人教版高中數(shù)學(xué)必修2-全冊教案

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人教版數(shù)學(xué)必修二

第一章空間幾何體重難點解析

第一章課文目錄

1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

重難點：

1、讓學(xué)生感受大量空間實物及模型、概括出柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征。

2、畫出簡單組合體的三視圖。

3、用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖。

4、柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算，臺體體積公式的推導(dǎo)。

5、了解推導(dǎo)球的體積和面積公式所運(yùn)用的基本思想方法。

知識結(jié)構(gòu)：

表面積|隨

度量

1|空間幾何體

gggggggg|中心投影||平行投影

gHgggg￡3gf]ggi三視圖??直觀圖

一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖

i.柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)柱

棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互7

公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。

底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋:

棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；

(2)錐

棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾1

側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。

底面是三角錐、四邊錐、五邊錐……的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……

圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何，

棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。

(3)臺

棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截.

圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截.

圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。

(4)球

以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的

(5)組合體

由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體。

幾種常凸多面體間的關(guān)系

一些特殊棱柱、棱錐、棱臺的概念和主要性質(zhì):

平行于底面的截面與底面全等的多與底面全等的多與底面全等的正2

名稱棱錐正棱錐棱臺正棱臺

圖形

定義有一個面是多￡底/2

相夕，愣才

側(cè)棱相交于一點但二蟲》

側(cè)面的理三角形全等的等腰三7梯形全等的等腰梯于

對角面慳三角形等腰三角形梯形等腰梯形

平行于房與底面相似的二與底面相似的1與底面相似的1與底面相似的工

其他性質(zhì)高過底面中心;兩底中心連線艮

幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì):

名稱特殊性質(zhì)

平行六面體底面和側(cè)面都是平行四邊行；四條對角線交于

直平行六面體側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；四條對保

長方體底面和側(cè)面都是矩形；四條對角線相等，交于

正方體棱長都相等，各面都是正方形四條對角線相等

2.空間幾何體的三視圖

三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。

他具體包括：

（1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖;

它能反映物體的高度和長度；

（2）側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖;

它能反映物體的高度和寬度；

（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖;

它能反映物體的長度和寬度；

三視圖畫法規(guī)則：

高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊

長對正：主視圖與俯視圖的長應(yīng)對正

寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等

3.空間幾何體的直觀圖

（1）斜二測畫法

①建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX,0Y,建立直角坐標(biāo)系；

②畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)的O'X',0'Y’,使NX'oy=45°（或135°）.

③畫對應(yīng)圖形，在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x.軸，且長度保持不變；

④擦去輔助線，圖畫好后，要擦去X軸、Y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）。

（2）平行投影與中心投影

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點。

注意：畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置一

畫法的步驟。

例題講解：

［例1］將正三棱柱截去三個角（如圖1所示AB,C分別是△G”/三邊的中點）得到幾何體如圖2,!

［例2］在正方體ABCD—ABCD中，E,F分別為棱AA”CC的中點,則在空間中與三條直線AD,EF,1

A.不存在B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有無數(shù)條

［例3］正方體ABCD_ABCD的棱長為2,點M是BC的中點，點P是平面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足I

A.圓B.雙曲線C.兩個點D.直線

解析：點P到AD的距離為石，則點P到AD的距離為1,滿足此條件的P的軌跡是到直線ADE

又PM=2,.,.滿足此條件的P的軌跡是以M為圓心，半徑為2的圓，這兩種軌跡只有兩個交點

故點P的軌跡是兩個點。選項為C。

點評：該題考察空間內(nèi)平面軌跡的形成過程，考察了空間想象能力。

［例4］兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面AB

A.1個B.2個C.3個D.無窮多個

解析：由于兩個正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，有對彳

接正方形有多少種，所以選D。

點評：本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積。正方體是大家熟悉的幾何體，它的一

題型2：空間幾何體的定義

［例5］長方體A6CO—A4G。的8個頂點在同一個球面上，且AB=2,AD=g,

A41=l,則頂點A、B間的球面距離是（

A.農(nóng)三B.立衛(wèi)C.缶D.2缶

42

解析：BD、=AC】=2R=2血,：.R=應(yīng),設(shè)

BDtAC,=0,則OA=OB=R=立,

n/A0B=Z,:.l=Re=6義三，故選

22

點評：抓住本質(zhì)的東西來進(jìn)行判斷，對于信息要進(jìn)行加工再利用。

［例6］已知直線m,n和平面口,萬滿足機(jī)_L_La,a_L/?,則()

A.nL/38.〃〃尸，或〃u4C.n±<zD.nHa、或nua

解析：易知D正確.

點評：對于空間幾何體的定義要有深刻的認(rèn)識，掌握它們并能判斷它們的性質(zhì)。

題型3：空間幾何體中的想象能力

［例7］如圖所示，四棱錐的底面43co是邊長為1的菱形，ZBCD=60°,

E是CD的中點，PA1底面ABCD,24=6。

(I)證明：平面PBEL平面PAB；

(II)求二面角A—BE—P和的大小。

解析：解法一(I)如圖所示，連結(jié)BD,由ABCD是菱形且NBCr>=60°

△BCD是等邊三角形,因為E是CD的中點，所以

BE±CD,又AB//C。，所以BE±AB,

又因為PAL平面ABCD,BEu平面ABCD,

所以PA_L8E,而PAAB=A因此BE,平面PAB.

又BEu平面PBE,所以平面PBE,平面PAB.

(II)由(I)知，BE_L平面PAB,PBu平面PAB,所以PBLBE.

又ABLBE,所以NPR4是二面角A—8E—尸的平面角.

PAL

在RtZX/MB中，tanZPBA=——=V3,ZP5A=60..

AB

故二面角A—BE—尸的大小為60.

解法二：如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是

4(0,0,0),B(l,0,0),eg，孚0),嗎,孚0),2(0,0,6),磯1考,0).

(I)因為8后=(0,巳-,0),平面PAB的一個法向量是%=(0,1,0),所以BE和％共線.

從而6E_L平面PAB.又因為BEu平面PBE,所以平面PBEL平面PAB.

(II)易知P5=(l,0,-百),5E=(0,9,0),設(shè)〃?=(“x，Z。是平面PBE的一個法向量,

f?ng=0\xl+Qxy]-y/3z]=Q,

則由《1，得《所以凹=0,%=島.

nx?BE=0Oxxj+——y+0xZ]=0

、2

故可取勺=(0,0,1).而平面ABE的一個法向量是巧=(0,0,1).

于是，cos<勺,%>=

2

1nli|4I

故二面角A—BE—P的大小為60.

點評：解決此類題目的關(guān)鍵是將平面圖形恢復(fù)成空間圖形，較強(qiáng)的考察了空間想象能力。

[例8]如圖，在三棱錐P—ABC中，AC=BC=2,乙4c8=90,AP=BP=AB,PC±AC.

(I)求證：PC±AB;

(II)求二面角B—AP-C的大小.

解析：

解法一：

(I)取AB中點。，連結(jié)PDCD.

AP=BP,

.-.PDA.AB.

AC=BC,

.-.CD1AB.

PDCD=D,

:.ABL平面PCD.

PCu平面PC。，

:.PC±AB.

(II)AC^BC,AP=BP,

.-.△APC^ABPC.

又PC上AC,

P

:.PC±BC.

又ZACB=90,即ACL5C,且ACPC=C,

.?.8C_L平面PAC.

取AP中點E.連結(jié)BE,CE.C

AB=BP,:.BE±AP.

EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，

:.CEVAP.

N8EC是二面角5-AP-C的平面角.

在△BCE中，ZBCE=90,BC=2BE=—AB=46,

2

BCV6

..sin/BEC==—.

BE3

二面角B-AP—C的大小為arcsin-

解法二：

(I)AC=BC,AP=BP,

.-.△APC^ABPC.

又PCLAC,

:.PC±BC.

ACBC=C,

.?.PC_L平面ABC.

ABu平面ABC,

:.PCA.AB.

(H)如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-孫z.

貝1JC(O,O,O),A(0,2,0),3(2,0。).

設(shè)P(0,0,t).

\PB\=\AB\=2y/2,

:.t=2,尸(0,0,2).

取AP中點E,連結(jié)6ECE.

|AC|=|PC|,\AB\=\BP\,

:.CE±AP,BELAP.

.?.NBEC是二面角3—AP—C的平面角.

ECEB2_

/.cos/BEC=

MHV276-3

73

.,?二面角AP-C的大小為arccos

點評：在畫圖過程中正確理解已知圖形的關(guān)系是關(guān)鍵。通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象

［例9］畫正五棱柱的直觀圖，使底面邊長為3cm側(cè)棱長為5cm。

解析：先作底面正五邊形的直觀圖，再沿平行于Z軸方向平移即可得。

作法：

(1)畫軸：畫X',Y',Z'軸，使NX'O'Y'=45°(或135°),NX'O'Z'=90°。

(2)畫底面：按X'軸，X'軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE。

(3)畫側(cè)棱：過A、B、C、D、E各點分別作Z'軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA',

(4)成圖：順次連結(jié)A',B',C',D',F',加以整理，去掉輔助線，改被遮擋的部分為感

點評：用此方法可以依次畫出棱錐、棱柱、棱臺等多面體的直觀圖。

［例10］AA'3'C'是正AABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若AA'3'C'的面積為石，那么△/

解析：2屈。

點評：該題屬于斜二測畫法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立實物圖元素與直觀圖元素之間的對應(yīng)關(guān)

[例11]如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AB'C'D中，AP=BQ=b(0<b<l),截面PQEF〃A'O,截面

(I)證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直;D'

(II)證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值,

并求出這個值;

(III)若與平面PQEF所成的角為45,求與平A

面PQGH所成角的正弦值.

本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力與邏輯思維

解析：

解法一：

(I)證明：在正方體中，AD'YAD,AD'LAB,又由已知可得

PF//AD,PH//Ad,PQ//AB,

所以PH上PF,PHLPQ,

所以平面PQEb.

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.

(H)證明：由(I)知

PF=y[2AP,PH=y[2PA!,又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGF

(6AP+6PA')XPQ=6,是定值.

(III)解：連結(jié)BC'交EQ于點M.

因為PQ//AB,

所以平面ABC77和平面PQGH互相平行，因此療石與平面PQGH所成角與D'E與平面ABC'。'所成角相

與(I)同理可證EQL平面PQGH,可知EM,平面ABC'D,因此EM與。E的比值就是所求的正弦值.

設(shè)4y交PF于點N,連結(jié)EN,由￡0=1-人知

ZXE=4+2,ND，=與十言(1—b).

因為A0，平面PQEF,又已知與平面PQEF成45角,

所以?！?&N。'，即=,(13+2,

解得b=-,可知E為BC中點.

2

所以EM=?,又DE=J(1—4+2=1，

EM

故O'E與平面PQCH所成角的正弦值為

解法二:

以D為原點，射線DA,DC,DD'分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz由已:

A(l,0,0),A'(l,0,l),￡>(0,0,0),。(0,0,1),

P(l,0,b),2(1,1,b),Ed-b,1,0),

尸(1—40,0),GS，L1),"(40,1).

(I)證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得

PQ=(0,1,0),PF=(一b,O,-b),

PH=(b-1,QA-b),

因為AZ>'F2=0,A。'P尸=0,所以A。'是平面PQEF的法向量.

因為A'￡>?fE0,A。PH=0,所以是平面PQGH的法向量.

因為AD'A'￡>=0,所以ADJLA。,

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.

(H)證明：因為瓦'=((),—1,0),所以E/〃P0所|=|P0,又P/FPQ,所以PQEF為矩形，同理I

在所建立的坐標(biāo)系中可求得歸川=夜(1-份，\PF\=y/2b,

所以歸H|+|P目=0,又|P0=1,

所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為0,是定值.

(III)解：由已知得。'E與A。'成45角,又。'E=(l—印,一1),AD'=(—1,0,1)可得

D'EA。'b—2_V|

\D'E^AD'\伍/(13+22

2-b

即解得

J(l-方+2

所以O(shè)'E=［g,l,—11,又47)=(-1,0,-1),所以DE與平面PQGH所成角的正弦值為

|cos<D'E,A'D>|=—=—.

6

2

點評：考查知識立足課本，對空間想象能力、分析問題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面

［例12］多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面a內(nèi)，其

距離可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7

以上結(jié)論正確的為(寫出所有正確結(jié)論的編號)

解析：如圖，B、D、Ai到平面a的距離分別為1、2、4,則D、A,

到平面a的距離為2,所以C到平面a的距離為3；C、A1的中點到平

2

點評：該題將計算蘊(yùn)涵于射影知識中，屬于難得的綜合題目。

［例13］(1)畫出下列幾何體的三視圖

解析：「\，的三視圖如下

⑵，?“方向為物體正前方,V7試畫出它的三視圖(單

點評：畫三視圖之前，應(yīng)把幾何焉飆弄裊4擇一個合適的主視方向。一般先畫主視圖，

射規(guī)律。

［例14］某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀

解析：該幾何體為一個正四棱錐分析：三視圖是從三個不同的方向看同一物體得到的三個視圖。

點評：主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長和高，不反映物體的寬。而俯視圖和

二、空間幾何體的表面積和體積

1.多面體的面積和體積公式：

名稱側(cè)面積(S?)全面積(S/)體積(V)

棱棱柱直截面周長XIS底?h=S直截面?h

S何+2S底

柱直棱柱chS底?h

棱錐各側(cè)面積之和

棱1c1

S側(cè)+S底>.h

錐正棱錐-ch,

2

棱棱臺各側(cè)面面積之和]_________

,1/,、L，—S"S上底+S下底,h(S上底+S下底+Js下底.S下底

臺正棱臺-(c+c')h'3

|2I

表中S表示面積，c'、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，hz表示斜高，1表示側(cè)棱長。

2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式:

名稱圓柱圓錐圓臺球

JTrl

s例2nrln(r,+r2)1

2

S全2nr(l+r)冗r(1+r)n(r,+r2)1+n(r\+r；4nR

Vnr?h(即nr2l)-nr2h-Jih(r2i+rir+r22)-JiR3

3323

表中1、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，n、R分別表示圓臺上、下4

3.探究柱、錐、臺的體積公式：

1、棱柱(圓柱)可由多邊形(圓)沿某一方向平移得到，因此，兩個底面積相等、高也相等的木

柱體(棱柱、圓柱)的體積等于它的底面積5和高/?的積，即V柱體=S/z.

2、類似于柱體，底面積相等、高也相等的兩個錐體，它們的體積也相等.棱錐的體積公式可把一

3、臺體(棱臺、圓臺)的體積可以轉(zhuǎn)化為錐體的體積來計算.如果臺體的上、下底面面積分別)

4、柱體、錐體、臺體的體積公式之間關(guān)系如下：

/體=Shu(S=S)%體=；/z(S+后+S')(S'=0)n腺體=gS/2.

4.探究球的體積與面積公式：

1.球的體積:

(1)比較半球的體積與其等底等高的旋轉(zhuǎn)體的體積

結(jié)論：1帷杵

laltB[si不王

(2)利用“倒沙實驗”，探索底面半徑和高都為球半徑的圓柱、圓錐與半球三者體積之間的關(guān)系(課

結(jié)論：4%=唳柱—~錐=成2出—彳成2.氏書戒3

(3)得到半徑是R的球的體積公式：

結(jié)論：％=伴成3

2.球的表面積：

由于球的表面是曲面，不是平面，所以球的表面積無法利用展開圖來求.該如何求球的表面積公

(1)若將球表面平均分割成n個小塊，則每小塊表面可近似看作一個平面，這n小塊平面面積

(2)若每小塊表面看作一個平面，將每小塊平面作為底面，球心作為頂點便得到n個棱錐，這1

(3)半徑為R的球的表面積公式：

結(jié)論：S球=

例題講解：

[例1]一個長方體全面積是20cm之，所有棱長的和是24cm,求長方體的對角線長.

解析：設(shè)長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycniszcnis1cm

2(xy+yz+zx)=20(1)

依題意得:

4(x+y+z)=24⑵

由(2)z得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)

由(3)—(1)得x'+J+zJlG

即y=16

所以1=4(cm)o

點評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表面積多被

［例2］如圖1所示，在平行六面體ABCD—ABCD中，已知AB=5,AD=4,AA,=3,AB±AD,ZA1AB=ZA1/

(1)求證：頂點由在底面ABCD上的射影0在/BAD的平分線上;

(2)求這個平行六面體的體積。

解析：(1)如圖2,連結(jié)AQ,則AQ_L底面ABCD。作OMLAB交AB于M,作ONLAD交AD于N,i

ARtAA.NA^RtAAJlA,.,.A.M=A^,

從而OM=ONo

二點。在/BAD的平分線上。

JI13

(2)VAM=AAcos-=3X-=-

I322

.\A0--^-=-V2o

兀2

cos

4

Q9

又在RtZ\A0Ai中，AQJAA「-A02=9--=-,

22

...AQ=述，平行六面體的體積為V=5x4x迪=30后。

22

［例3］一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是直,迷，這個長方體對角線的長是（）

A.2百B.372C.6D.V6

解析：設(shè)長方體共一頂點的三邊長分別為a=l,b=V2,c=V3,則對角線1的長為1=序石

點評：解題思路是將三個面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素一棱長。

［例4］如圖，三棱柱ABC—ABG中，若E、F分別為AB、AC的中點，平面EB￡將三棱柱分成體積為1

解析：設(shè)三棱柱的高為h,上下底的面積為S,體積為V,則V叫+V2=Sh

VEsF分別為AB、AC的中點,

??SAAEF~—S,

4

V=-h(S+-S+J5--)=—Sh

134V412

V,=Sh-V,=—Sh,

12

.?.%：V2=7:5o

點評：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系。最

題型3：錐體的體積和表面積

［例5］（2006上海，19）在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2臼

解析：（1）在四棱錐P-ABCD中，由P0_L平面ABCD,得NPB0是

在RtAAOB中B0=ABsin30°=1,由P01B0,

B

于是P0=B0tan600=百，而底面菱形的面積為2百。

，四棱錐P—ABCD的體積V=！X2若X石=2。

3

點評：本小題重點考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力方面主要

[例6](2002京皖春文，19)在三棱錐S—ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,且AC：

(I)證明：SC±BC；

(II)求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大?。?/p>

(III)求三棱錐的體積Vs-ABC。

解析：(I)證明：VZSAB=ZSAC=90°,

；.SA±AB,SA±ACO

又ABDAC=A,

，SA_L平面ABCo

由于NACB=90°,即BCLAC,由三垂線定理，得SC_LBC。

(II),/BC±AC,SC±BCo

/.ZSCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角。

在RtaSCB中，BC=5,SB=5逐，得Sc/SB?—欣丁=10。

AC5I

在Rt^SAC中AC=5,SC=10,cosSCA=——=—=-

SC102

/.ZSCA=60°,即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°。

(III)解：在RtASAC中，

22

SA=7SC2-AC2=710-5=V75,

SAA^-?AC?BC=-X5X5=—,

222

.,.V_=--SAACB-SA=-x—

SABC3326

點評：本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關(guān)系。要求對圖形必須具備一定的洞察力,

題型4：錐體體積、表面積綜合問題

[例7]ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，J

解析：如圖，取EF的中點0,連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B—EFG。

G

設(shè)點B到平面EFG的距離為h,BD=,EF,C0=

而GCJ_平面ABCD,且GC=2。

由，得

點評：該問題主要的求解思路是將點面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點B為頂點,

[例8](2006江西理，12)如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng):

BEFD與三棱錐A-EFC的表面積分別是s2,則必有()

A.S,<S2B.S>S2

C.S!=S2D.S.,Sz的大小關(guān)系不能確定

解析：連0A、OB、OC、0D,

則VA-BEFD~VO-ABDVo-ABE-bVo-BEFD

VA-EFC=VQ-ADCH-Vo-AEC-1-'o-EFC又VA-BEED—VA-EFC，

AABEBEPDADC

而每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SBD+S+S=S+SAEc+SEFc又面AEF公共

點評：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首

[例9](2002北京理，18)如圖9—24,在多面體ABCD—ABCD中，上、下底面平行且均為矩形，相

兩底面間的距離為ho

(I)求側(cè)面ABBA與底面ABCD所成二面角的大??；

(II)證明：EF〃面ABCD；

(III)在估測該多面體的體積時，經(jīng)常運(yùn)用近似公式V/S中強(qiáng)面來計算.已知它的體積公式是1

(注：與兩個底面平行，且到兩個底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面)

(I)解：過B￡作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ,過Bi作RGLPQ,

如圖所示:?.?平面ABCD〃平面ABCD,NABC=90°,

/.AB1PQ,AB1B.P.

ZB,PG為所求二面角的平面角.過G作CHLPQ,垂足為H.由于相對側(cè)面與底面所成二面角的3

12/z

PG=—(b—d),又BG=h,tanBiPG=----(b>d),

2b—d

2h2/i

ZB,PG=arctan----,即所求二面角的大小為arctan-----

b-db-d

（II）證明：：AB,CD是矩形ABCD的一組對邊，有AB〃CD,

又CD是面ABCD與面CDEF的交線，

，AB〃面CDEFo

：EF是面ABFE與面CDEF的交線，

.?.AB〃EF。

：AB是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外，

：.EF〃面ABCD。

（III）Vft<Vo

證明：'.'a>c,b>d,

h4+cb+da+cb+d.

???V-V/—(cd+"+4-----------h

62丁)一丁2

h

-一[2cd+2ab+2(a+c)(b+d)—3(a+c)(b+d)]

12

h

=——(a-c)(b—d)>0

12o

AVft<Vo

點評：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體（

題，是極具實際意義的問題?？疾榱丝忌^續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。

[例10]（1）（1998全國，9）如果棱臺的兩底面積分別是S、S',中截面的面積是S。，那么（）

,

A.2瓜=如+^B.S0=4^C.2S0=S+SD.S；=2S'S

（2）（1994全國，7）已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4,高為2,則其體積為（

A.326B.28V3C.2473D.20百

解析：

（1）解析：設(shè)該棱臺為正棱臺來解即可，答案為A；

77C

（2）正六棱臺上下底面面積分別為：S上=6-—?22=6A/3,S=6-—-42=24A/3,丫臺=-

4T4：

點評：本題考查棱臺的中截面問題。根據(jù)選擇題的特點本題選用“特例法”來解，此種解法在解

題型6:圓柱的體積、表面積及其綜合問題

[例11]（2000全國理，9）一個圓柱的側(cè)面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比

,1+2乃c1+4萬八1+2乃、1+4乃

A.----B.-----C.-----D.-----

2〃4乃712%

解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則由題設(shè)知h=2nr.

222222

.,.S金=2nr+（2nr）=2nr（1+2n）.SS|=h=4nr,

.?.屋=11交。答案為A。

Sf?]2兀

點評：本題考查圓柱的側(cè)面展開圖、側(cè)面積和全面積等知識。

[例12]（2003京春理13,文14）如圖9—9,一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放.

(1)(2)

4

解析：水面高度升高r,則圓柱體積增加nR2-r。恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此有彳

點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。

[例13]（1）（2002京皖春，7）在AABC中，AB=2,BC=1.5,ZABC=120°（如圖所示），若將AABC2

9753

A.nB.—JTC.—nD.——JT

2222

（2）（2001全國文，3）若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為6,則這個圓錐的全面積是'

A.3nB.3V3nC.6nD.9n

解析：（1）如圖所示，該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐C—ADE與圓錐B—ADE體積之差,

V=K-V=--7T,答案Do

C-ALD)tE,DB—AAUDC.E3232

圖

(2)VS=-absin6,?.-a2sin60°=百，

22

??Q2==4a=2,a=2r,

.*.r=l,S金=2nr+n式=2n+JI=3n,答案A。

點評：通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對空間圖形的處理能力是空間想象

［例14］(2000全國文，12)如圖所示，0A是圓錐底面中心0到母線的垂線，0A繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲

V22V2V2

解析：如圖所示，由題意知，一”!"%=-nl^h,

36

：.丫=至.又△ABOs^CAO,/:\

.rOA/R-R4二二主亡二二

OARV2V2圖

nAi

.-.cose=—=-^,答案為D。

RV2

點評：本題重點考查柱體、錐體的體積公式及靈活的運(yùn)算能力。

［例15］已知過球面上A,8,C三點的截面和球心的距離為球半徑的一半,且AB=6C=C4=2,求球的

解析：設(shè)截面圓心為0',連結(jié)。/,設(shè)球半徑為R,

出八，426c2G

則。A=-x——x2=---,

323

在Rt\O'OA中，O*=O'A2+O'O2

：.R2=(^-f+-R2,

34

3

S-4/rR~---7To

9

點評：正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。

［例16］如圖所示，球面上有四個點P、A、B、C,如果PA,PB,PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,下

解析：如圖，設(shè)過A、B、C三點的球的截面圓半徑為r,圓心為O',球心到該圓面的距離為d。

在三棱錐P—ABC中，VPA,PB,PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,

.?.AB=BC=CA=J^a,且P在4ABC內(nèi)的射影即是△ABC的中心O'。

由正弦定理，得-^-=2r,?.r=—ao

sin6003

又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有00'，平面ABC,而P0'，平面ABC,

，P、0、O'共線，球的半徑R7r2+屋。又pg，7PA2—產(chǎn)=舊一|“2=2^a,

.?.00'=R-—a=d=7/?2-r2,(R--a)2=R2-(—a)2,解得R=@a,

3332

22

.'.S冰=4nR=3nao

點評：本題也可用補(bǔ)形法求解。將P—ABC補(bǔ)成一個正方體，由對稱性可知，正方體內(nèi)接于球，D

[例17](2006四川文，10)如圖，正四棱錐尸一ABC。底面的四個頂點4,8,C,。在球。的同一個大H

A.4〃B.8萬C.12〃D.167r

(2)半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長為逐，求球的表

解析：(1)如圖，正四棱錐P-458底面的四個頂點A,B,C,O在球。的

(2)作軸截面如圖所示,

AC

CC'=m,AC=4i?瓜=2班,

設(shè)球半徑為R,

則/?2=OC2+CC，2

=(倔2+(揚(yáng)2=9

R=3,

,4,

??5球=4兀R-=36%,展=—7TR—36萬。

點評：本題重點考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式，解題的關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球

[例18](1)表面積為324乃的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個正四棱柱的表面積。

(2)正四面體ABCD的棱長為a,球0是內(nèi)切球，球。是與正四面體的三個面和球0都相切的一個小

解析：(1)設(shè)球半徑為R,正四棱柱底面邊長為明

則作軸截面如圖，AA'=i4,AC=42a,

又：4萬/?2=324?,二R=9,

/.AC=VAC,2-CC,2=8>/2,/.a=8,

S&=64x2+32x14=576.

(2)如圖，設(shè)球0半徑為R,球a的半徑為r,E為CD中點，球0與平面ACD、BCD切于點F、C

△AOF^AAEG

△AOiH^AAOF

44

匕T/求°】一§k3一鏟

C

點評：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點是面的中心，球心到各面的距離相等。

[例19](1)我國首都靠近北緯40緯線，求北緯40緯線的長度等于多少加？(地球半徑大約為637

(2)在半徑為13C77?的球面上有A,8,C三點，AB=BC=AC^12cm,求球心到經(jīng)過這三點的截面白

解析：(1)如圖，A是北緯40上一點，AK是它的半徑,

/.OK±AK,

設(shè)C是北緯40的緯線長,

?/ZAOB=ZOAK=40,

C=2〃?AK=2萬?OA-cosz

?2x3.14x6370x0.7660?3.066x104(km)

答：北緯40緯線長約等于3.066x104kn.

(2)解：設(shè)經(jīng)過A,B,C三點的截面為。O',

設(shè)球心為。，連結(jié)OO,則。。_L平面ABC,

/.O（y=>loAr-OA2=11,

所以，球心到截面距離為1lew.

A5兩點的劣弧長為、

［例20］在北緯45圈上有A3兩點，設(shè)該緯度圈上

解析：設(shè)北緯45圈的半徑為「'貝*=苧R,

設(shè)O'為北緯45圈的圓八

：.ar=-7rR,.?①Ra造

424

：.AB=yfir=R,

2

.,.△ABC中，NAOB=一，

3

所以，A,8兩點的球面距離等于2夫.

3

點評：要求兩點的球面距離，必須先求出兩點的直線距離，再求出這兩點的球心角，進(jìn)而求出這

第一章檢測題

1.長方體ABCD-ABCD的AB=3,AD=2,CCFI,一條繩子從A沿著表面拉到點G,繩子的最短長度是

A.V13+1B.726C.V18D.V14

2.若球的半徑為R,則這個球的內(nèi)接正方體的全面積等于（）

A.8R2B.9R2C.10R2D.12R2

3.邊長為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從E點沿圓柱的側(cè)面到相對頂點G的最短距離是（

A.10cmB.5V2cmC.57-T2+1cmD