考研數(shù)學(xué)二分類模擬題83

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題83一、填空題1.

設(shè)函數(shù)則函數(shù)f[f(x)]=______．正確答案：1[解析]由知，對(duì)一切的x，|f(x)|≤1，則f[f(x)]=1．

函數(shù)的復(fù)合是一種重要的運(yùn)算，求兩個(gè)分段函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]，實(shí)際上就是將u=g(x)代入y=f(u)中，關(guān)鍵是搞清楚u=g(x)的函數(shù)值落在y=f(u)定義域的哪一部分．

2.

正確答案：e-3．[解析]這是“1∞”型，直接有．

3.

正確答案：0[解析]，而

故e0=1．

最后一步的極限是使用洛必達(dá)法則計(jì)算，即，這是一個(gè)重要極限，在后來考題中多次出現(xiàn)．

4.

正確答案：．[解析]

5.

．正確答案：-1[解析]由于則

6.

正確答案：0[解析]當(dāng)x→0時(shí)，，原式

7.

正確答案：0[解析]

8.

正確答案：2[解析]解法1

由于x→∞時(shí)，

則．同理可得．原式=3-1=2．

解法2

其中第一個(gè)等號(hào)是對(duì)f(x)=sinx使用了拉格朗日中值定理，此時(shí)ξ介于之間，當(dāng)x→∞時(shí)，容易看出ξ→0，于是cosξ→1．

9.

正確答案：．[解析]

10.

正確答案：．[解析]

11.

正確答案：．[解析]

二、選擇題1.

f(x)=|xsinx|ecosx(-∞＜x＜+∞)是A.有界函數(shù)．B.單調(diào)函數(shù)．C.周期函數(shù)．D.偶函數(shù)．正確答案：D[解析]由于f(-x)=|-xsin(-x)|ecos(-x)=|xsinx|ecosx=f(x)，則f(x)為偶函數(shù)．

2.

函數(shù)f(x)=xsinxA.當(dāng)x→∞時(shí)為無窮大．B.在(-∞，+∞)內(nèi)有界．C.在(-∞，+∞)內(nèi)無界．D.當(dāng)x→∞時(shí)有有限極限．正確答案：C[解析]由于f(2kπ)=2kπsin2kπ=0，．則f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)無界，但x→∞時(shí)，f(x)不是無窮大，也沒有有限極限．則應(yīng)選C．

要正確區(qū)分無窮大量與無界變量的區(qū)別與聯(lián)系，無窮大量一定是無界變量，但反之不對(duì)；常見的是無界變量但不是無窮大量的有：x→0時(shí)，；x→∞時(shí)，xsinx．

3.

設(shè)則

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]

4.

當(dāng)x→0時(shí)，變量是A.無窮?。瓸.無窮大．C.有界的，但不是無窮小的．D.無界的，但不是無窮大．正確答案：D[解析]取

取

則當(dāng)x→0時(shí)，是無界的，但不是無窮大．

5.

設(shè)函數(shù)則g[f(x)]=

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]根據(jù)g(x)的定義知，復(fù)合函數(shù)

而x＜0時(shí)，f(x)=x2＞0；x≥0時(shí)，f(x)=-x≤0．故

6.

設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則A.當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是偶函數(shù)．B.當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是奇函數(shù)．C.當(dāng)f(x)是周期函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是周期函數(shù)．D.當(dāng)f(x)是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是單調(diào)增函數(shù)．正確答案：A

7.

設(shè)則f{f[f(x)]}=

A．0．

B．1．

C．

D．正確答案：B[解析]由于f(x)≤1，故f[f(x)]=1，因而

f{f[f(x)]}=1．

8.

設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，“”表示“M的充分必要條件是N”，則必有

A．F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．

B．F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．

C．F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù)．

D．F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)．正確答案：A

9.

設(shè)數(shù)列xn與yn滿足，則下列斷言正確的是

A．若xn發(fā)散，則yn必發(fā)散．

B．若xn無界，則yn必有界．

C．若xn有界，則yn必為無窮?。?/p>

D．若為無窮小，則yn必為無窮小．正確答案：D[解析]直接法．由于，則，選D．

排除法．取xn=n，yn≡0，n=1，2，…，排除A；

取，排除B；

取，排除C．

10.

“對(duì)任意給定的ε∈(0，1)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)，n≥N時(shí)，恒有|xn-a|≤2ε”是數(shù)列{xn}收斂于a的A.充分條件但非必要條件．B.必要條件但非充分條件．C.充分必要條件．D.既非充分條件又非必要條件．正確答案：C[解析]本題考查考生對(duì)數(shù)列{xn}收斂于a的定義的理解．其定義是“對(duì)任意給定的ε1＞0，總存在正整數(shù)N1，當(dāng)n＞N1時(shí)，恒有|xn-a|＜ε1”．兩種說法相比較，似乎定義中的條件更強(qiáng)些，即由必能推出“對(duì)任意給定的ε∈(0，1)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N時(shí)，恒有|xn-a|≤2ε”．但其逆也是正確的．因?yàn)閷?duì)任意給定的ε1＞0，取，則對(duì)此ε，存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N時(shí)，恒有|xn-a|≤2ε，現(xiàn)取N1=N-1，于是有當(dāng)n＞N1時(shí)，．所以以上兩種說法是等價(jià)的，即選項(xiàng)C是正確的．

本題主要考查數(shù)列極限的“ε-N”語言．

11.

設(shè){an}，{bn}，{cn}均為非負(fù)數(shù)列，，則必有

A．a(chǎn)n＜bn對(duì)任意n成立．

B．bn＜cn對(duì)任意n成立．

C．極限不存在．

D．極限不存在．正確答案：D[解析]假設(shè)存在，則存在，這與矛盾，故不存在．

由極限的局部保號(hào)性容易得到極限的局部保序性：

，且A＞B，則N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，有an＞bn．

對(duì)于本題，選項(xiàng)A，B說對(duì)任意的n成立，顯然錯(cuò)了；

對(duì)于選項(xiàng)C．是典型的“0·∞”型未定式，其極限可能存在也可能不存在．

12.

當(dāng)x→1時(shí)，函數(shù)的極限A.等于2．B.等于0．C.為∞．D.不存在但不為∞．正確答案：D[解析]由于

而

則極限不存在，但不是∞．

13.

設(shè)y=y(x)是二階常系數(shù)微分方程y"+py'+qy=e3x滿足初始條件y(0)=y'(0)=0的特解，則當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)的極限A.不存在．B.等于1．C.等于2．D.等于3．正確答案：C[解析]

因?yàn)?，且，所?/p>

從而

即C是正確的．

本題也可以先求出y"(0)=1，于是有，則

三、解答題1.

已知f(x)=ex2，f[φ(x)]=1-x且φ(x)≥0，求φ(x)并寫出它的定義域．正確答案：解

由e[φ(x)]2=1-x，得．由ln(1-x)≥0得1-x≥1，即x≤0．所以，x≤0．

2.

求極限．正確答案：解

3.

求．正確答案：解

這是“1∞”型，直接有，

而

故

4.

求正確答案：解

因當(dāng)x→0時(shí),ex-1～x，，原式．

5.

求．正確答案：解

這是“1∞”型，直接有．

6.

計(jì)算．正確答案：解

這是“1∞”型，直接有，

而

故

求時(shí)，當(dāng)然也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限利用洛必達(dá)法則，但不如上面直接湊導(dǎo)數(shù)的定義方便．

7.

求正確答案：解

原極限

8.

求極限正確答案：解

作負(fù)代換t=-x，t→+∞，則

題目中是x→-∞且含有偶次開方號(hào)，此時(shí)作一個(gè)負(fù)代換轉(zhuǎn)化為正的去處理是比較方便