考研數(shù)學二分類模擬250

考研數(shù)學二分類模擬250解答題1.

設f(x)為偶函數(shù)，且f'(-1)=2，求．正確答案：解：因為f(x)為偶函數(shù)，所以f'(x)為奇函數(shù)，于是f'(1)=-2．

[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅰ)

2.

求微分方程y"'-x-ex=0，滿足y(0)=1，y'(0)=1，y"(0)=2的解．正確答案：解：將方程改寫為y"'=x+ex，積分得

再積分得

繼續(xù)積分得

[考點]常微分方程

3.

證明：若xn＞0(n=1，2，…)且存在，則．正確答案：證明：記，則an＞0且，

因此

[考點]極限、連續(xù)及其應用

4.

求微分方程(x-2y)dy=2ydx的通解．正確答案：解：．令，則，則．

化簡得

即

積分得．將代入原方程的通解為y=C(x+2y)2．[考點]常微分方程

5.

設四階矩陣B滿足，且，求矩陣B.正確答案：解：|A|=4，

[考點]矩陣

6.

．正確答案：解：．

設，通分后應有5x2-6x+1≡A(x-2)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x-2)．在這恒等式中，令x=0，得1=6A，；令x=2，得9=-2B，；令x=3，得28=3C，．于是

[考點]不定積分、定積分、反常積分

設向量α=(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A=ααT．7.

求方程組Ax=0的通解；正確答案：解：因為r(A)=1，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系含有n-1個線性無關(guān)的特征向量，其基礎(chǔ)解系為

則方程組Ax=0的通解為k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1(k1，k2，…，kn-1為任意常數(shù))．[考點]特征值、特征向量及二次型

8.

求A的非零特征值及其對應的線性無關(guān)的特征向量．正確答案：解：因為A2=kA，其中，所以A的非零特征值為k，因

Aα=ααTα=kα

所以非零特征值k對應的線性無關(guān)的特征向量為α．[考點]特征值、特征向量及二次型

9.

設求f'(x)．正確答案：解：顯然f(x)在x=-1處不連續(xù)，故也不可導；又因為

所以f(x)在x=1處也不可導，故

[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅰ)

10.

求的導數(shù)．正確答案：解：原方程兩邊取對數(shù)，得

上式兩邊同時對x求導，得

于是

[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅰ)

11.

討論曲線y=4lnx+k與y=4x+ln4x的交點個數(shù)．正確答案：解：設f(x)=4x+ln4x-4lnx-k(x＞0)，則

令f'(x)=0，則得x=1．

當0＜x＜1時，f'(x)＜0，則f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減；

當x＞1時，f'(x)＞0，則f(x)在(1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增．

故f(1)=4-k為函數(shù)f(x)的最小值．所以：

當f(1)＞0時，即k＜4時，f(x)無零點，即兩曲線無交點；

當f(1)=0時，即k=4時，f(x)有唯一零點，即兩曲線有唯一交點；

當f(1)＜0時，即k＞4時，由于

因此f(x)分別在(0，1)，(1，+∞)內(nèi)各有一個零點，即兩曲線有兩個交點．[考點]一元函數(shù)微積分

12.

設A，B，C均為n階方陣，證明

正確答案：證明：

[考點]矩陣、向量、方程組

13.

求方程的通解．正確答案：解：令u=x+y，則，從而原方程化為．

分離變量得，積分得

即．

代入u=x+y得原方程的通解為．[考點]常微分方程

14.

．正確答案：解：設，則x=t6，dx=6t5dt．代入得

[考點]不定積分、定積分、反常積分

15.

設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上滿足

|f(x)-f(y)|≤M|x-y|α①

其中M＞0，α＞1為常數(shù)，證明：f(x)在[a，b]上恒為常數(shù)．正確答案：證明：由式①可得

對，固定x，令y→x，由式②及夾逼準則，得

即f'(x)=0，因此f(x)在[a，b]上恒為常數(shù)．[考點]一元函數(shù)微積分

16.

設，-1＜x＜1，證明：．正確答案：證明：令，則當x≠0時

故可設F(x)=C．當x=0時，顯然有φ(0)=0，且

從而φ(x)在x=0處連續(xù)，于是F(x)在x=0處也連續(xù)．故C=F(0)=0，所以，x∈(-1，1)．[考點]一元函數(shù)微積分

17.

已知線性方程紹的系數(shù)矩陣的秩等于矩陣的秩，證明：方程組有解．正確答案：證明：β=(b1，b2，…，bn)T，，已知r(B)=r(A)，故有r(A，β)=r(A)，于是Ax=β有解．[考點]線性方程組

判斷下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)．如果線性相關(guān)，試找出其中一個向量，使得它可以由其余向量線性表出，并且寫出它的一種表達式．18.

；正確答案：解：考慮齊次線性方程組x1α1+x2α2+x3α3=0，把它的系數(shù)矩陣經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣

由于階梯形矩陣的非零行數(shù)目3等于未知量的數(shù)目，因此原齊次線性方程組只有零解．從而α1，α2，α3線性無關(guān)．[考點]向量

19.

．正確答案：解：考慮齊次線性方程組x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0．

原齊次線性方程組有非零解．從而α1，α2，α3，α4線性相關(guān)．方程組的一般解公式為

x4是自由未知量．取x4=1，得x1=1，x2=1，x3=-1．從而α1+α2-α3+α4=0．則α3=α1+α2+α4．[考點]向量

設A是n階矩陣，且滿足A2=A(此時A稱為冪等矩陣)．20.

求A的特征值的取值范圍；正確答案：解：設A有特征值λ，則A2-A有特征值λ2-λ．由A2-A=0，得λ2-λ=0，故λ=0或λ=1．[考點]特征值與特征向量

21.

證明：E+A是可逆矩陣．正確答案：證明：由第一小題知，滿足A2=A的矩陣A的特征值的取值是{0，1}，E+A的特征值的取值是{1，2}，均不為0，故|E+A|≠0(或假設|E+A|=0，則-1是A的特征值，這與第一小題中的結(jié)論矛盾)，故E+A是可逆矩陣．[考點]特征值與特征向量

22.

設n階矩陣A有n個互不相同的特征值，且AB=BA.證明：A的特征向量也是B的特征向量．正確答案：證明：設A的一個特征向量ξ，對應的特征值為λ，即

Aξ=λξ

上式左邊乘B，得BAξ=ABξ=λBξ，即A(Bξ)=λ(Bξ