考研數(shù)學二分類模擬265

考研數(shù)學二分類模擬265解答題1.

設函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)，f(1)=1，若對任意的正數(shù)a，b，積分與a無關，求不定積分∫f(ex+1)dx．正確答案：解：(1)令由題意知F'(a)=f'(ab)b-f(a)=0，即f(ab)b=f(a)．取a=1，又f(1)=1，所以f(b)b=1(b＞0)，即

(2)

[考點]定積分的性質(zhì)及不定積分求解．

[解析]先根據(jù)變限積分的求導公式確定被積函數(shù)的表達式，然后求解不定積分．

這是變限積分性質(zhì)和不定積分綜合運算的題目，要理解變限積分與積分變量無關，其導函數(shù)為零．

2.

求不定積分∫x3ln(1+x)dx.正確答案：解：

[考點]冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(反三角函數(shù))乘積的不定積分求解．

[解析]分部積分法．

(1)形如∫xnlmxdx，取u(x)=lnmx，v(x)=xn．

(2)形如∫xnarctanxdx，∫xnarccotxdx，∫xnarcsinxdx，∫xnarccosxdx，取u(x)為反三角函數(shù)，v(x)=xn．

3.

求當x＞0，y＞0，z＞0時，函數(shù)f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz在球面x2+y2+z2=5r2上的最大值，并利用上述結(jié)果證明：對任意正數(shù)a，b，c，有正確答案：解：設L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x2+y2+z2-5r2)，令

解得唯一可能的極值點

由題意，當x＞0，y＞0，z＞0時f(x，y，z)在x2+y2+z2=5r2上有最大值，故最大值為

于是，從而x2y2z6≤27r10.

令x2=a，y2=b，z2=c，又由于x2+y2+z2=5r2，故

[考點]多元函數(shù)的條件極值，證明不等式．

[解析]本題應先用拉格朗日乘數(shù)法求條件最值，再通過換元來證明不等式．

求函數(shù)極限：4.

．正確答案：解：令x=t+1，則[考點]函數(shù)在一點處的極限求解．

[解析]變量代換求解函數(shù)極限．

當x→x0≠0時的極限不易求解時，可先作變換，將t=x-x0化為t→0，再運用常用等價無窮小代換簡化求解過程．

5.

正確答案：解：令x=t+1，則

又

[考點]函數(shù)在一點處的極限求解．

6.

已知函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)可導，f(x)＞0，，且滿足，求f(x)．正確答案：解：由知

[考點]冪指函數(shù)極限的計算，導數(shù)定義與微分方程的綜合題．

[解析]利用導數(shù)定義，可根據(jù)得到一個微分方程，解此方程便能求出f(x)．

7.

設向量組(A)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T，向量組(B)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T，問：

(1)當a滿足什么條件時，向量組(A)與(B)等價?

(2)當a滿足什么條件時，向量組(A)與(B)不等價?正確答案：解：記P=(α1，α2，α3)，Q=(β1，β2，β3)，對P，Q進行初等行變換，化為階梯形，有

由此可知β1，β2，β3線性無關．

(1)當a≠-2時，顯然P，Q可逆，從而向量組(A)與(B)等價．

(2)當a=-2時，由于r(P)=2，r(Q)=3，所以向量組(A)與(B)不等價．[考點]向量組的等價．

[解析]利用向量組等價的充分必要條件求解．

注意到向量組(B)，即

β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+b)T，β3=(2，1，a+4)T

是線性無關的，所以是否等價的問題就變成了向量組(A)，即

α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T

是否線性無關的問題．

8.

計算不定積分正確答案：解：解法1令t=arctanx，則

解法2

[考點]不定積分的綜合運算．

[解析]換元法結(jié)合分部積分法求不定積分．

在對復雜函數(shù)的不定積分求解時，應仔細分析被積函數(shù)的特點，利用恒等變形或變量代換簡化解題過程．

設f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，且9.

求F'(x)(x≠0)．正確答案：解：將原式改寫為

由變限積分的性質(zhì)和可導性運算法則可知，當x≠0時，

[考點]積分上限函數(shù)性質(zhì)的應用．

[解析]利用變限積分的可導性判斷單調(diào)性．

對于變限積分還應知道F(a)=0，

10.

證明：F(x)在x=0處連續(xù)，且若f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，則F(x)在(-∞，0]上單調(diào)增加，在[0，+∞)上單調(diào)減少．正確答案：證明：現(xiàn)考察

即F(x)在x=0處連續(xù)．

再由第一問知，當x≠0時，

其中則有

于是

F'(x)＜0(x＞0)，F(xiàn)'(x)＞0(x＜0).

因此，F(xiàn)(x)在(-∞，0]上單調(diào)增加，在[0，+∞)上單調(diào)減少．[考點]積分上限函數(shù)性質(zhì)的應用．

11.

證明：F(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有連續(xù)的導數(shù)．正確答案：證明：由變限積分的性質(zhì)、連續(xù)性運算法則及當x≠0時F'(x)的表達式可知，當x≠0時F'(x)連續(xù)．又

故F'(x)在x=0處連續(xù)．

因此，F(xiàn)'(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)．[考點]積分上限函數(shù)性質(zhì)的應用．

12.

設z=z(x，y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x，y)的極值點和極值．正確答案：解：兩邊分別對x和y求偏導數(shù)，得

對式①中兩式的兩邊分別再對x和y求偏導數(shù)，得

把x=9，y=3，z=3代入式②的各式中，得

由于且A＞0，故z(9，3)=3是z(x，y)的極小值．

把x=-9，y=-3，z=-3代入式②的各式中，得

由于且A＜0，故z(-9，-3)=-3是z(x，y)的極大值．[考點]求多元函數(shù)的極值．

[解析]本題可先后利用二元函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件求極值．

13.

已知f(x)是周期為5的連續(xù)函數(shù)，在x=0的某鄰域內(nèi)滿足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)，f(x)在x=1處可導，求y=f(x)在x=6處的切線方程．正確答案：解：由條件可知

因f(x)連續(xù)，故，即f(1)=0，從而

所以f'(1)=2．因f(x)以5為周期，故f(6)=0，f'(x)仍以5為周期，即f'(6)=2．

于是切線方程為y-f(6)=f'(6)(x-6)，即y=2(x-6)．[考點]高階無窮小及導數(shù)的定義及其幾何意義．

[解析]根據(jù)高階無窮小的定義轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限求解問題，利用導數(shù)的定義證明可導性．

熟記無窮小階的比較的定義，掌握周期函數(shù)、奇偶函數(shù)導函數(shù)的性質(zhì)．

14.

求函數(shù)f(x)=x2ln(1+x)在x=0處的n階導數(shù)f(n)(0)(n≥3)．正確答案：解：因為

所以

由泰勒公式的唯一性知，xn的系數(shù)

可得[考點]初等函數(shù)高階導數(shù)值求解．

[解析]利用泰勒公式求解．

當泰勒多項式的次數(shù)確定時，函數(shù)展成的泰勒公式是唯一的，可通過xn的系數(shù)反向求解高階導數(shù)值．

設A=(α1，α2，α3，α4)是4階方陣，非齊次線性方程組Ax=b的通解為(-1，1，0，2)T+k(1，-1，2，0)T.15.

問b能否由α1，α2，α3線性表示?正確答案：解：假設可以，即β=k1α1+k2α2+k3α3，則(k1，k2，k3，0)T是Ax=β的解，從而

(k1，k2，k3，0)T-(-1，1，0，2)T=(k1+1，k2-1，k3，-2)T

就是Ax=0的解．但是顯然(k1+1，k2-1，k3，-2)T與(1，-1，2，0)T線性無關，所以，不可以．[考點]對非齊次線性方程組和線性關系的綜合考查．

[解析]通過條件所給的方程組解的信息，得到系數(shù)矩陣和增廣矩陣的列向量之間的線性關系，從而求解．

線性方程組和向量的線性關系都屬于線性理論，因此經(jīng)常綜合考查這兩個內(nèi)容，即從知識點上做創(chuàng)新．

16.

求向量組α1，α2，α3，α4，b的一個極大無關組．正確答案：解：因(-1，1，0，2)T是Ax=β的解，即β=-α1+α2+2α4；因(1，-1，2，0)T是Ax=0的解，即α1-α2+α3=0．所以，β和α3都可由α1，α2，α4線性表示．又r(α1，α2，α3，α4，β)=r(α1，α2，α3，α4)=3，所以，α1，α2，α4是極大無關組．[考點]對非齊次線性方程組和線性關系的綜合考查．

17.

設函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程確定，其中φ(t)具有二階導數(shù)，且，求函數(shù)φ(t)．正確答案：解：由已知條件可得即(t+1)φ"(t)-φ'(t)=3(t+1)2．又φ'(1)=6，令P=φ'(t)，得(t+1)P'-P=3(t+1)2，即，此方程為一階線性非齊次微分方程，其通解為

由P(1)=6得C1=0，P=3t(t+1)，即φ'(t)=3t(t+1)，積分得再由可得C2=0，所以．[考點]參數(shù)方程求導法及微分方程．

[解析]參數(shù)方程求導轉(zhuǎn)化為微分方程求解問題．

這是參數(shù)方程求導法及微分方程的綜合應用問題．

18.

已知常數(shù)k≥ln2-1，證明：(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)≥0．正確答案：證明：令f(x)=x-ln2x+2klnx-1，只需證明

用單調(diào)性證明．對于f(x)，有

現(xiàn)只需考察g(x)=x-2lnx+2k．因為

所以g(x)≥g(2)=2(1-ln2+k)≥0(x＞0)，從而f'(x)≥0(x＞0)，f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)不減，由于因此

(x-1)f(x)=(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)≥0.[考點]不等式證明．

[解析]借助輔助函數(shù)利用單調(diào)性證明不等式．

19.

在拋物線y=x2(第一象限部分)上求一點，使過該點的切線與直線y=0，x=8相交所圍成的三角形的面積最大．正確答案：解：由題意得過拋物線上第一象限部分任一點(t，t2)的切線方程為y-t2=2t(x-t)，0≤t≤8，從而求得它與y=0的交點為，與x=8的交點為(8，-t2+16t)，它們圍成的三角形的面積為

于是，可得令S'(t)=0，得駐點比較S(0)=0，S(8)=128，知最大值為故拋物線y=x2過點的切線與直線y=0，x=8相交所圍成的三角形的面積最大．[考點]實際問題的最值求解．

[解析]把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題．

20.

求極限正確答案：解：

[考點]復雜冪指函數(shù)求極限．

[解析]利用微分中值定理求極限．

微分中值定理是求極限的重要方法之一．

21.

設A為3階矩陣，λ1，λ2，λ3是互異的特征值，α1，α2，α3是對應的特征向量．證明：A(α1+α2)，A(α2+α3)，A(α3+α1)線性無關的充分必要條件是A可逆．正確答案：解：A(α1+α2)，A(α2+α3)，A(α3+α1)線性無關

λ1α1+λ2α2，λ2α2+λ3α3，λ1α1+λ3α3線性無關

[考點]線性相關性的證明．

[解析]利用表示矩陣判別線性相關性．

表示矩陣在解決抽象向量組的問題時發(fā)揮著重要作用．

設n維向量組α1，α2，…，αm線性無關，且向量組β1，β2，…，βs可由α1，α2，…，αm線性表示，即存在m×s的矩陣C滿足(β1，β2，…，βs)=(α1，α2，…，αm)C，則r(β1，β2，…，βs)=r(C)．這里矩陣C稱為表示矩陣．

22.

設函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且f(0)=0，．證明：存在，使f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2．正確答案：證明：作輔助函數(shù)，對F(x)分別在上應用拉格朗日中值定理．使得，兩式相加即得f'(ξ)-ξ2+f'(η)-η2=0，即f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2.[考點]拉格朗日中值定理的應用．

[解析]構(gòu)造輔助函數(shù)，利用拉格朗日中值定理證明．

設曲線弧y=sinx(0＜x＜π)．求：23.

曲線弧的最小曲率半徑．正確答案：解：由于y'=cosx，y"=-sinx，因此曲線在任意一點處的曲率為

記