考研數(shù)學(xué)二模擬413

考研數(shù)學(xué)二模擬413一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.

設(shè)在x=0處連續(xù)，則f(x)在x=0處______．

A．不可導(dǎo)

B．f'(0)=ln23+1

C．

D．正確答案：D[解析]

因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以a=1+ln3，于是

又因為

所以f(x)在x=0處可導(dǎo)，且，選D．

2.

當x→0時，無窮小的階數(shù)最高的是______．

A．

B．tanx-x

C．(1+tanx)ln(1+2x)-1

D．正確答案：A[解析]由得，即為4階無窮?。?/p>

由，即tanx-x為3階無窮小；

由(1+tanx)ln(1+2x)-1=eln(1+2x)ln(1+tanx)-1～ln(1+2x)ln(1+tanx)～2x2得(1+tanx)ln(1+2x)-1為2階無窮?。?/p>

由得為3階無窮?。xA.

3.

對函數(shù)______．A.僅有極大值B.僅有極小值C.既有極大值又有極小值D.沒有極值正確答案：C[解析]令f'(x)=2x(4-x2)ln(1+x2)=0，得x1=-2，x2=0，x3=2．

當x＜-2時，f'(x)＞0；當x∈(-2，0)時，f'(x)＜0；當x∈(0，2)時，f'(x)＞0；當x＞2時，f'(x)＜0，則x1=-2，x3=2為f(x)的極大值點，x2=0為f(x)的極小值點，選C.

4.

微分方程y"-4y'=x2+cos2x的特解形式為______．A.(ax2+bx+c)+(Acos2x+Bsin2x)B.(ax2+bx+c)+x(Acos2x+Bsin2x)C.(ax3+bx2+cx)+(Acos2x+Bsin2x)D.(ax3+bx2+cx)+x(Acos2x+Bsin2x)正確答案：A[解析]特征方程為λ2-4λ=0，特征值為λ1=0，λ2=4，

方程y"-4y'=x2的特解為y1=x(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx；

方程y"-4y'=cos2x的特解為Acos2x+Bsin2x．選C．

5.

設(shè)平面圖形A由x2+y2≤2x及y≥x所確定，則A繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積公式為______．

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]取[x，x+dx][o，1]，則，所求的體積為

若取

所求的體積為

選B．

6.

設(shè)f(x)連續(xù)，且滿足，則關(guān)于f(x)的極值問題有______．

A．存在極小值

B．存在極大值

C．存在極小值

D．存在極小值正確答案：A[解析]等式兩邊求導(dǎo)，得f'(x)+2f(x)=2x，其通解為．

因為，所以C=1，從而．

令f'(x)=-2e-2x+1=0，得唯一駐點為．

因為f"(x)=4e-2x＞0，故是極小值點，極小值為．

7.

已知四維列向量α1，α2，α3線性無關(guān)，若向量βi(i=1，2，3，4)是非零向量且與向量α1，α2，α3均正交，則向量組β1，β2，β3，β4的秩為______．A.1B.2C.3D.4正確答案：A[解析]設(shè)αi=(αi1，αi2，αi3，αi4)T(i=1，2，3)，由已知條件有即βi(i=1，2，3，4)為方程組的非零解．

由于α1，α2，α3線性無關(guān)，所以方程組系數(shù)矩陣的秩為3，所以其基礎(chǔ)解系含一個解向量，從而向量組β1，β2，β3的秩為1，選A.

8.

設(shè)A，B及A*都是n(n≥3)階非零矩陣，且AB=O，則r(B)=______．A.0B.1C.2D.3正確答案：B[解析]由B為非零矩陣得r(A)＜n，從而r(A*)=0或r(A*)=1，

因為A*為非零矩陣，所以r(A*)=1，于是r(A)=n-1，

又由AB=O得r(A)+r(B)≤n，從而r(B)≤1，再由B為非零矩陣得r(B)≥1，

故r(B)=1，選B．

二、填空題1.

極限正確答案：[解析]令

由得

由迫斂定理

2.

設(shè)f(x)二階可導(dǎo)且滿足，則f(x)=______．正確答案：[解析]對兩邊求導(dǎo)得x2f(x)=3x2+f'(x)，整理得f'(x)-x2f(x)=-3x2，解得

當x=0時，f(x)=0，于是C=-3，故

3.

正確答案：[解析]

4.

y=y(x)，由確定，則正確答案：2(e-1-e-2)[解析]當t=0時，x=0，y=-1，，由tey+y+1=0，得，解得

于是

5.

若f(x)=2nx(1-x)n，記正確答案：[解析]令f'(x)=2n(1-x)n-2n2x(1-x)n-1=0，得，由f(0)=f(1)=0，得，于是

6.

設(shè)，且ABAT=E+2BAT，則B=______．正確答案：[解析]由ABAT=E+2BAT，得ABAT=(AT)-1AT+2BAT，因為AT可逆，所以AB=(AT)+2B或B=(A-2E)-1(AT)-1=[AT(A-2E)-1，解得

三、解答題共94分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，且f(0)=0，令1.

確定a的取值，使得g(x)為連續(xù)函數(shù)；正確答案：[解]，當a=f'(0)時，g(x)在x=0處連續(xù)．

2.

求g'(x)并討論函數(shù)g'(x)的連續(xù)性．正確答案：[解]當x≠0時，

當x=0時，

于是

因為

所以g'(x)在x=0處連續(xù)．

3.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)()．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得

正確答案：[解]令g(x)=-cosx，g'(x)=sinx≠0(a＜x＜b)，

由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得；

令h(x)=sinx，h'(x)=cosx≠0(a＜x＜b)，

由柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得

從而

于是

故

4.

設(shè)f(x)連續(xù)且f(0)=0，f'(0)=2，求極限正確答案：[解]由

于是

5.

計算積分，其中D是由直線y=2，y=0，x=-2及曲線所圍成的區(qū)域．正確答案：[解]令D1={(x，y)|-2≤x≤0，0≤y≤2}，

6.

過點作拋物線的切線，該切線與拋物線及x軸圍成的平面區(qū)域為D，求該區(qū)域分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積．正確答案：[解]設(shè)切點為，

由，解得a=3頂格

則切線方程為．

7.

求z=x2-2y2+2x+4在區(qū)域x2+4y2≤4上的最小值和最大值．正確答案：[解]當x2+4y2＜4時，

由得，且z(-1，0)=3；

當x2+4y2=4時，

令

則

當時，；當cost=1時，zmax=12，

故z=x2-2y2+2x+4在x2+4y2≤4上的最小值為，最大值為12．

8.

設(shè)曲線y=y(x)過(0，0)點，M是曲線上任意一點，MP是法線段，P點在x軸上，已知MP的中點在拋物線2y2=x上，求此曲線的方程，正確答案：[解]設(shè)M(x，y)，則法線方程為

令Y=0得X=yy'+x，于是P點坐標為(yy'+x，0)．MP的中點坐標為，它位于給定的拋物線上．于是有方程y2=yy'+2x，即，所以y2e-2x=2xe-2x+e-2x+C由y(0)=0得C=-1，所求曲線方程為y2=1+2x-e2x.

設(shè)A是三階實對稱矩陣，存在可逆矩陣，使得

9.

求常數(shù)a，b的值及μ．正確答案：[解]A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=-1，

令

顯然Aα1=α1，Aα2=2α2，Aα3=-α3，

即α1，α2，α3為分別屬于λ1=1，λ2=2，λ3=-1的特征向量，

因為A是實對稱矩陣，所以解得a=0，b=-2．

A*的特征值為

由α3=-α得α是矩陣A的屬于特征值λ3=-1的特征向量，從而α是A*的屬于特征值2的特征向量，即μ=2．

10.

求|A*+3E|．正確答案：[解]A*+3E的特征值為1，2，5，則|A*+3E|=10.

11.

設(shè)A為三階實對稱矩陣，且存在正交矩陣，使得，又令B=A2+2E，求矩陣B．正確答案：[解]由得A的特征值為λ1=2，λ2=-1，λ3=1，且λ1=2對應(yīng)的特征向量