數(shù)值計(jì)算方法-全套課件

——數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法Numerical

Method數(shù)值計(jì)算方法1第一章

緒論數(shù)值計(jì)算方法4課程簡介什么是數(shù)值計(jì)算方法？為什么學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法？數(shù)值計(jì)算方法的主要內(nèi)容數(shù)值計(jì)算中的誤差誤差的種類及其來源絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差有效數(shù)字與誤差舍入誤差與截?cái)嗾`差誤差的傳播與估計(jì)算法的數(shù)值穩(wěn)定性非計(jì)算機(jī)方法數(shù)值計(jì)算方法5解析方法簡單問題實(shí)際價(jià)值有限圖解法結(jié)果準(zhǔn)確？三維及以下手工方法計(jì)算器速度慢，很容易出現(xiàn)低級(jí)錯(cuò)誤數(shù)值計(jì)算方法6工程問題求解的三個(gè)階段公式化簡潔表示的基本定律解釋深入分析受限于耗時(shí)的求解過程求解用詳細(xì)、通常也是復(fù)雜的方法來求解問題計(jì)算機(jī)時(shí)代到來之前公式化深入分析問題與基本定律的關(guān)系解釋易于計(jì)算使得能夠進(jìn)行整體思考和直觀研究，可以對(duì)系統(tǒng)的靈敏性和特性進(jìn)行研究求解易于使用的計(jì)算機(jī)方法計(jì)算機(jī)時(shí)代學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法的意義數(shù)值計(jì)算方法7增強(qiáng)求解問題的技能在理解的基礎(chǔ)上使用一些商品化軟件解決一些軟件所不能解決的問題學(xué)習(xí)使用計(jì)算機(jī)的一個(gè)有效載體加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解數(shù)值計(jì)算方法的內(nèi)容（一）數(shù)值計(jì)算方法8方程求根（Roots

of

Equation）f(x)

0xf(x)根數(shù)值計(jì)算方法的內(nèi)容（二）數(shù)值計(jì)算方法9線性代數(shù)方程組（System

of

LinearAlgebraic

Equations）a11x1

a12

x2

c1a21x1

a22

x2

c2x1x2解數(shù)值計(jì)算方法的內(nèi)容（三）數(shù)值計(jì)算方法10xx插值（Interpolation）和曲線擬合（CurveFitting）f(x) f(x)數(shù)值計(jì)算方法的內(nèi)容（四）數(shù)值計(jì)算方法11數(shù)值微分（numerical

differentiation）和數(shù)值積分（numerical

integration）xf(x)baf

(x)dxI

ab面積數(shù)值計(jì)算方法的內(nèi)容（五）數(shù)值計(jì)算方法12常微分方程（Ordinary

DifferentialEquation

）tydy

y

f(t,

y)dt

t求關(guān)于自變量t的函數(shù)yyi

1

yi

f(ti,yi

)

ttiti+1

t斜率=f(ti

,yi)課堂教學(xué)內(nèi)容緒論

(1周)非線性方程求根

(1周)求解線性方程組的數(shù)值方法

(2周)插值和曲線擬合

(1周)數(shù)值微分和數(shù)值積分

(1周)常微分方程數(shù)值解

(1周)19數(shù)值計(jì)算方法教學(xué)安排理論13：15～15：40上機(jī)（助教負(fù)責(zé)）四次海洋大樓機(jī)房刷校園卡20數(shù)值計(jì)算方法考核方式平時(shí)成績（70%）課堂（10%）

+上機(jī)（10%）上機(jī)作業(yè)提交時(shí)間 當(dāng)天24:00每周作業(yè)（50%）提交時(shí)間：每次布置作業(yè)后一周內(nèi)，注意截止時(shí)間提交到課程網(wǎng)站，程序+報(bào)告文檔，一個(gè)壓縮文件期末作業(yè)（30%）自選題目 截止提交時(shí)間

6月26日24:00利用數(shù)值方法解決問題專業(yè)領(lǐng)域、以往課程、社會(huì)生活解析解？數(shù)值解？分析212016/5/1數(shù)值計(jì)算方法考核方式必須遵守學(xué)術(shù)道德規(guī)范，鼓勵(lì)相互之間進(jìn)行討論，但提交的作業(yè)必須獨(dú)立完成。杜絕抄襲！23數(shù)值計(jì)算方法作業(yè)要求完整性程序+文檔報(bào)告要求問題分析程序（算法、必要的注釋）結(jié)果分析排版、格式（清晰、美觀）22數(shù)值計(jì)算方法作業(yè)題例數(shù)值計(jì)算方法19在對(duì)汽車、機(jī)器人以及其他運(yùn)動(dòng)器械的控制時(shí)，

經(jīng)常需要獲得其移動(dòng)距離的數(shù)據(jù)通過對(duì)于一連串采樣點(diǎn)（

即時(shí)速度）

的插值，

得到速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，

再對(duì)于速度進(jìn)行積分，

即可得到對(duì)象所運(yùn)動(dòng)的距離總長度為5451.24米作業(yè)題例——西湖面積數(shù)值計(jì)算方法20作業(yè)題例——上海世博會(huì)參觀人數(shù)過千萬時(shí)間點(diǎn)數(shù)值計(jì)算方法21作業(yè)題例——手?jǐn)?shù)值計(jì)算方法22作業(yè)題例——任意球數(shù)值計(jì)算方法23數(shù)學(xué)建模與工程問題求解數(shù)值計(jì)算方法24問題定義數(shù)學(xué)模型數(shù)值或圖形結(jié)果實(shí)現(xiàn)理論數(shù)據(jù)問題求解工具：計(jì)算機(jī)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)值方法、圖解法等社會(huì)應(yīng)用：調(diào)度、最優(yōu)化、通信等等數(shù)學(xué)模型（Mathematical

Model）數(shù)值計(jì)算方法25用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)物理系統(tǒng)或過程本質(zhì)特征的公式或方程。因變量=f(自變量，參數(shù)，強(qiáng)制函數(shù))因變量（dependent

variable）：用來刻畫系統(tǒng)行為或狀態(tài)的特征量；自變量（independent

variable）：通常為維度，如時(shí)間和空間，系統(tǒng)的行為是用自變量來確定的；參數(shù)（parameter）：反映系統(tǒng)的性質(zhì)或組成；強(qiáng)制函數(shù)（forcing

function）：外部對(duì)系統(tǒng)施加的影響。一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)模型——牛頓第二定律數(shù)值計(jì)算方法26F=ma

a=F/ma為因變量，表示了系統(tǒng)的行為；F為強(qiáng)制函數(shù)；m為表示系統(tǒng)性質(zhì)的參數(shù)；在這種簡單的情況下，沒有自變量，沒有涉及到加速度a在隨時(shí)間或空間的變化。物理世界中數(shù)學(xué)模型的幾個(gè)典型特點(diǎn)：用數(shù)學(xué)語言描述自然過程或系統(tǒng)；代表了一種理想情況，或是對(duì)現(xiàn)實(shí)的簡化。即忽略了自然過程的不重要的細(xì)節(jié)，而集中于自然過程的本質(zhì)特征；得到的是一個(gè)可以重現(xiàn)的結(jié)果，可以用來做預(yù)測。降落傘問題（Falling

ParachutistProblem）數(shù)值計(jì)算方法27確定降落傘的最后速度加速度表示為速度的變化率FUFDdv

Fdt m如果凈受力為正，物體加速運(yùn)動(dòng)；如果為負(fù)，物體減速運(yùn)動(dòng)；如果為0，物體速度不變。假定向下的力為正，F(xiàn)D

mg FU

cvc為比例系數(shù)，稱為阻力系數(shù)（dragcoefficient(kg/s)）。參數(shù)c說明了下降物體的特征，如形狀或表面的粗糙程度。降落傘問題（Falling

ParachutistProblem）數(shù)值計(jì)算方法28模型——微分方程（differential

equation）dv

mg

cv

g

cvdt m m若初始時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)（t=0時(shí)，v=0），可得gmcv(t)

1

e

(c

/

m)t

v(t)為因變量；t為自變量；c和m為參數(shù)；g為強(qiáng)制函數(shù)。問題：從靜止熱氣球中彈出一個(gè)質(zhì)量為68.1kg的降落傘，阻力系數(shù)等于12.5kg/sv(t)

9.8

68.1

1

e

(12.5

/

68.1)t

53.39

1

e

0.18355t

12.5降落傘問題（Falling

ParachutistProblem）數(shù)值計(jì)算方法29t(s)v(m/s)00.00216.40427.77635.64841.091044.871247.48

53.39246810121400504030201060t(s)解析解或精確解但許多模型不能精確地求解數(shù)值方法——對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行變換，使得它可以用算術(shù)運(yùn)算來求解v(m/s)終速數(shù)值計(jì)算方法30降落傘問題（Falling

ParachutistProblem）數(shù)值方法：在時(shí)刻ti處導(dǎo)數(shù)的有限差商近似dv

v

v(ti

1)

v(ti

)dt

tti

1

tidtdv

lim

v

t

0

t

iv(t

) tcmi

1 ii

1 i

v(t )

v(t

)

g

t

t(s)v(m/s)00.00219.6432.00639.86844.821047.971249.96

/1053.39歐拉法024681012140102030405060t(s)v(m/s)數(shù)值解解析解終速用直線段來近似表示連續(xù)的曲線函數(shù)，因此兩者之間存在一定差異?？梢杂酶〉牟介L使誤差減小——計(jì)算量與精度之間的權(quán)衡數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法31數(shù)值計(jì)算方法是一門根據(jù)計(jì)算機(jī)特點(diǎn)，研究通過計(jì)算機(jī)求工程問題滿足精度要求的近似解的學(xué)科。將所欲求解的數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)問題）簡化成一系列算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，以便在計(jì)算機(jī)上求出問題的數(shù)值解，并對(duì)算法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差進(jìn)行分析、計(jì)算。算法數(shù)值計(jì)算方法32基本運(yùn)算和運(yùn)算順序的規(guī)定所組成的整個(gè)解題方案和步驟。一般可以通過框圖（流程圖）來較直觀地描述算法的全貌。選擇合適的算法是整個(gè)數(shù)值計(jì)算中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。算法的選擇數(shù)值計(jì)算方法33例：計(jì)算多項(xiàng)式的值直接計(jì)算，再逐次相加，共需只要n次乘法和n次加法即可。（霍納Horner1819年）P(x)

axn

a xn

1

ax

an n

1 1 0iiax(i

0,1,2,

,

n)1

2

(n

1)

n

n(n

1)2次乘法和n次加法。秦九韶（我國宋朝數(shù)學(xué)家）算法（1247年）P(x)

((

((an

x

an

1

)x

an

2

)x

a2

)x

a1

)x

a0算法數(shù)值計(jì)算方法34算法的優(yōu)劣直接影響計(jì)算的速度和效率對(duì)于小型問題，計(jì)算速度和占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存的多寡似乎意義不大，但對(duì)復(fù)雜的大型問題卻起著決定性作用。不合適的算法還會(huì)由于計(jì)算機(jī)計(jì)算的近似性和誤差的傳播、積累直接影響到計(jì)算結(jié)果的精度，甚至影響到計(jì)算的成敗?！惴ǖ臄?shù)值穩(wěn)定性第一章

緒論數(shù)值計(jì)算方法35課程簡介什么是數(shù)值計(jì)算方法？為什么學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法？數(shù)值計(jì)算方法的主要內(nèi)容數(shù)值計(jì)算中的誤差誤差的種類及其來源絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差有效數(shù)字與誤差舍入誤差與截?cái)嗾`差誤差的傳播與估計(jì)算法的數(shù)值穩(wěn)定性誤差的種類數(shù)值計(jì)算方法36舍入誤差（round-off

error）由于計(jì)算機(jī)只能表示有限位數(shù)的量而引起的截?cái)嗾`差（truncation

error）由于數(shù)值方法可能運(yùn)用近似方法表示準(zhǔn)確數(shù)值運(yùn)算或數(shù)量而引起的不與數(shù)值方法本身直接相關(guān)的誤差粗差形式化或模型誤差數(shù)據(jù)不確定性誤差有效數(shù)字（significant

digit）數(shù)值計(jì)算方法37為了正式規(guī)定數(shù)值的可靠程度一個(gè)數(shù)的有效數(shù)字是指可以放心使用的那些數(shù)字有效數(shù)字對(duì)應(yīng)于確定數(shù)字和一個(gè)估計(jì)數(shù)字的總位數(shù)數(shù)值方法得到的是近似解，所以必須建立準(zhǔn)則來規(guī)定近似結(jié)果的可信度。建立準(zhǔn)則的一種方法是基于有效數(shù)字實(shí)現(xiàn)的，例如：如果有4位有效數(shù)字是正確的，可能就認(rèn)定得到的近似結(jié)果是可以接受的。計(jì)算機(jī)只能保留有限個(gè)有效數(shù)字。保留有效數(shù)字后被省略的部分稱為舍入誤差。如：

3.141592653589793238462643

準(zhǔn)確度（accuracy）與精確度（precision）數(shù)值計(jì)算方法38準(zhǔn)確度計(jì)算值或測量值與真值接近的程度精度或精確度各計(jì)算值或測量值相互之間的集中程度準(zhǔn)確度（accuracy）與精確度（precision）——射擊的例子數(shù)值計(jì)算方法39準(zhǔn)確度增加精確度增加(a)

既不準(zhǔn)確也不精確(b)

準(zhǔn)確但不精確(c)

不準(zhǔn)確但精確(d)

既準(zhǔn)確也精確數(shù)值計(jì)算方法40誤差的定義數(shù)值誤差源于用近似方法表示準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)運(yùn)算和準(zhǔn)確的數(shù)量數(shù)值誤差包括截?cái)嗾`差和舍入誤差當(dāng)用近似方法表示準(zhǔn)確數(shù)學(xué)過程時(shí)會(huì)出現(xiàn)截?cái)嗾`差當(dāng)用有限個(gè)有效數(shù)字表示準(zhǔn)確的數(shù)時(shí)會(huì)引起舍入誤差絕對(duì)誤差真值=近似值+誤差 誤差=真值-近似值相對(duì)誤差E

x

x*rx

E

100%絕對(duì)誤差可正可負(fù)，一般E的準(zhǔn)確值很難求出?？捎谜嬷档淖顑?yōu)估計(jì)值代替真值，或者給出誤差的一個(gè)上界

(x*)（誤差限）。當(dāng)x=0時(shí)，相對(duì)誤差無意義，準(zhǔn)確值x往往未知，故常用x*代替x，相對(duì)誤差限為

(x*)/|

x*

|。誤差計(jì)算——例1數(shù)值計(jì)算方法41問題：假設(shè)對(duì)一座橋梁和一個(gè)鉚釘?shù)拈L度進(jìn)行了測量，測量的結(jié)果分別為9999cm和9cm。如果真值分別為10000cm和10cm，計(jì)算兩種情況下的真誤差和真相對(duì)誤差解：(a)橋梁的真誤差為鉚釘?shù)恼嬲`差為(b)橋梁的相對(duì)誤差為鉚釘?shù)南鄬?duì)誤差為Et

10000

9999

1cmEt

10

9

1cm10000r

1

100%

0.01%10r

1

100%

10%盡管兩個(gè)絕對(duì)誤差都是1cm，但測量鉚釘?shù)南鄬?duì)誤差要大得多，因此，我們對(duì)橋梁的測量已經(jīng)夠準(zhǔn)確了，但對(duì)鉚釘?shù)墓烙?jì)在某種程度上偏離了希望值。誤差——例2數(shù)值計(jì)算方法42已知

=3.1415926

，若取近似數(shù)為

x*

3.14

，則E

x*

0.0015926

，E

0.002

(x*

)

為

x*

的誤差限，相*rx*

(x*)對(duì)誤差限為

(x)

0.0007通常在x有多位數(shù)字時(shí)，若取前有限位數(shù)的數(shù)字作為近似值，都采用四舍五入原則，他們的誤差限都不超過近似數(shù)x*末位數(shù)的半個(gè)單位，即

3.14

1

10

2

3.1416

1

10

42 2有效數(shù)字與誤差的關(guān)系數(shù)值計(jì)算方法43,其中每個(gè)ai（i=1，2，

，n）均為0，1，2，

，9中的一個(gè)數(shù)字，且a1≠0，如果則稱x*近似x有n位有效數(shù)字。如果x*具有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為定義：設(shè)x*是x的一個(gè)近似數(shù)，表示為x*

10k

0.a1a2

an2x

x*

1

10k

n近似數(shù)的有效數(shù)字越多，相對(duì)誤差限就越小，反之亦然。*11r2a

(x)

10

(n

1)迭代方法的誤差估計(jì)數(shù)值計(jì)算方法44當(dāng)前迭代結(jié)果的誤差：

當(dāng)前近似值

前一近似值

100%當(dāng)前近似值a

采用絕對(duì)值是否小于預(yù)先設(shè)定好的容限

s

a

s如果下面的準(zhǔn)則成立，則一般可以保證至少n位有效數(shù)字是正確的：

(0.5

102

n

)%s數(shù)值計(jì)算方法迭代方法的誤差估計(jì)——例45問題：指數(shù)函數(shù)可以用下式表示（麥克勞林級(jí)數(shù)展開）計(jì)算的值，每加入一個(gè)新項(xiàng)后計(jì)算真誤差和近似百分比相對(duì)誤差。真值為，直到近似誤差小于2 3!xx2 x3xnn!e

1

x

e0.5e0.5

1.648721

s，

s

必須符合3位有效數(shù)字的要求。項(xiàng)數(shù)結(jié)果

t(%)

a(%)1139.321.59.0233.331.6251.447.6941.6458333330.1751.2751.6484375000.01720.15861.6486979170.001420.0158

(0.5

102

3)%

0.05%解：誤差準(zhǔn)則：

s第一章

緒論數(shù)值計(jì)算方法46課程簡介什么是數(shù)值計(jì)算方法？為什么學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法？數(shù)值計(jì)算方法的主要內(nèi)容數(shù)值計(jì)算中的誤差誤差的種類及其來源絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差有效數(shù)字與誤差舍入誤差與截?cái)嗾`差誤差的傳播與估計(jì)算法的數(shù)值穩(wěn)定性舍入誤差數(shù)值計(jì)算方法47數(shù)的計(jì)算機(jī)表示計(jì)算機(jī)中的算術(shù)運(yùn)算數(shù)的計(jì)算機(jī)表示數(shù)值計(jì)算方法48浮點(diǎn)表示例：1/34=0.029411765

以十進(jìn)制浮點(diǎn)形式存儲(chǔ)，并且只準(zhǔn)許4個(gè)十進(jìn)制為可用。 0.0294

1000.2941

10-1可以多保存一個(gè)有效數(shù)字尾數(shù) 基數(shù)r

m

be指數(shù)b1

m

1尾數(shù)符號(hào)有符號(hào)指數(shù)尾數(shù)僅保存了有限的有效數(shù)字，因此，會(huì)引入舍入誤差。歸一化2015/5/10數(shù)的計(jì)算機(jī)表示數(shù)值計(jì)算方法49例：對(duì)于一個(gè)用7位的字存儲(chǔ)信息的計(jì)算機(jī)，建立一個(gè)假定的浮點(diǎn)數(shù)集合。用數(shù)的第一位表示符號(hào)位，接著的3位表示指數(shù)的符號(hào)和大小，最后的3位存放尾數(shù)。最小可能的正數(shù)為0111100數(shù)的符號(hào)指數(shù)的符號(hào)指數(shù)的大小尾數(shù)的大小最小可能的正浮點(diǎn)數(shù)100.5

2

3

(0.0625)增大100111101

(1

2

1

0

2

2

1

2

3

)

2

3

(0.078125)100111110

(1

2

1

1

2

2

0

2

3

)

2

3

(0.093750)100111111

(1

2

1

1

2

2

1

2

3

)

2

3

(0.109375)相鄰兩數(shù)間隔為0.015625100110100

(1

2

1

0

2

2

0

2

3

)

2

2

(0.125000)100110101

(1

2

1

0

2

2

1

2

3

)

2

2

(0.156250)100110110

(1

2

1

1

2

2

0

2

3

)

2

2

(0.187500)100110111

(1

2

1

1

2

2

1

2

3

)

2

2

(0.218750)相鄰兩數(shù)2015/5/10間隔為0.03125100011111

(1

2

1

1

2

2

1

2

3

)

23

(7)最大的數(shù)21 20 2-1 2-2 2-3數(shù)的計(jì)算機(jī)表示數(shù)值計(jì)算方法50溢出 070在0值附近的一個(gè)“洞”處會(huì)下溢x-

xx+

x

x/2

x/2舍入x-

x

x舍去2015/5/102015/5/10數(shù)值計(jì)算方法51數(shù)的計(jì)算機(jī)表示僅能表示有限范圍內(nèi)的數(shù)使用可接受范圍以外的數(shù)會(huì)導(dǎo)致溢出。不能表示非常小的數(shù)，在0與第一個(gè)正數(shù)之間存在一個(gè)“洞”。在可接受數(shù)的范圍內(nèi)也只能表示有限個(gè)數(shù)無理數(shù)以及不與該集合中的數(shù)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)都不可能準(zhǔn)確地表示——量化誤差舍入（rounded

floating-point

representation）和舍去（choppedfloating-point

representation）有效數(shù)字足夠多的情況下，總的舍入誤差通?？梢院雎圆挥?jì)。數(shù)之間的間隔隨著數(shù)大小的增加而增大量化誤差與數(shù)的大小成比例相對(duì)量化誤差：舍去的情況 舍入的情況

為機(jī)器精度x

x

x

x 2

b1

t尾數(shù)有效數(shù)字個(gè)數(shù)數(shù)的計(jì)算機(jī)表示數(shù)值計(jì)算方法52機(jī)器精度：采用上例中的浮點(diǎn)系統(tǒng)，b=2，t=3，則

=21-3=0.25。對(duì)于舍去方法，量化誤差小于0.25。最大相對(duì)誤差2015/5/10誤差幅度與量化誤差的相關(guān)性有很多實(shí)際的應(yīng)用：測試兩個(gè)數(shù)是否相等在迭代過程中，當(dāng)對(duì)一個(gè)量的收斂性或迭代過程是否中止，測試它們的差是否小于某個(gè)可接受的容限。用相對(duì)誤差?？捎脵C(jī)器精度作為停止或收斂準(zhǔn)則。數(shù)的計(jì)算機(jī)表示數(shù)值計(jì)算方法532015/5/10測試機(jī)器精度的偽代碼Epsilon=1DOif(epsilon+1<=1)

EXITepsilon=epsilon/2ENDDOepsilon=epsilon*2數(shù)的計(jì)算機(jī)表示數(shù)值計(jì)算方法542015/5/10多數(shù)計(jì)算機(jī)上的有效數(shù)字?jǐn)?shù)目足夠滿足大多數(shù)工程計(jì)算的需要擴(kuò)展精度雙精度消除舍入誤差的影響代價(jià)：更多的內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間計(jì)算機(jī)中的算術(shù)運(yùn)算數(shù)值計(jì)算方法55通用算術(shù)運(yùn)算（加、減、乘、除）——有效數(shù)字丟失當(dāng)兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)相加時(shí)，需要對(duì)較小的數(shù)的尾數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使兩個(gè)數(shù)

0.0001

103=0.1000

100，之后的計(jì)算會(huì)把后面的3個(gè)0都作為有效數(shù)字當(dāng)兩個(gè)數(shù)非常接近時(shí)，會(huì)產(chǎn)生非常大的計(jì)算誤差。乘法：指數(shù)相加，尾數(shù)相乘。兩個(gè)n位尾數(shù)相乘得到2n位計(jì)算結(jié)果。0.1363

103

0.6423

10-1=0.08754549

102

0.8754

101除法：尾數(shù)相除，指數(shù)相減。然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行歸一化和舍去處理。的指數(shù)相同0.1557.101例：0.1557

101+0.4381

10-10.004381.101將結(jié)果舍去處理后得0.1600

101 0.160081.101減法的執(zhí)行過程類似，

0.0995

102=0.9950

1010.7642.1030.3641.102-0.7641.103-0.2686.1020.0001.1030.0955.1022015/5/10計(jì)算機(jī)中的算術(shù)運(yùn)算數(shù)值計(jì)算方法562015/5/10大規(guī)模計(jì)算即使單個(gè)計(jì)算的舍入誤差可能很小，但在大量計(jì)算過程中的累積效應(yīng)可能非常嚴(yán)重。問題：對(duì)一個(gè)數(shù)求和100000次，對(duì)數(shù)1以單精度方式求和，對(duì)數(shù)0.00001分別以單精度和雙精度方式求和。結(jié)果：對(duì)1進(jìn)行單精度求和得到期望的結(jié)果，但對(duì)0.00001進(jìn)行單精度求和的結(jié)果卻具有較大的偏差，但當(dāng)對(duì)0.00001進(jìn)行雙精度求和時(shí)，計(jì)算誤差顯著減小。根源：量化誤差。因?yàn)檎麛?shù)1可以在計(jì)算機(jī)中準(zhǔn)確地表示，所以對(duì)1可以精確地求和運(yùn)算。0.00001不能在計(jì)算機(jī)中準(zhǔn)確地表示，只能對(duì)其進(jìn)行量化處理時(shí)，得到一個(gè)與真值略微不同的值，盡管這是一個(gè)非常微小的差異，對(duì)于小量計(jì)算可以忽略，但在重復(fù)進(jìn)行大量計(jì)算后，這個(gè)誤差會(huì)不斷累積。在雙精度情況下，量化誤差要小得多，可以得到改善。在上述迭代操作中，所有誤差具有相同的正負(fù)號(hào)。很多情況下，誤差的符號(hào)

以隨機(jī)模式不斷交替的，經(jīng)常相互抵銷了，但有些情況下，這些誤差沒有被抵銷掉，就會(huì)得到誤差較大的結(jié)果。計(jì)算機(jī)中的算術(shù)運(yùn)算數(shù)值計(jì)算方法57大數(shù)和小數(shù)相加例：一個(gè)小數(shù)0.0010和一個(gè)大數(shù)4000相加，使用一個(gè)假想的計(jì)算機(jī)，具有4位尾數(shù)和1位指數(shù)，對(duì)較小的數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使其指數(shù)與較大的數(shù)相匹配。將結(jié)果進(jìn)行舍去處理得0.4000.104可以不執(zhí)行這個(gè)加法！無窮級(jí)數(shù)求和：初始項(xiàng)通常大于后面的項(xiàng)反向求和：以升序而不是降序?qū)?jí)數(shù)求和當(dāng)n趨于無窮時(shí)，無窮級(jí)數(shù)收斂于

4/90。采用單精度表示，編寫一個(gè)程序計(jì)算n=10000時(shí)f(n)的值，分別按從i=1到10000和i=10000到1的順序計(jì)算，對(duì)比誤差并分析結(jié)果。0.4000.1040.0000001.1040.4000001.10412015/5/10i

1i4nf(n)

∑計(jì)算機(jī)中的算術(shù)運(yùn)算數(shù)值計(jì)算方法58減性抵銷——兩個(gè)幾乎相等的浮點(diǎn)數(shù)相減時(shí)所引起的舍入誤差例：二次求根公式當(dāng)時(shí)，分子可能非常小?？梢杂秒p精度或變換公式或先計(jì)算較大的根，再根據(jù)計(jì)算較小的根。

b

b2

4acx1,2

2ab2

4ac1,22x

2c b

b

4ac1

22015/5/10axx

c問題：當(dāng)a=1，b=3000.001，c=3時(shí)，分別以單精度和雙精度計(jì)算方程的根。（真實(shí)根為x1=-0.001，x2=-3000）計(jì)算機(jī)中的算術(shù)運(yùn)算數(shù)值計(jì)算方法59拖尾效應(yīng)（smearing）在求和過程中，如果某一項(xiàng)的值大于和值本身時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)拖尾效應(yīng)。在符號(hào)交替的級(jí)數(shù)中會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象。問題：指數(shù)函數(shù)以下面無窮級(jí)數(shù)的形式給出：分別計(jì)算x=10和x=-10時(shí)的函數(shù)值，研究其舍入誤差。在不斷地進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，抵銷了大量的有效數(shù)字。其他計(jì)算策略或擴(kuò)展精度。內(nèi)積使用擴(kuò)展精度y

ex2 3!x2 x3y

1

x

n2015/5/10

xiyi

x1y1

x2y2

xn

yni

1指數(shù)函數(shù)運(yùn)行結(jié)果數(shù)值計(jì)算方法602015/5/10x=10x=-10itermsumitermsum011011110111-10-925061250413166.6667227.66667183-166.6667-125.66667184416.6667644.3333744416.66672915833.33341477.6667485-833.3334-542.333374

270.091836922026.417968841280.032798922026.451171942290.0113122026.462890643-1.6552107e-0101.1033645569114e-04300.0037722026.4667969443.7618422e-0111.1033649207093e-04310.001216122026.4687545-8.3596498e-0121.1033648479497e-04Exact

value22026.465794806718Exact

value0.000045399929762截?cái)嗾`差與泰勒級(jí)數(shù)數(shù)值計(jì)算方法61截?cái)嗾`差是由于用近似過程代替準(zhǔn)確過程而產(chǎn)生的誤差。利用泰勒級(jí)數(shù)了解截?cái)嗾`差dv

v

v(ti

1)

v(ti

)dt

tti

1

ti近似真導(dǎo)數(shù)值2015/5/10泰勒定理數(shù)值計(jì)算方法62在包含a和x的區(qū)間上，如果一個(gè)函數(shù)f及其直至n+1階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的，那么該函數(shù)在x處的值可以表示為：n

(x

a)

Rnf

(a)2!f(x)

f(a)

f(a)(x

a)

f(n)

(a)n!2(x

a)

f (t)dtn!n

1x

x

t

nRn

a泰勒定理表明：任何光滑的函數(shù)都可以用多項(xiàng)式來逼近積分形式的余項(xiàng)n

1Rn

x

a

f

n

1

(

)

n

1

!應(yīng)用中值定理，可以得到余項(xiàng)的拉格朗日形式：a和x之間的一個(gè)點(diǎn)2015/5/10泰勒級(jí)數(shù)數(shù)值計(jì)算方法630階近似(zero-order

approximation)一階近似(first-order

approximation)完整的泰勒展開f(xi

1)

f(xi

)f(xi

1)

f(xi)

f

(xi)(xi

1

xi

)ii

f

2!)

f

(x )

f(x)

f

(x

)(x

xf

(n)2 n(xi

1

xi

1 i i i

1)

(xi

1

xi

)

Rnn!f

n

1

(

)n

1Rn

n

1

!

xi

1

xi

存在一個(gè)值可以給出準(zhǔn)確的誤差表示定義步長h

xi

1

xinhn

Rf

(n)n!f

2f(xi

1)

f(xi)

f

(xi)h

2!

h

f

n

1

(

)2015/5/10n

1Rn

n

1

!

h泰勒級(jí)數(shù)展開的余項(xiàng)數(shù)值計(jì)算方法642015/5/10泰勒級(jí)數(shù)的多項(xiàng)式逼近數(shù)值計(jì)算方法65

2015/5/10例：當(dāng)

xi

0,

h

1時(shí)，用零階到四階泰勒級(jí)數(shù)展開預(yù)測函數(shù)f

(x)

0.1x4

0.15x3

0.5x2

0.25x

1.2在xi

1

1處的函數(shù)值：解：

f

(0)

1.2n=0，

f

(xi

1

)

1.2Et

0.2

1.2

1.0

n=1，

f

(0)

0.25f

(xi

1

)

1.2

0.25hf(1)

0.95Et

0.2

0.95

0.75n=2，

f

(0)

1.0i

1f

(x )

1.2

0.25h

0.5h2f(1)

0.45tE

0.2

0.45

0.25泰勒級(jí)數(shù)的多項(xiàng)式逼近數(shù)值計(jì)算方法66四階級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開將得到一個(gè)準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果：f

(x)

1.2

0.25h

0.5h2

0.15h3

0.1h452015/5/10f(5)(

)5!R4

h

0通常，n階多項(xiàng)式的n階泰勒級(jí)數(shù)展開得到的結(jié)果是準(zhǔn)確的。對(duì)于其他連續(xù)可微函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)，有限級(jí)數(shù)項(xiàng)是不可能得到準(zhǔn)確結(jié)果的。每增加一項(xiàng)將使近似結(jié)果得到一定的改進(jìn)，但改進(jìn)程度不顯著。多數(shù)情況下，泰勒級(jí)數(shù)展開的實(shí)際值只需要包含少數(shù)幾項(xiàng)就可以得到非常接近真值的近似結(jié)果，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用來說足夠了。泰勒級(jí)數(shù)展開的逼近誤差數(shù)值計(jì)算方法67利用余項(xiàng)估計(jì)需要多少項(xiàng)及步長才能得到足夠接近真值的近似值？

nhf

n

1

(

)n

1R

n

1!n2015/5/10R

O(hn

1

)誤差與步長的n+1次方成比例。如果誤差的量級(jí)為

O(h)，那么步長減半就會(huì)使誤差也減半。如果誤差的量級(jí)為

O(h2

)，那么步長減半就會(huì)使誤差變?yōu)樵瓉淼乃姆种?。一般地，假定截?cái)嗾`差隨泰勒級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的增加而減小。在許多情況下，如果h足夠小，一階、二階以及其他低階項(xiàng)通常不成比例地占估計(jì)值的絕大部分。因此，只需要少數(shù)項(xiàng)就可以獲得一個(gè)足夠精確的估計(jì)值。2015/5/10數(shù)值計(jì)算方法68泰勒級(jí)數(shù)展開的逼近誤差例：利用泰勒級(jí)數(shù)展開，基于f(x)=cos(x)在

xi

/4

處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，用n=0~6共7項(xiàng)來逼近

xi

1

/3

的值。解：

h

/

3

/

4

/12階數(shù)nf(n)

x

f

/

3

百分比相對(duì)誤差0cosx0.707106781-41.41-sinx0.512986659-4.42-cosx0.4977544910.4493sinx0.4998691472.62

10-24cosx0.500007551-1.51

10-35-sinx0.500000304-6.08

10-56-cosx0.4999999882.44

10-6f

/3

0.5增加更多的項(xiàng)，誤差的改進(jìn)可以忽略不計(jì)。利用泰勒級(jí)數(shù)估計(jì)截?cái)嗾`差數(shù)值計(jì)算方法69降落傘問題：將v(t)展開成泰勒級(jí)數(shù)截去一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)以后的各項(xiàng)可得：ni

i

1 i(t

t)2

Ri2!v(t

)v(ti

1

)

v(ti

)

v

(ti

)(ti

1

t

)

v(ti

1

)

v(ti

)

v

(ti

)(ti

1

ti

)

R1v

(t)

v(ti

1 )

v(ti )

R1 i t

t t

ti

1 i i

1 i一階逼近 截?cái)嗾`差f

n

1

(

)n

1Rn

n

1

!

ht

i

1 ii

1 iR1t

t2!

v

(

)

t

O

t

t

2015/5/10i

1 ii

1 iR1t

t導(dǎo)數(shù)的近似誤差與步長成比例。如果將步長減半，則導(dǎo)數(shù)值的誤差也減半。0.5122.502468101214161.5xf(x)m=4m=3m=2m=1非線性與步長對(duì)泰勒級(jí)數(shù)逼近的影響數(shù)值計(jì)算方法70

一階泰勒級(jí)數(shù)展開：問題：

f

(x)

xm

,

m

1,

2,

3,4

x

[1,

2]ii

1 if

(x )

f(x)

mxm

1h22015/5/10341

i

2!

i

3!

i

4!f(3)(x

)f(4)(x

)R

f

(x

)h

h

h

隨著函數(shù)非線性程度的增大，一階泰勒級(jí)數(shù)逼近的誤差增大。隨著步長的減小，一階泰勒級(jí)數(shù)逼近的誤差減小。第一章

緒論數(shù)值計(jì)算方法712015/5/10課程簡介什么是數(shù)值計(jì)算方法？為什么學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法？數(shù)值計(jì)算方法的主要內(nèi)容數(shù)值計(jì)算中的誤差誤差的種類及其來源絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差有效數(shù)字與誤差舍入誤差與截?cái)嗾`差誤差的傳播與估計(jì)算法的數(shù)值穩(wěn)定性誤差傳播——單變量函數(shù)數(shù)值計(jì)算方法72假設(shè)一個(gè)函數(shù)f(x)，設(shè)

x

是x的近似值，估計(jì)x和

x

的差異對(duì)函數(shù)值的影響，即

f

x

f

x

f

x

如果f(x)連續(xù)可微，用泰勒級(jí)數(shù)計(jì)算逼近

f

x

的

f

x

2舍去二階及二階以上的項(xiàng)，并重新整理：f

x

f

x

f

x

x

x

f

x

x

x

2

f

x

f

x

f

x

x

x

或函數(shù)值的誤差估計(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)自變量的誤差估計(jì)值

f

(x

)

f

(x

) x

x

2015/5/10一階誤差傳播的圖形描述數(shù)值計(jì)算方法73xf(x)xx

真誤差估計(jì)誤差

x

x

x

2015/5/10單變量函數(shù)的誤差傳播數(shù)值計(jì)算方法74解：問題：給定一個(gè)值

x

2.5 ，其誤差為

x

0.01

，估計(jì)由此導(dǎo)致的函數(shù)值

f

(x)

x3

的誤差。

f

x

f

x

x

x

3(2.5)2

(0.01)

0.1875由于2015/5/10f(2.5)

15.625可以預(yù)測：

f

(2.5)

15.625

0.1875誤差傳播——多變量函數(shù)數(shù)值計(jì)算方法75一個(gè)具有兩個(gè)變量u和v的函數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)可以寫為舍去二階和高階項(xiàng)多變量函數(shù)22iiui

1 i

1 i ii

1i

1f

(u ,

v )

f(u,v)

f

(u

u)

f

(v

v

)

u

v

2

f

2

f 2

1

2

f

2!

(ui

1

ui

)

2

u

v(ui

1

ui)(vi

1

vi)

v2(vi

1

vi)

f(u

,v

)

f

u

f

v

u

v12015/5/102121 2 nnn

x

x

x

f(x

,x

,

,x

)

f

x

f

x

f

x

一般數(shù)學(xué)運(yùn)算的誤差傳播關(guān)系數(shù)值計(jì)算方法76運(yùn)算估計(jì)誤差加法

(u

v

)

u

v

減法

(u

v

)

u

v

乘法

(u

v

)u

v

v

u

除法

u

v

u

v

v

u

v

22015/5/10誤差傳播——例數(shù)值計(jì)算方法77初始誤差可穩(wěn)定傳播或不穩(wěn)定傳播例：用無限精度算法結(jié)合下列3個(gè)方案可遞歸生成序列中的各項(xiàng)值。

1/

3n

n

002015/5/100 10 13(2)3 333 3nnnn

1n

1n

2n

1n

2(1) r

1,r

1

rp

1,

p

1

,

p

4

p(3) q

1,

q

1

,

q

10

q,

n

1,

2,

1

p ,

n

2,

3,

q ,

n

2,

3,

誤差傳播——例數(shù)值計(jì)算方法78(2)差分方程的通解是pn

A(1/3)

Bn驗(yàn)證如下：3 32015/5/103 33 33 3n n3nn

1 n

2n

1An

21

p4

p

4

A

B

1

B

4

3

A

4

1

B

A1

B

3 3

pn設(shè)A=1且B=0，可得到期望的序列。誤差傳播——例數(shù)值計(jì)算方法79(3)差分方程的通解是pn

A(1/3)

B3n n驗(yàn)證如下：3 3 32015/5/1033 3n n3nAn

1n

2n

1 n

2n

1n

2

10

p

10

Ap

B3

B3

10

9

A

10

1

3n

2

B

A

1

B

3n

pn設(shè)A=1且B=0，可得到期望的序列。誤差傳播——例數(shù)值計(jì)算方法80

試研究每個(gè)算法的誤差傳播情況。例：用下列方法求出序列

xn

13n

的近似值。02015/5/103333n0 1 nn

1n

1n

20 1 n n

1 n

2(1) r

0.99996,r

1

r(2) p

1,

p

0.33332,

p

4

p(3) q

1,

q

0.33332,

q

10

q,

n

1,

2,

1

p ,

n

2,

3,

q ,

n

2,

3,

r0初始誤差為0.00004，p1,

q1

初始誤差為0.00001333，誤差傳播——例數(shù)值計(jì)算方法81nxnrnxn

–rn(10-4)pnxn

–pn(10-4)qnxn

–qn01.00000000000.99996000000.4000001.00000000000.0000001.00000000000.000000000010.33333333330.33332000000.1333330.33332000000.1333330.33332000000.000013333320.11111111110.11110666670.0444440.11109333330.1777780.11106666670.000044444430.03703703700.03703555560.0148150.03701777780.1925930.03690222220.000134814840.01234567900.01234518520.0049380.01232592590.1975310.01194074070.000404938350.00411522630.00411506170.0016460.00409530860.1991770.00290024690.001214979460.00137174210.00137168720.0005490.00135176950.199726-0.00227325100.003644993170.00045724740.00045722910.0001830.00043725650.199909-0.01047775030.010934997780.00015241580.00015240970.0000610.00013241880.199970-0.03265258340.032804999290.00005080530.00005080320.0000200.00003080630.199990-0.09836419450.0984149997100.00001693510.00001693440.000007-0.00000306460.199997-0.29522806480.29524499992015/5/10012345678910012x10-5x-r123456789100012x10-5x-p12345678910000.20.4x-q誤差傳播——例數(shù)值計(jì)算方法82誤差是穩(wěn)定的，且按指數(shù)級(jí)遞減誤差是穩(wěn)定的，但誤差占支配地位誤差是不穩(wěn)定的，按指數(shù)級(jí)增長2015/5/10第一章

緒論數(shù)值計(jì)算方法832015/5/10課程簡介什么是數(shù)值計(jì)算方法？為什么學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法？數(shù)值計(jì)算方法的主要內(nèi)容數(shù)值計(jì)算中的誤差誤差的種類及其來源絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差有效數(shù)字與誤差舍入誤差與截?cái)嗾`差誤差的傳播與估計(jì)算法的數(shù)值穩(wěn)定性穩(wěn)定性與條件數(shù)數(shù)值計(jì)算方法84f

x

f

x

f

x

x

xxPf

x

K

xf

x

f

x

f

x

f

x

x x

xKP

1病態(tài)問題y=f(x)2015/5/10xx

yy

x

x(1

)y

y(1

)穩(wěn)定性與條件數(shù)數(shù)值計(jì)算方法85一個(gè)算法如果原始數(shù)據(jù)有誤差，而計(jì)算過程舍入誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則，若誤差增長，則稱算法是不穩(wěn)定的（numerically

unstable）。（輸入值的不確定性通過數(shù)值方法在總體上是放大的）條件數(shù)（condition

number）定義為相對(duì)誤差之比：f(x)與x的相對(duì)誤差分別為條件數(shù)為條件數(shù)體現(xiàn)了x的不確定性被f(x)放大程度。如果條件數(shù)等于1，表示函數(shù)的相對(duì)誤差等于x的相對(duì)誤差，如果條件數(shù)大于1，表示相對(duì)誤差被放大了，而條件數(shù)小于1，表示相對(duì)誤差減小了。條件數(shù)非常大(大于等于10)的函數(shù)稱為病態(tài)（ill-conditioned）函數(shù)。f(x)

f(x

)

f

x

x

x

f

(x

) f

(x

)x

x

x

x

f

x

f

(x

)2015/5/10問題條件數(shù)與算法條件數(shù)數(shù)值計(jì)算方法86例：問題條件數(shù)f

(x)

x2

1

xx

100

f

(x)

0.5

10

2xf

(x)

1x2

1f

x

f

x

f

x

1

0.1

103

0算法A：4位有效數(shù)字x

0.1

103

f

(x

)

(0.1000

0.00001)

105

x

x

1101

t

110

3x 2 2KP

1

KA

2000算法條件數(shù)，改善方法：提高精度，重寫算法算法B：f

(x)

1 x2

1

x

0.5

10

210.1

103

0.1

103f(x

)

0

KA

0

12015/5/10(當(dāng)x>>1時(shí))總的數(shù)值誤差數(shù)值計(jì)算方法872015/5/10截?cái)嗾`差和舍入誤差之和通常，最小化舍入誤差的方法是增加計(jì)算機(jī)的有效數(shù)字個(gè)數(shù)縮短步長使截?cái)嗾`差減小但縮短步長可能導(dǎo)致減性抵銷或增加計(jì)算量，使舍入誤差增大大多數(shù)計(jì)算機(jī)可以表示足夠多的有效數(shù)字，因此舍入誤差不會(huì)占主導(dǎo)地位避免誤差危害的原則數(shù)值計(jì)算方法882015/5/10選擇數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算方法，避開不穩(wěn)定的算式。注意簡化計(jì)算步驟及公式，設(shè)法減少運(yùn)算次數(shù)；選用運(yùn)算次數(shù)少的算式，尤其是乘方冪次要低，以減少舍入誤差，同時(shí)可節(jié)約計(jì)算機(jī)的機(jī)時(shí)。合理安排計(jì)算順序，防止大數(shù)“淹沒”小數(shù)。多個(gè)數(shù)相加時(shí)，最好從絕對(duì)值最小的數(shù)到絕對(duì)值最大的數(shù)依次相加；多個(gè)數(shù)相乘時(shí)，最好從有效位數(shù)最多的數(shù)到有效位數(shù)最少的數(shù)依次相乘。避免兩相近數(shù)相減。避免用絕對(duì)值很小的數(shù)作為除數(shù)。第一部分

總結(jié)（一）數(shù)值計(jì)算方法892015/5/10數(shù)學(xué)問題的類型數(shù)值方法的特點(diǎn)穩(wěn)定性準(zhǔn)確性與精確性收斂速度第一部分

重要關(guān)系數(shù)值計(jì)算方法902015/5/10誤差真誤差真百分比相對(duì)誤差近似百分比相對(duì)誤差停止準(zhǔn)則泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開余項(xiàng)誤差傳播Matlab基礎(chǔ)數(shù)值計(jì)算方法912015/5/10Arithmetic

Operations

（算術(shù)符號(hào)）Built-in

Functions（內(nèi)建函數(shù)）Assignment

Statements（賦值語句）DefiningFunction（函數(shù)定義）Matrices（矩陣）Matrix

Operations（矩陣運(yùn)算）Array

Operations（數(shù)組運(yùn)算）Graphics（圖形）Loops

and

Conditionals（循環(huán)和條件）Programs（程序）插值和擬合數(shù)值計(jì)算方法1舉例數(shù)值計(jì)算方法2t(s)v(t)(m/s)0010227.0415362.7820517.3522.5602.9730901.672016/6/12已知火箭在幾個(gè)不同時(shí)刻的速度如下表所示，求t=16時(shí)的速度？插值和擬合數(shù)值計(jì)算方法3(a)

用直線段連接這些點(diǎn)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布接近線性或彼此距離很近(b)

用曲線描述了數(shù)據(jù)所具有的局部變化趨勢(c)

體現(xiàn)了數(shù)據(jù)總體的趨勢最小二乘回歸線性插值非線性插值2016/6/12插值和擬合——概述數(shù)值計(jì)算方法4x0x1x2x3x4x問題：有的函數(shù)雖有表達(dá)式，但較復(fù)雜，也可用簡單的函數(shù)g(x)來逼近它某些變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f(x)存在，但沒有f(x)的解析式，y=f(x)以函數(shù)表格或曲線形式給出要求：根據(jù)函數(shù)表推算該函數(shù)在某些點(diǎn)上的函數(shù)值。解決與該函數(shù)有關(guān)的一些問題，如分析函數(shù)的性態(tài)，研究y=f(x)的變化規(guī)律，求導(dǎo)數(shù)、積分、零點(diǎn)與極值點(diǎn)等。g(x)

f(x)xx0x1…xnf(x)y0y1…yn2016/6/12插值和擬合——概述數(shù)值計(jì)算方法52016/6/12數(shù)學(xué)函數(shù)的逼近問題高精度快速計(jì)算建立實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型只要求適度的精度插值擬合不要求過所有的點(diǎn)（可以消除誤差影響）盡可能表現(xiàn)數(shù)據(jù)的趨勢，靠近這些點(diǎn)用某個(gè)簡單函數(shù)在滿足一定條件下在某個(gè)范圍內(nèi)近似代替另一個(gè)較為復(fù)雜或者解析表達(dá)式未給出的函數(shù)，以便于簡化對(duì)后者的各種計(jì)算或揭示后者的某些性質(zhì)。本章內(nèi)容數(shù)值計(jì)算方法62016/6/12插值插值問題Lagrange插值多項(xiàng)式Newton插值多項(xiàng)式分段低次插值樣條插值擬合最小二乘方法插值問題數(shù)值計(jì)算方法7插值函數(shù)y=f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，

x0,x1,…,xn是[a,b]上的n+1個(gè)互異的點(diǎn)，且在這些點(diǎn)處函數(shù)值yi=f(xi)已知

為給定的某一函數(shù)類（性質(zhì)優(yōu)良、便于計(jì)算）g(xi)

=yi (i=0,1,…,n)插值節(jié)點(diǎn)插值區(qū)間插值條件插值函數(shù)類插值函數(shù)基本問題是否存在唯一如何構(gòu)造誤差估計(jì)插值函數(shù)類代數(shù)多項(xiàng)式有理函數(shù)三角函數(shù)ninia

xg(x)

i

0

1n,m

m 0mPn

x

x

0 1 n p

px

p

xnQ

x

q

qx

q

xm多項(xiàng)式插值被插函數(shù)2016/6/12有理函數(shù)：選取有理函數(shù)（多項(xiàng)式的商）作為插值函數(shù)。i

ina

xi

0P(x)

mnQm

x

x q0

q1x

qmx

P

x

p

px

p

xn0 1 nn,m有理插值可使區(qū)間內(nèi)插值誤差分布較為均勻，特別適用于某些被插函數(shù)具有無窮大間斷點(diǎn)的附近，這種情況下若用多項(xiàng)式逼近效果很差。三角函數(shù)：選取正弦和余弦等三角函數(shù)作為插值函數(shù)。=> 選擇不同的函數(shù)類作為插值函數(shù)逼近f(x)，其效果是不同的，因此需要根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的插值函數(shù)。插值問題插值函數(shù)類代數(shù)多項(xiàng)式：選取多項(xiàng)式Pn(x)作為插值函數(shù)，Pn(x)稱為插值多項(xiàng)式。n插值函數(shù)存在唯一定理數(shù)值計(jì)算方法9特點(diǎn)：與插值節(jié)點(diǎn)有關(guān)與原函數(shù)f(x)無關(guān)基函數(shù)個(gè)數(shù)與點(diǎn)個(gè)數(shù)相同g(x)

a0

0

(x)

an

n

(x)g(xi

)

f

(xi

)

a0

0

(xi

)

an

n

(xi

)

f(x0

)

0(x0

)

0(xn)

n(xn)

an

f(xn

)

n(x0)

a0

a0

an

有唯一解0 n2016/6/12n n

(x

)

(x

)

0

(x0

)

n(x0

)

0

設(shè)則則

定理：為n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)，n+1維空間，則插值函數(shù)存在唯一，當(dāng)且僅當(dāng)

nixi

0

span{

0

,

1

,

n

}

0(x0

)

0(xn

)插值函數(shù)存在唯一定理數(shù)值計(jì)算方法102016/6/12

n(x0

)

0

n(xn

)插值多項(xiàng)式存在唯一性數(shù)值計(jì)算方法11若插值節(jié)點(diǎn)互異，則存在唯一的多項(xiàng)式Pn(x)使f(xi)=Pn(xi) i=0,1,…,nn

P

(x)

span{1,

x,

x2

,

xn

}02016/6/1200i jn n n1 xx2 xnx2xnx2xnn i

1i

1 j

0V

(x

x

)

1 x1 1

1

1 x

n+1階范德蒙(Vandermonde)行列式本章內(nèi)容數(shù)值計(jì)算方法122016/6/12插值插值問題Lagrange插值多項(xiàng)式Newton插值多項(xiàng)式分段低次插