河南省鄭州市2024-2025學年高二數(shù)學下學期5月階段性學業(yè)檢測題理含解析

PAGE1-河南省鄭州市2024-2025學年高二數(shù)學下學期5月階段性學業(yè)檢測題理（含解析）說明：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘.2.將試題卷中題目的答案填（涂）在答題卷（答題卡）的相應位置.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)的虛部為（）A.1 B. C.-1 D.【答案】A【解析】依據(jù)定義可得的虛部，故選A.2.假如10N力能使彈簧壓縮10cm，為在彈性限度內將彈簧拉長6cm，則力所做的功為A.0.12J B.0.18J C.0.26J D.0.28J【答案】B【解析】【分析】由求得彈性系數(shù)，再由求得所做功．【詳解】，∵，∴，∴在彈性限度內將彈簧從平衡位置拉到離平衡位置處，克服彈力所做的功為：．故選B．【點睛】本題考查彈力做功與彈性勢能的關系，解題關鍵是求出彈性系數(shù)，然后依據(jù)彈性勢能公式求出彈簧拉升時所做功．3.用反證法證明命題“若,則,全為0（）”其反設正確的是（）A.,至少有一個為0 B.,至少有一個不為0C.,全不為0 D.,中只有一個為0【答案】B【解析】【分析】依據(jù)反設的定義干脆推斷即可.【詳解】“,全為0（）”的反設為“,不全為0（）”即“,至少有一個不為0”.故選：B【點睛】本題主要考查了反證法中的反設問題,其中“全為”的反面為“不全為”或“至少有一個不”.屬于基礎題.4.設，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得導函數(shù)，由此解方程求得值.【詳解】依題意，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查乘法的導數(shù)，考查方程的思想，屬于基礎題.5.已知，是虛數(shù)單位，若與互為共軛復數(shù)，且，則在復平面中所表示的點在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四【答案】A【解析】由共軛復數(shù)的定義可得在復平面中所表示的點第一象限，故選A.6.在平面直角坐標系中，由直線，，與曲線圍成的封閉圖形的面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由上圖可得所求的面積為，故選D.7.記為虛數(shù)集,設,則下列類比所得的結論正確的是（）A.由,類比得B.由,類比得C.由,類比得D.由,類比得【答案】B【解析】分析：依次推斷每個結論是否正確，留意類比后變量的取值范圍.詳解：設，則；A錯誤；，C錯誤；，則，但不能比較大小，即是錯誤的，D錯誤，只有B正確.故選B.點睛：對于選擇題中要只有一個命題正確的選項問題，可以用特別值法進行解除，即舉反例說明某些命題是錯誤，最終只剩下一個命題肯定是正確.本題說明實數(shù)集的結論有很多在虛數(shù)集中不能成立，因此在解題時不能隨意引用.8.已知函數(shù)的導函數(shù),且滿意，則＝()A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】對函數(shù)進行求導，然后把代入到導函數(shù)中，得到一個方程，進行求解．【詳解】對函數(shù)進行求導，得把代入得，干脆可求得．【點睛】本題主要是考查求一個函數(shù)的導數(shù)，屬于簡潔題．本題值得留意的是是一個實數(shù)．9.利用數(shù)學歸納法證明“，”時，從””變到“”時，左邊應增加的因式是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：依題意，可寫出時成立的等式與時成立的等式，二者相除即可得到結論.詳解：由題意“”時，左邊為，“”時，左邊為，從而可得增加兩項為，且削減項為，故選D.點睛：本題考查數(shù)學歸納法，理清從“”變到“”時左邊項數(shù)的改變是關鍵，屬于中檔題.項數(shù)的改變規(guī)律，是利用數(shù)學歸納法解答問題的基礎，也是易錯點，要使問題順當?shù)玫浇鉀Q，關鍵是留意兩點：一是首尾兩項的改變規(guī)律；二是相鄰兩項之間的改變規(guī)律.10.在區(qū)間上，函數(shù)f(x)＝x2＋px＋q與g(x)＝2x＋在同一點取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是()A. B.C.8 D.4【答案】D【解析】【分析】先利用基本不等式求得函數(shù)的最小值，以及此時x的值，進而依據(jù)二次函數(shù)的性質列方程組求得p和q，最終依據(jù)二次函數(shù)的性質求得函數(shù)在所給區(qū)間上的最大值．【詳解】依據(jù)基本不等式可得，==3，當且僅當時，函數(shù)取得最小值．所以對于函數(shù)，當時，函數(shù)也取得最小值3，即，另一方面，對于函數(shù)，當時，函數(shù)取得最小值3所以所以，，所以其對稱軸，所以的最大值為=4，答案選D．【點睛】本題考查了基本不等式的應用，函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質，對于二次函數(shù)的對稱軸、頂點位置，應能嫻熟應用，屬于中檔題．11.若曲線上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”．下列方程：①；②；③；④對應的曲線中存在“自公切線”的有（）A.①② B.①④ C.②③ D.③④【答案】C【解析】【詳解】①是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；②在處的切線都是故②有自公切線．③，此函數(shù)是周期函數(shù)，過圖象的最高點的切線都重合或過圖象的最低點的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．④，即，結合圖象可得，此曲線沒有自公切線．故答案為C．12.已知，其中，假如存在實數(shù)，使，則的值（）A.必為正數(shù) B.必為負數(shù) C.必為非負數(shù) D.必為非正數(shù)【答案】B【解析】【分析】求出的解，從而可推斷，，故可得正確的選項.【詳解】，因為存在，使得，故，即令，故，，又，故即，故，所以，故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)的的最值、函數(shù)與不等式，涉及函數(shù)與不等式思想、數(shù)形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維實力、等價轉化實力、運算求解實力，綜合性強，屬于較難題型.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.函數(shù)的單調減區(qū)間為_____________.【答案】，【解析】【分析】求出，利用導數(shù)與函數(shù)的單調性關系即可得解．【詳解】因為，所以且.所以，令，解得：或.所以的單調遞減區(qū)間為，【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，考查計算實力，屬于基礎題．14.函數(shù)，則________.【答案】；【解析】【分析】依據(jù)定積分運算法則以及定積分的幾何意義計算可得答案.【詳解】，故答案為：【點睛】本題考查了定積分的運算法則以及定積分的幾何意義，屬于基礎題.15.在等差數(shù)列中，若，則有：（，且）成立.類比上述性質，在等比數(shù)列中，若，則有______.【答案】（，且）【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質，結合類比的規(guī)則，得出答案幾何【詳解】在等差數(shù)列中，若，則有：（，且）成立故相應的在等比數(shù)列中，若則有：（，且）證明如下：時，左邊右邊故有當取其它數(shù)時同理可證故答案為：（，且）【點睛】本題考查的是等差等比數(shù)列的性質及類比推理，較簡潔.16.已知函數(shù)，，若對隨意，存在，使，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】試題分析：函數(shù)的導函數(shù),，若,,為增函數(shù);若,或,為減函數(shù)；在上有極值,在處取微小值也是最小值；,對稱軸,,當時,在處取最小值；當時,在處取最小值；當時,在上是減函數(shù),；對隨意,存在,使,只要的最小值大于等于的最小值即可,當時,,計算得出,故無解;當時,,計算得出,綜上:,因此，本題正確答案是:.考點：函數(shù)最值問題.【方法點晴】本題主要考查函數(shù)導數(shù)與不等式，恒成立問題.解決本題的關鍵是依據(jù)題意對隨意,存在,使轉化為求的最小值大于等于的最小值即可.類似地這種問題還有存在,存在,使，則轉化為求的最大值大于等于的最小值.解決這種問題肯定要正確轉化.三、解答題：本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.復數(shù)，其中（1）若，求的模；（2）若是實數(shù)，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）或.【解析】（1），則，則，∴的模為.（2）因為是實數(shù)，所以，解得或故或.18.設函數(shù).（1）對于隨意實數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅有一個實根，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求導后，轉化條件得恒成立，令即可得解；（2）利用導數(shù)求得函數(shù)的微小值、極大值，轉化條件得或，即可得解.【詳解】（1）由題意，因為，，即恒成立，所以，可得，所以的最大值為；（2）因為當或時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；所以當時，取極大值；當時，取微小值；所以當或時，方程僅有一個實根.所以或即或，故的取值范圍為.【點睛】本題考查了二次不等式恒成立問題的求解，考查了利用導數(shù)探討方程根的個數(shù)問題，屬于基礎題.19.已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點，求的值；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間.【答案】（1）（2）答案不唯一，詳細見解析【解析】【分析】（1）利用，解得，再檢驗可得答案；（2）求導后，對分和探討，依據(jù)可得增區(qū)間，可得遞減區(qū)間.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，，因為是函數(shù)的極值點，所以，解得（舍）或經(jīng)檢驗，時，是函數(shù)的極值點，所以.（2）若，，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；若，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.綜上所述：，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.【點睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)的極值點求參數(shù)，考查了分類探討思想，考查了由導數(shù)求單調區(qū)間，屬于基礎題.20.已知兩地的距離是，按交通法規(guī)規(guī)定，兩地之間的馬路車速應限制在，假設汽油的價格是6元/升，以速度行駛時，汽車的耗油率為，司機每小時的工資是36元，那么最經(jīng)濟的車速是多少？假如不考慮其他費用，這次行車的總費用是多少？【答案】最經(jīng)濟的車速約為；假如不考慮其他費用，這次行車的總費用約為240元.【解析】【分析】依據(jù)題設可得，，利用導數(shù)可求該函數(shù)的最小值.【詳解】設汽車以行駛時，行車的總費用，，所以，令，解得.當時，，當時，，故是函數(shù)的微小值點，也是最小值點，即當車速為時，行車總費用最少，此時最少總費用（元）.答：最經(jīng)濟的車速約為；假如不考慮其他費用，這次行車的總費用約為240元.【點睛】本題考查函數(shù)的最值、函數(shù)與方程，涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維實力、等價轉化實力、運算求解實力，以及應用意識和創(chuàng)新意識，具有肯定的綜合性，屬于中檔題型.解決本題的關鍵是在理解題意的基礎上建立函數(shù)，并利用導數(shù)工具求得最優(yōu)解.21.設正項數(shù)列的前項和為，且滿意.（1）計算的值，并猜想的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明的通項公式.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【詳解】（1）當時，，得；，得，得猜想（2）證明：（?。┊敃r，明顯成立，（ⅱ）假設當時，則當時，整理得：，即結合，解得于是對于一切的自然數(shù)，都有.22.設函數(shù).（1）推斷能否為函數(shù)的極值點，并說明理由；（2）若存在，使得定義在上的函數(shù)在處取得最大值，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）能（2）【解析】（1）能，理由如下：，，令，得；當時，，于是在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，故當時，是的微小值點.（2）由題意，當時