考研數(shù)學(xué)二分類模擬題95

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題95一、填空題1.

由曲線，x=2及y=2所圍圖形的面積S=______．正確答案：．[解析]由圖可知所求面積為

2.

曲線y=-x3+x2+2x與x軸所圍成的圖形的面積A=______．正確答案：．[解析]本題是求一條三次拋物線與x軸所圍圖形的面積．應(yīng)先求出函數(shù)y=-x3+x2+2x的零點(diǎn)：x1=-1，x2=0，x3=2．判斷圖形哪一部分在x軸下方，哪一部分在上方，則

3.

位于曲線y=xe-x(0≤x＜+∞)下方，x軸上方的無界圖形的面積是______．正確答案：1．[解析]

4.

設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=eaθ(a＞0)，則該曲線上相應(yīng)于θ從0變到2π的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為______．正確答案：．[解析]

5.

設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為，則L所圍平面圖形的面積是______．正確答案：．[解析]曲線所圍成的是“三葉玫瑰線”的一個(gè)“花瓣”，注意到圖形關(guān)于極軸的對(duì)稱性，其面積為

6.

當(dāng)0≤θ≤π時(shí)，對(duì)數(shù)螺線r=eθ的弧長為______．正確答案：．[解析]根據(jù)弧長公式得

7.

曲線的弧長s=______．正確答案：．[解析]

8.

質(zhì)點(diǎn)以速度tsint2米/秒作直線運(yùn)動(dòng)，則從時(shí)刻秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程等于______米．正確答案：．[解析]質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程為

9.

一根長度為1的細(xì)棒位于x軸的區(qū)間[0，1]上，若其線密度ρ(x)=-x2+2x+1，則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)．正確答案：．[解析]質(zhì)心坐標(biāo)

二、解答題1.

過點(diǎn)(0，1)作曲線L：y=lnx的切線，切點(diǎn)為A，又L與x軸交于B點(diǎn)，區(qū)域D由L與直線AB圍成．求區(qū)域D的面積及D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：解

設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，則切線方程為

將點(diǎn)(0，1)代入該切線方程，并注意到y(tǒng)1=lnx1，解得x1=e2，y1=2．

所求面積為

所求體積為

2.

設(shè)D是由曲線，直線x=a(a＞0)及x軸圍成的平面圖形，Vx，Vy分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．若Vy=10Vx，求a的值．正確答案：解

由Vy=10Vx，即，解得

3.

設(shè)A＞0，D是由曲線段及直線y=0，所圍成的平面區(qū)域，V1，V2分別表示D繞x軸與繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積．若V1=V2，求A的值．正確答案：解

由A＞0，可得

因?yàn)閂1=V2，即．

4.

計(jì)算曲線y=ln(1-x2)上相應(yīng)于的一段弧的長度．正確答案：解

5.

求擺線一拱(0≤t≤2π)的弧長S．正確答案：解

因?yàn)?/p>

所以

6.

設(shè)ρ=ρ(x)是拋物線上任一點(diǎn)M(x，y)(x≥1)處的曲率半徑，s=s(x)是拋物線上介于點(diǎn)A(1，1)與M之間的弧長，計(jì)算的值．(在直角坐標(biāo)系下曲率公式為)正確答案：解

所以拋物線在點(diǎn)M(x，y)處的曲率半徑

拋物線上的弧長

由參數(shù)方程求導(dǎo)公式得

從而

7.

設(shè)有曲線，過原點(diǎn)作其切線，求由此曲線、切線及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積．正確答案：解

設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，則切點(diǎn)，曲線在此點(diǎn)的切線斜率為，于是切線方程為

又因它經(jīng)過原點(diǎn)，以點(diǎn)(0，0)代入，得-2(x0-1)=-x0，解得x0=2，于是切線方程為，即，切點(diǎn)為(2，1)．

由曲線段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)面的面積為

由直線段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)面的面積為

因此，所求旋轉(zhuǎn)體的表面積為．

8.

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)大于零，并滿足xf'(x)=f(x)+(a為常數(shù))，又曲線y=f(x)與x=1，y=0所圍的圖形S的面積值為2，求函數(shù)y=f(x)，并問a為何值時(shí)，圖形S繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最?。_答案：解

由題設(shè)知，當(dāng)x≠0時(shí)，，據(jù)此并由f(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性，得

又由已知條件得

即C=4-a，

因此

旋轉(zhuǎn)體的體積為

由

得a=-5，

又因

故a=-5時(shí)，旋轉(zhuǎn)體體積最?。?/p>

9.

求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一個(gè)解y=y(x)，使得由曲線y=y(x)與直線x=1，x=2以及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小．正確答案：解

原方程可化為

這是一階線性非齊次微分方程，故直接套用公式得

由曲線y=x+Cx2，直線x=1，x=2以及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積為

令V'(C)=0，得

解出

又為唯一極小值點(diǎn)，也就是最小值點(diǎn)．因此，

為所求解．

設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過點(diǎn)，其上任一點(diǎn)P(x，y)處的法線與y軸的交點(diǎn)為Q，且線段PQ被x軸平分．10.

求曲線y=f(x)的方程：正確答案：解

曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x，y)處的法線方程為

其中(X，Y)為法線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)．令X=0，則

故Q點(diǎn)坐標(biāo)為由題設(shè)知

積分得

x2+2y2=C．

由知C=1，故曲線y=f(x)的方程為

x2+2y2=1．

11.

已知曲線y=sinx在[0，π]上的弧長為l，試用l表示曲線y=f(x)的弧長s．正確答案：解

曲線y=sinx在[0，π]上的弧長為

曲線y=f(x)的參數(shù)方程為

故

令，則

曲線與直線x=0，x=t(t＞0)及y=0圍成一曲邊梯形．該曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為V(t)，側(cè)面積為S(t)，在x=t處的底面積為F(t)．12.

求的值；正確答案：解

所以

13.

計(jì)算極限正確答案：解

已知曲線L的方程為14.

討論L的凹凸性；正確答案：解

由于

當(dāng)t＞0時(shí)，，故L是凸的．

15.

過點(diǎn)(-1，0)引L的切線，求切點(diǎn)(x0，y0)，并寫出切線的方程；正確答案：解

因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí)，L在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程為x=1，不合題意，故設(shè)切點(diǎn)(x0，y0)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0＞0，則L在(x0，y0)處的切線方程為

令x=-1，y=0．得

解得t0=1或t0=-2(舍去)．

由t=1知，切點(diǎn)為(2，3)，且切線方程為y=x+1．

16.

求此切線與L(對(duì)應(yīng)于x≤x0的部分)及x軸所圍成的平面圖形的面積．正確答案：解

由y=0時(shí)t=0，t=4知L與x軸的交點(diǎn)分別為(1，0)和(17，0)．故所求平面圖形的面積為

17.

設(shè)非負(fù)函數(shù)y=y(x)(x≥0)滿足微分方程xy"-y'+2=0，當(dāng)曲線y=y(x)過原點(diǎn)時(shí)，其與直線x=1及y=0圍成平面區(qū)域D的面積為2，求D繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積．正確答案：解

記y'=p，則y"=p'，代入微分方程，當(dāng)x＞0時(shí)，

解得

因此

由已知y(0)=0，有，于是C2=0，故

由題意，有

所以C1=6，因此

y=2x+3x2．

由于

故所求體積為

設(shè)曲線L的方程為．18.

求L的弧長；正確答案：解

，則

于是L的弧長

19.

設(shè)D是由曲線L，直線x=1，x=e及x軸所圍平面圖形，求D的形心的橫坐標(biāo)．正確答案：解

平面圖形D的形心橫坐標(biāo)的計(jì)算公式為，其中

所以D的形心的橫坐標(biāo)為

平面區(qū)域D的形心一般表達(dá)式為：

20.

設(shè)函數(shù)，x∈[0，1]，定義函數(shù)列：

f1(x)=f(x)，f2(x)=f[f1(x)]，…，fn(x)=f[fn-1(x)]，…．

記Sn是由曲線y=fn(x)，直線x=1及x軸所圍平面圖形的面積，求極限正確答案：解

由數(shù)學(xué)歸納法得

于是

故

21.

已知函數(shù)f(x，y)滿足，且f(y，y)=(y+1)2-(2-y)lny，求曲線f(x，y)=0所圍圖形繞直線y=-1旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：解

由得

f(x，y)=(y+1)2+g(x)．

又f(y，y)=(y+1)2-(2-y)lny，得

g(y)=-(2-y)lny，

因此

f(x，y)=(y+1)2-(2-x)lnx．

于是，曲線f(x，y)=0的方程為

(y+1)2=(2-x)lnx(1≤x≤2)．

其所圍圖形繞直線y=-1旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積為

對(duì)于偏微分，特別注意積分后不是加上任意常數(shù)C，而是加上關(guān)于x的任意函數(shù)g(x)．

22.

設(shè)D是由曲線圍成的平面區(qū)域，求D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積．正確答案：解

設(shè)D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V，表面積為S，則

23.

為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如圖)．已知井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度為3m/s．在提升過程中，污泥以20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉．現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問克服重力需作多少焦耳的功?

(說明：①1N×1m=1J；m，N，s，J分別表示米，牛頓，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計(jì)．)

正確答案：解

作x軸如圖所示，將抓起污泥的抓斗提升至井口需作功

W=W1+W2+W3，

其中W1是克服抓斗自重所作的功；W2是克服纜繩重力所作的功；W3為提出污泥所作的功．由題意知

W1=400×30=12000(J)．

將抓斗由x處提升到x+dx處，克服纜繩重力所作的功為

dW2=50(30-x)dx，

從而

在時(shí)間間隔[t，t+dt]內(nèi)提升污泥需作功為

dW3=3(2000-20t)dt，

將污泥從井底提升至井口共需時(shí)間，所以

因此，共需作功

W=12000+22500+57000=91500(J)．

24.

某閘門的形狀與大小如圖所示，其中直線l為對(duì)稱軸，閘門的上部為矩形ABCD，下部由二次拋物線與線段AB所圍成．當(dāng)水面與閘門的上端相平時(shí)，欲使閘門矩形部分承受的水壓力與下部承受的水壓力之比為5:4．閘門矩形部分的高h(yuǎn)應(yīng)為多少米?

正確答案：解

坐標(biāo)系的建立如圖，則閘門下部邊緣拋物線的方程為

y=x2(-1≤x≤1)．

由側(cè)壓力公式知，閘門矩形部分所承受的水壓力為

其中ρ為水的密度，g為重力加速度．

同理，閘門下部承受的水壓力為

按題意，因而有

即3h2-5h-2=0，

解之得h=2，(舍去)．因此閘門矩形部分的高應(yīng)為2米．

25.

一個(gè)高為l的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a，短軸為2b的橢圓．現(xiàn)將貯油罐平放，當(dāng)油罐中油面高度為時(shí)(如圖)，計(jì)算油的質(zhì)量．(長度單位為m，質(zhì)量單位為kg，油的密度為常量ρ，單位為kg/m3．)

正確答案：解

如圖所示建立坐標(biāo)系，則油罐底面橢圓方程為．圖中陰影部分為油面與橢圓所圍成的圖形．記S1為下半橢圓面積，則．

記S2是位于x軸上方陰影部分的面積，則

設(shè)y=bsint，則dy=bcostdt，

于是油的質(zhì)量為

26.

一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由連接而成．

(Ⅰ)求容器的容積；

(Ⅱ)若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功?(長度單位為m，重力加速度為gm/s2，水的密度為103kg/m3．)正確答案：解法1

(Ⅰ)由對(duì)稱性，所求的容積為

即該容器的容積為．

(Ⅱ)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，功的微元

dW=103gπ(1-y2)(2-y)dy；

當(dāng)時(shí)，功的微元

dW=103gπ[1-(y-1)2)](2-y)dy，

故所求的功為

即所求的功為．

解法2

(Ⅰ)所求的容積為

即該容器的容積為．

(Ⅱ)同解法1．

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且m≤f(x)≤M．27.

求正確答案：解

由積分中值定理和微分中值定理有

28.

證明正確答案：證

由f(x)的有界性及積分估值定理有

又

-M≤-f(x)≤-m，

故有

即

29.

設(shè)f'(x)在[0，a]上連續(xù)，且f(0)=0，證明：，其中．正確答案：證法1

任取x∈(0，a]，由微分中值定理有

f(x)-f(0)=f'(ξ)x，ξ∈(0，x)．

又因f(0)=0，故f(x)=f'(ξ)x，x∈(0，a]，于是

證法2

設(shè)x∈[0，a]，由f(0)=0知

于是

故

對(duì)積分作估計(jì)，只要對(duì)被積函數(shù)f(x)作估計(jì)即可．條件中給出導(dǎo)數(shù)f'(x)及f(0)=0的信息，自然想辦法把f(x)和f'(x)聯(lián)系起來，在高等數(shù)學(xué)中，聯(lián)系f(x)和f'(x)的常用的有兩種辦法，一是微分學(xué)中的拉格朗日中值定理(解法1)，二是積分學(xué)中的牛頓—萊布尼茨公式(解法2)．

30.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且遞減，證明：當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，．正確答案：證法1

其中0≤ξ1≤λ≤ξ2≤1．因f(x)遞減，則有f(ξ1)≥f(ξ2)．

又λ＞0，1-λ＞0，所以λ(1-λ)[f(ξ1)-f(ξ2)]≥0，即原不等式成立．

證法2

令

又f(x)遞減，于是，當(dāng)0＜λ＜ξ時(shí)，F(xiàn)'(λ)＞0，當(dāng)ξ＜λ＜1時(shí)，F(xiàn)'(λ)＜0，且F(0)=F(1)=0，所以，即

設(shè)函數(shù)31.

當(dāng)n為正整數(shù)，且nπ≤x＜(n+1)π時(shí)，證明：2n≤S(x)＜2(n+1)；正確答案：解

因?yàn)閨cosx|≥0，且nπ≤x＜(n+1)π，所以

又因?yàn)閨cosx|是以π為周期的函數(shù)，在每個(gè)周期上積分值相等，所以

因此，當(dāng)nπ≤x＜(n+1)π時(shí)，有

2n≤S(x)＜2(n+1)．

32.

求正確答案：解

由第一小題知，nπ≤x＜(n+1)π時(shí)，有

令x→+∞，由夾逼準(zhǔn)則得

33.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且．試證明：在(0，π)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．正確答案：證

令

則有F(0)=0，F(xiàn)(π)=0．又因?yàn)?/p>

所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0．若不然，則在(0，π)內(nèi)或F(x)sinx恒為正，或F(x)sinx恒為負(fù)，均與矛盾．但當(dāng)ξ∈(0，π)時(shí)，sinξ≠0，故F(ξ)=0．

由上證得F(0)=F(ξ)=F(π)=0(0＜ξ＜π)．

再對(duì)F(x)在區(qū)間[0，ξ]，[ξ，π]上分別應(yīng)用羅爾中值定理，知至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得

F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，

即f(ξ1)=f(ξ2)=0．

34.

證明積分中值定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)η∈[a，b]，使得．正確答案：證

設(shè)M與m是連續(xù)函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值與最小值，即

m≤f(x)≤M，x∈[a，b]．

由定積分性質(zhì)，有

即

由連續(xù)函數(shù)介值定理，至少存在一點(diǎn)η∈[a，b]，使得

即

35.

若函數(shù)φ(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足φ(2)＞φ(1)，，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0．正確答案：證

由上一小題的結(jié)論，可知至少存在一點(diǎn)η∈[2，3]，使

又由知，2＜η≤3．

對(duì)φ(x)在[1，2]和[2，η]上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，并注意到φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)，得

在[ξ1，ξ2]上對(duì)導(dǎo)函數(shù)φ'(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理，有

[解析]“加強(qiáng)形式的積分中值定理”設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，則