考研數(shù)學二模擬403

考研數(shù)學二模擬403一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.

A.1.B.e.C.ea-1.D.ea+1.正確答案：C[解析]原極限可變形為又

因此I=ea-1．

2.

設當x→0時，有則______

A．

B．

C．

D．a(chǎn)=0，b=2，c=0．正確答案：D[解析]因為所以

顯然c=0，則

得b=2，a為任意常數(shù)．

3.

A．

B．π

C．

D．正確答案：C[解析]觀察發(fā)現(xiàn)，本題既是無窮上限的廣義積分，又是無界函數(shù)的廣義積分，瑕點在積分域的邊界上．

從而

4.

設f(x)在x=0處二階可導，f(0)=0，且則______A.f(0)是f(x)的極大值．B.f(0)是f(x)的極小值．C.(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點．D.f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點．正確答案：B[解析]由得f(0)+f'(0)=0，于是f'(0)=0．

再由

得f"(0)=2＞0，故f(0)為f(x)的極小值．

5.

的值______A.等于0．B.大于0．C.小于0．D.不能確定．正確答案：B[解析]令x2=t，則

6.

函數(shù)y=C1ex+C2e-2x+xex滿足的一個微分方程是______A.y"-y'-2y=3xex．B.y"-y'-2y=3ex.C.y"+y'-2y=3xex.D.y"+y'-2y=3ex．正確答案：D[解析]由題設可知y1=ex及y2=e-2x是所求方程對應的齊次方程的解，故特征方程有根r1=1，r2=-2，特征方程為

(r-1)(r+2)=r2+r-2=0，

對應齊次方程為

y"+y'-2y=0．

設所求方程為y"+y'-2y=f(x)．將y*=xex代入其中得f(x)=3ex．

故滿足的微分方程為y"+y'-2y=3ex．

7.

已知相似，則______A.a=1，b=0．B.a=2，b=1．C.a=0，b=-1．D.a=1，b=1．正確答案：A[解析]因A～B，則tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即

解以上方程組得a=1，b=0．

8.

A.P1P3A．B.P2P3A．C.AP3P2.D.AP1P3.正確答案：B[解析]矩陣A作兩次行變換可得到矩陣B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩陣A作列變換，故應排除．

把矩陣A第1行的2倍加至第3行后，再1、2兩行互換可得到B．

或者把矩陣A的1、2兩行互換后，再把第2行的2倍加至第3行亦可得到B，而P2P3A正是后者，所以應選B．

二、填空題1.

正確答案：2π2-8[解析]

2.

正確答案：2[解析]本題為“∞—∞”型未定式，作變量替換后未定式化為“”型．

3.

設平面區(qū)域D為x2+y2≤1，則二重積分正確答案：[解析]由于積分區(qū)域是圓域，故考慮用極坐標進行計算，但本題中被積函數(shù)用極坐標表示較復雜，可考慮將被積函數(shù)變成的形式．

由于積分區(qū)域關于y=x對稱，所以

4.

微分方程xy'+y=0滿足條件y(2)=1的解y=______．正確答案：[解析]已知xy'+y=0，分離變量得兩邊積分得將y(2)=1代入得c=2，故

5.

設G是位于曲線(e≤x＜∞)左方，y軸右方的無界區(qū)域，則G繞y軸旋轉一周所形成的空間區(qū)域的體積為______．正確答案：[解析]

6.

設二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩等于1，A的各行元素之和為3，則f在正交變換x=Qy下的標準形為______．正確答案：[解析]A的各行元素之和為3，則

可見λ1=3是A的一個特征值，又由二次型的秩為1知r(A)=1，從而A的另外兩個特征值為λ2=λ3=0，故f在正交變換下的標準形為

三、解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

正確答案：

2.

求函數(shù)z=2x2-2xy+y2在區(qū)域D：|x|+|y|≤1上的最大、最小值．正確答案：令解方程組得駐點(0，0)∈D，且z(0，0)=0，D的邊界|x|+|y|=1由四條線段組成：L1：x+y=1，L2：x-y=1(0≤x≤1)L3：x+y=-1，L4：y-x=1(-1≤x≤0)

在L1上：z=5x2-4x+1=0，由z'x=10x-4=0，得則

故最大值為2，最小值為

在L2上：z=x2+1，由z'x=2x=0，得x=0，則

z(0)=1，z(1)=2，

故最大值為2，最小值為1．

在L3上：z=5x2+4x+1，由z'x=10x+4=0，得則

故最大值為2，最小值為

在L4上：z=x2+1，由z'x=2x=0，得x=0，則

z(0)=1，z(-1)=2，

故最大值為2，最小值為1．

綜上所述，z在D上的最大值為2，最小值為

3.

設求其中φ(u，v)有二階偏導數(shù)．正確答案：

4.

設y=y(x)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(x，y)處的曲率為又此曲線上的點(0，1)的切線方程為y=x+1，求該曲線方程，并求函數(shù)y(x)的極值．正確答案：因為曲線是上凸的，所以y"＜0，由題設得

這是高階可降階方程的初值問題：

令y'=p，則有(C1為任意常數(shù))．

因為曲線y=y(x)在點(0，1)處的切線方程為y=x+1，所以p|x=0=1，從而積分得C2為任意常數(shù)．

因為曲線過點(0，1)，所以

所求曲線為

因為所以當時函數(shù)取極大值

5.

設e-2＜a＜b＜e-1，證明alnb-blna＜3e4(ab2-a2b)．正確答案：思路一：要證alnb-blna＜3e4(ab2-a2b)，

即要證

構造輔助函數(shù)

則F(x)在[e-2，e-1上連續(xù)，在(e-2，e-1)內(nèi)可導，應用拉格朗日中值定理，得

設e-2＜t＜e-1，則有

即g(x)在(e-2，e-1)內(nèi)單調(diào)減小，從而g(t)＜g(0)=3e4．

故

即

alnb-blna＜3e4(ab2-a2b)．

思路二：要證alnb-blna＜3e4(ab2-a2b)，即證

設則

當e-2＜x＜e-1時，φ"(x)＜0，所以在區(qū)間(e-2，e-1)內(nèi)φ'(x)單調(diào)減少，則有

φ'(x)＜φ'(e-2)=3e4-3e4=0，

所以φ(x)在區(qū)間(e-2，e-1)內(nèi)單調(diào)減少．

又e-2＜a＜b＜e-1，所以φ(b)＜φ(a)，即

整理得

alnb-blna＜3e4(ab2-a2b)．

6.

一質(zhì)量為M，長為l的均勻細桿AB吸引著一質(zhì)量為m的質(zhì)點C，此質(zhì)點位于桿AB的中垂線上，且與AB的距離為a，試求：

(Ⅰ)細桿AB與質(zhì)點C的相互吸引力的大??；

(Ⅱ)當質(zhì)點C在桿AB的中垂線上從點C(0，a)沿y軸移向無窮遠處時，克服引力所做的功．正確答案：(Ⅰ)如圖，選x做積分變量，則x的取值范圍為引力微元為

所以

令x=atant，則

(Ⅱ)根據(jù)上面的計算，當質(zhì)點C位于坐標(0，y)處時，引力的大小為于是

令有

7.

設函數(shù)y=f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導，且對任意實數(shù)a，b均滿足f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)，又f'(0)=1，試求f(x)及f'(x)．正確答案：由于對任意a，b，等式f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)均成立，故建立微分方程．根據(jù)導數(shù)的定義，利用導數(shù)的定義式f(x+Δx)展開．

令a=b=0，由f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)得f(0)=0，又f'(0)=1，

故

f'(x)=exf'(0)+f(x)=ex+f(x)，

即f(x)的微分方程為

f'(x)-f(x)=ex，

兩邊乘e-x，得

[e-xf(x)]'=1，

兩邊積分，得

故

f(x)=xex，f'(x)=ex+xex=(x+1)ex．

8.

設矩陣A與B相似，其中

(Ⅰ)求x，y的值；

(Ⅱ)求可逆矩陣P，使P-1AP=B．正確答案：(Ⅰ)因為A～B，則|A|=|B|，tr(A)=tr(B)，即

解得x=0，y=2．

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

A的特征值為λ1=-1，λ2=2，λ3=-2．

對應特征向量可由(A+λiE)x=0(i=1，2，3)求得，分別為

ξ1=(0，2，-1)T，ξ2=(0，1，1)T，ξ3=(1，0，-1)T，

則即為所求．

已知二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交變換X=QY下的標準形為且Q的第三列為9.

求矩陣A;正確答案：二次型XTAX在正交變換下的標準形為則二次型矩陣A的特征值為-1，-1，0．又因為Q的第三列是說明α3=(1，1，0)T是矩陣A關于特征值λ=0的特征向量．因為A是實對稱矩陣，不同特征值對應的特征向量相互正交，設A關于λ1=λ2=-1的特征向量為α=(