考研數(shù)學(xué)二分類模擬題86

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題86一、填空題1.

設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)，則f'(0)=______．正確答案：n!．[解析]解法1

由導(dǎo)數(shù)定義知

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解法2

f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)=xg(x)，g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)，則f'(x)=g(x)+xg'(x)，于是f'(0)=g(0)=n!．

2.

設(shè)y=ln(1+ax)，其中a為非零常數(shù)，則y'=______，y"=______．正確答案：．[解析]由y=ln(1+ax)知，

3.

設(shè)，則f'(t)=______．正確答案：(1+2t)e2t．[解析]由于，則f'(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t．

4.

設(shè)，則y'=______．正確答案：．[解析]由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知

5.

設(shè)y=ln(1+3-x)，則dy=______．正確答案：[解析]

6.

設(shè)，則y'=______．正確答案：．[解析]由知，

7.

設(shè)，則y'|x=0=______．正確答案：．[解析]

8.

設(shè)，則y"|x=0=______．正確答案：．[解析]

9.

設(shè)y=(1+sinx)x，則dy|x=π=______．正確答案：-πdx．[解析]則y'|x=π=-π，故dy|x=π=-πdx．

10.

設(shè)tany=x+y，則dy=______．正確答案：cot2ydx．[解析]等式tany=x+y兩邊求微分得sec2ydy=dx+dy，則

二、選擇題1.

設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則等于A.f'(a)．B.2f'(a)．C.0．D.f'(2a)．正確答案：B[解析]

2.

若函數(shù)y=f(x)，有，則當(dāng)Δx→0時，該函數(shù)在x=x0處的微分dy是A.與Δx等價的無窮?。瓸.與Δx同階的無窮?。瓹.比Δx低階的無窮?。瓺.比Δx高階的無窮小．正確答案：B[解析]因為

則當(dāng)Δx→0時，dy與Δx是同階無窮?。?/p>

3.

設(shè)f(x)在點x=a的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，則f(x)在x=a處可導(dǎo)的一個充分條件是

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]由于h→+∞時，則存在只能得出f(x)在a點的右導(dǎo)數(shù)存在，不能得出a點導(dǎo)數(shù)存在．B，C明顯不對，這兩個選項中的極限存在不能推導(dǎo)出存在，故不能作為f(x)在x=a點可導(dǎo)的充分條件．

又

則應(yīng)選D．

對B選項切勿這樣處理：

因為這里不符合極限四則運算法則(都未必存在)，對C選項同理．

4.

設(shè)則f(x)在x=1處的A.左、右導(dǎo)數(shù)都存在．B.左導(dǎo)數(shù)存在，但右導(dǎo)數(shù)不存在．C.左導(dǎo)數(shù)不存在，但右導(dǎo)數(shù)存在．D.左、右導(dǎo)數(shù)都不存在．正確答案：B[解析]，但，則f(x)在x=1處不右連續(xù)，從而f'+(1)不存在，又在點x=1處可導(dǎo)，而x≤1時，則f'-(1)存在，故應(yīng)選B．

5.

設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=f(x)(1+|sinx|)．若F(x)在x=0處可導(dǎo)，則必有A.f(0)=0．B.f'(0)=0．C.f(0)+f'(0)=0．D.f(0)-f'(0)=0．正確答案：A

6.

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-δ，δ)內(nèi)有定義，若當(dāng)x∈(-δ，δ)時，恒有|f(x)|≤x2，則x=0必是f(x)的A.間斷點．B.連續(xù)而不可導(dǎo)的點．C.可導(dǎo)的點，且f'(0)=0．D.可導(dǎo)的點，且f'(0)≠0．正確答案：C[解析]解法1

由當(dāng)x∈(-δ，δ)時，|f(x)|≤x2知，f(0)=0．

由夾逼準(zhǔn)則可知

從而，即f'(0)=0．故應(yīng)選C．

解法2

取f(x)=x3，顯然f(x)滿足原題條件．但f(x)=x3在點x=0處連續(xù)且可導(dǎo)，f'(0)=0，則A，B，D均不正確，故應(yīng)選C．

解法1中用到一個常用結(jié)論：

7.

函數(shù)f(x)=(x2-x-2)|x3-x|的不可導(dǎo)點的個數(shù)為A.0．B.1．C.2．D.3．正確答案：C

8.

設(shè)其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，則f(x)在x=0處A.極限不存在．B.極限存在，但不連續(xù)．C.連續(xù)，但不可導(dǎo)．D.可導(dǎo)．正確答案：D[解析]

第二個等式利用了g(x)是有界函數(shù)這一條件(有界函數(shù)×無窮小量=無窮小量)．由于f(x)在點x=0的左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)，因而，f(x)在x=0處可導(dǎo)．

9.

設(shè)函數(shù)f(u)可導(dǎo)，y=f(x2)，當(dāng)自變量x在x=-1處取得增量Δx=-0.1時，相應(yīng)的函數(shù)增量Δy的線性主部為0.1，則f'(1)=A.-1．B.0.1．C.1．D.0.5．正確答案：D[解析]因為dy=f'(x2)d(x2)=2xf'(x2)dx，

所以得0.1=-2f'(1)(-0.1)，

即f'(1)=0.5．所以D是正確的．

10.

設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f'(0)＞0，則存在δ＞0，使得A.f(x)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加．B.f(x)在(-δ，0)內(nèi)單調(diào)減少．C.對任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)．D.對任意的x∈(-δ，0)，有f(x)＞f(0)．正確答案：C[解析]因為

所以由函數(shù)極限的局部保號性，存在δ＞0，在區(qū)間(-δ，0)∪(0，δ)內(nèi)．故對于任意的x∈(0，δ)，有f(x)-f(0)＞0，即f(x)＞f(0)．選項C正確．同時也就看出選項D是錯的：當(dāng)x∈(-δ，0)時，應(yīng)有f(x)-f(0)＜0，即f(x)＜f(0)．

不少考生選A，其錯誤在于以函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)符號來確定函數(shù)在一個區(qū)間上的單調(diào)性．例如

滿足題設(shè)條件且，當(dāng)x≠0時，．顯然，當(dāng)，即在任何(0，δ)內(nèi)都有點xn使f'(xn)＜0，函數(shù)不可能單調(diào)增加，即A錯．類似，選項B也是錯的．

(1)本題若是加強條件為“設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，…”，則此時A便是正確的．這是因為對連續(xù)函數(shù)而言，一點大于0，可以保證附近的點的函數(shù)值都是大于0，于是在這種情形下有，，對x∈(x0-δ，x0+δ)，有f'(x)＞0．

(2)單純的一點導(dǎo)數(shù)大于0，不能推出函數(shù)的單調(diào)性，但一點的導(dǎo)數(shù)大于0，有一個基本不等式需要知道：，對x∈(x0，x0+δ)，有f(x)＞f(x0)；對x∈(x0-δ，x0)，有f(x)＜f(x0)，當(dāng)f'(x0)＜0有著與上面相反的結(jié)論．(用函數(shù)的局部保號性容易驗證，在此省去)

11.

設(shè)函數(shù)，則f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)A.處處可導(dǎo)．B.恰有一個不司導(dǎo)點．C.恰有兩個不可導(dǎo)點．D.至少有三個不可導(dǎo)點．正確答案：C[解析]當(dāng)|x|＜1時，；

當(dāng)|x|＞1時，

當(dāng)|x|=1時，f(x)=1．

故

由y=f(x)的圖形容易看到，x=1，x=-1是不可導(dǎo)點．事實上，因

故x=1是函數(shù)的不可導(dǎo)點．同理x=-1也是函數(shù)的不可導(dǎo)點．

若能想到重要極限“，i=1，2，…，m；ai＞0”，則本題便可更簡單：，從圖形上容易直接看出有兩個不可導(dǎo)點．

12.

設(shè)函數(shù)y=f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f'(x)＞0，f"(x)＞0，Δx為自變量x在點x0處的增量，Δy與dy分別為f(x)在點x0處對應(yīng)的增量與微分，若Δx＞0，則A.0＜dy＜Δy．B.0＜Δy＜dy．C.Δy＜dy＜0．D.dy＜Δy＜0．正確答案：A[解析]解法1

由條件知，y=f(x)單調(diào)上升且是凹的，于是根據(jù)Δy，dy的幾何意義，從圖上可直接得到0＜dy＜Δy，選A．

解法2

由凹曲線的性質(zhì)，得f(x0+Δx)＞f(Δx)+f'(x0)Δx，Δx≠0，

于是f(x0+Δx)-f(x0)＞f'(x0)Δx＞0，Δx＞0，即Δy＞dy＞0，選A．

13.

設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是

A．若存在，則f(0)=0．

B．若存在，則f(0)=0．

C．若存在，則f'(0)存在．

D．若存在，則f'(0)存在．正確答案：D[解析]由f(x)在x=0處連續(xù)，要討論f(0)的值，自然想到利用．對于A，由存在，于是

所以選項A正確．

對于B，將f(x)+f(-x)看成A中的f(x)，于是即有f(0)+f(-0)=0，故f(0)=0，選項B正確．

對于C，由A已知f(0)=0，按導(dǎo)數(shù)定義，有

由C之條件知f'(0)存在，故選項C亦正確．

于是余下只有D不正確，選D．可以舉例說明D不正確，例如設(shè)f(x)=|x|，滿足條件(存在)，但f'(0)不存在．

14.

設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，則A.-2f'(0)．B.-f'(0)．C.f'(0)．D.0．正確答案：B[解析]根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義：，有

因此選B．

可以取一個具體的f(x)，如f(x)=x，則A，C，D都被排除．

15.

設(shè)函數(shù)f(x)=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n)，其中n為正整數(shù)，則f'(0)=A.(-1)n-1(n-1)!．B.(-1)n(n-1)!．C.(-1)n-1n!．D.(-1)nn!．正確答案：A[解析]解法1

利用導(dǎo)數(shù)的定義有

解法2

記g(x)=(e2x-2)…(enx-n)，則f(x)=(ex-1)g(x)，于是f'(x)=exg(x)+(ex-1)g'(x)，則f'(0)=g(0)=(-1)n-1(n-1)!，選A．

16.

設(shè)函數(shù)g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h'(1)=1，g'(1)=2，則g(1)等于A.ln3-1．B.-ln3-1．C.-ln2-1．D.ln2-1．正確答案：C[解析]h'(x)=e1+g(x)·g'(x)．

因h'(1)=1，g'(1)=2，故

三、解答題設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有定義，在區(qū)間[0，2]上，f(x)=x(x2-4)，若對任意的x都滿足f(x)=kf(x+2)，其中k為常數(shù)．1.

寫出f(x)在[-2，0)上的表達(dá)式；正確答案：解

當(dāng)-2≤x＜0，即0≤x+2＜2時，

f(x)=kf(x+2)=k(x+2)[(x+2)2-4]=kx(x+2)(x+4)．

2.

問k為何值時，f(x)在x=0處可導(dǎo)．正確答案：解

由題設(shè)知．f(0)=0．

令f'-(0)=f'+(0)，得，