2021年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一真題

2021年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一真題(總分：150.00，做題時(shí)間：180分鐘)一、選擇題(總題數(shù)：10，分?jǐn)?shù)：50.00)1.函數(shù)，在x=0處（

）。

（分?jǐn)?shù)：5.00）

A.連續(xù)且取極大值

B.連續(xù)且取極小值

C.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為0

D.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為0

（正確答案）解析：因?yàn)椋蔲(x)在x=0處連續(xù)；

正確答案為D。2.設(shè)函數(shù)f（x,y）可微，且f（x+1，ex）=x（x+1）2，f（x，x2）=2x2lnx，則df（1，1）=（

）。

（分?jǐn)?shù)：5.00）

A.dx+dy

B.dx1dy

C.dy

（正確答案）

D.-dy解析：3.設(shè)函數(shù)在x=0處的3次泰勒多項(xiàng)式為ax+bx2+cx3，則（

）。

（分?jǐn)?shù)：5.00）

A.

（正確答案）

B.

C.

D.解析：根據(jù)麥克勞林公式有

故，本題選A。4.設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，則（

）。

（分?jǐn)?shù)：5.00）

A.

B.

（正確答案）

C.

D.解析：由定積分的定義知，將（0,1）分成n份，取中間點(diǎn)的函數(shù)值，則故選B。5.二次型f（x1,x2,x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)依次為（

）。

（分?jǐn)?shù)：5.00）

A.2,0

B.1,1

（正確答案）

C.2,1

D.1,2解析：f（x1,x2,x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2=2x22+2x1x2+2x2x3+2x1x3

令上式等于零，故特征值為-1，3，0，故該二次型的正慣性指數(shù)為1，負(fù)慣性指數(shù)為1。故應(yīng)選B。6.已知，記β1=α1，β2=α2-kβ1，β3=α3-l1β1-l2β2，若β1，β2，β3兩兩正交，則l1，l2依次為（

）。

（分?jǐn)?shù)：5.00）

A.

（正確答案）

B.

C.

D.解析：利用斯密特正交化方法知

7.設(shè)A，B為n階實(shí)矩陣，下列不成立的是（

）。

（分?jǐn)?shù)：5.00）

A.

B.

C.

（正確答案）

D.解析：

8.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且0＜P（B）＜1，下列命題中不成立的是（

）。

（分?jǐn)?shù)：5.00）

A.

B.

C.

D.

（正確答案）解析：

故正確答案為D。9.設(shè)（X1,Y1）,（X2,Y2）,...,（Xn,Yn）為來(lái)自總體N的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，令則（

）。

（分?jǐn)?shù)：5.00）

A.

B.

C.

（正確答案）

D.解析：因?yàn)閄,Y是二維正態(tài)分布，所以也服從二維正態(tài)分布，即故正確答案為C。10.設(shè)X1,X2...,X16是來(lái)自總體N（μ,4）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，考慮假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：H:μ≤10,H:μ＞10。Φ（x）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，若該檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)?，其中，則μ=11.5時(shí)，該檢驗(yàn)犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率為（

）。

（分?jǐn)?shù)：5.00）

A.1-Φ（0.5）

B.1-Φ（1）

（正確答案）

C.1-Φ（1.5）

D.1-Φ（2）解析：所求概率為

故本題選B。二、填空題(總題數(shù)：6，分?jǐn)?shù)：30.00)11.________。

（分?jǐn)?shù)：5.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：）解析：12.設(shè)函數(shù)y=y（x）由參數(shù)方程________。

（分?jǐn)?shù)：5.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：）解析：13.歐拉方程x2y"

+xy'-4y=0滿足條件y(1)=1,y'(1)=2得解為y=________。

（分?jǐn)?shù)：5.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：x2）解析：14.設(shè)Σ為空間區(qū)域{（x，y，z）|x2+4y2≤4，0≤z≤2}表面的外側(cè)，則曲面積分________。

（分?jǐn)?shù)：5.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：4π）解析：由高斯公式得原式=15.設(shè)A=aij為3階矩陣，Aij為代數(shù)余子式，若A的每行元素之和均為2，且|A|

=3，A11+A21+A31=________。

（分?jǐn)?shù)：5.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：）解析：16.甲乙兩個(gè)盒子中各裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙盒中，再?gòu)囊液兄腥稳∫磺?令X,Y分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個(gè)數(shù)，則X與Y的相關(guān)系數(shù)________。

（分?jǐn)?shù)：5.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：）解析：三、解答題(總題數(shù)：6，分?jǐn)?shù)：70.00)17.求極限

（分?jǐn)?shù)：10.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：()解析：18.設(shè)

（分?jǐn)?shù)：12.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：()解析：19.已知曲線，求C上的點(diǎn)到xoy坐標(biāo)面距離的最大值。

（分?jǐn)?shù)：12.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：()解析：設(shè)D?R是有界單連通閉區(qū)域，取得最大值的積分區(qū)域記為D1。（分?jǐn)?shù)：12）(1).求

I(D1)的值.（分?jǐn)?shù)：5）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(由二重積分的幾何意義知：大于0時(shí)，I(D)達(dá)到最大，)解析：(2).（分?jǐn)?shù)：7）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(補(bǔ)D2:x2+4y2=r2（r很小），取D2的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍?/p>

)解析：已知（分?jǐn)?shù)：12）(1).求正交矩陣P，使得PTAP為對(duì)角矩陣。（分?jǐn)?shù)：6）__________________________________________________________________________________________

正確答案：()解析：(2).求正定矩陣C，使得C2=（a+3）E-A。（分?jǐn)?shù)：6）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(

)解析：在區(qū)間（0,2）上隨機(jī)取一點(diǎn)，將該區(qū)間分成兩段，較短的一段長(zhǎng)度記為X，較長(zhǎng)的一段長(zhǎng)度記為Y，令（分?jǐn)?shù)：12）(1).求X的概率密度。（分?jǐn)?shù)：3）__________________________________________________________________________________________

正確答案：()解析：(2).求Z的概率密度。（分?jǐn)?shù)：6）____________________________________________