shù)x恒成立，當時，不等式，即，不符合對任意正實數(shù)x恒成立，當時，令，若對任意正實數(shù)x恒成立，則，無解，或，解得.所以的一個值可以是.故答案為：14．（2024天津南開）已知當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】因為當時，不等式恒成立，則，原題意等價于當時，不等式恒成立，又因為，當且僅當，即等號成立，可得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.解答題15．（2024高一北京）設函數(shù)(1)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；(2)解關于的不等式：．【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）對一切實數(shù)x恒成立，等價于恒成立.當時，不等式可化為，不滿足題意.當，有，即，解得所以的取值范圍是．（2）依題意，等價于，當時，不等式可化為，所以不等式的解集為.當時，不等式化為，此時，所以不等式的解集為.當時，不等式化為，①當時，，不等式的解集為；②當時，，不等式的解集為；③當時，，不等式的解集為；綜上，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.16．（23-24高一上·廣東河源·階段練習）設．(1)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的