1.8三角函數(shù)的簡單應(yīng)用課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第一章三角函數(shù)§8三角函數(shù)的簡單應(yīng)用北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗收·課堂達標(biāo)檢測課程標(biāo)準1.了解常見的三角函數(shù)模型.2.初步體會利用三角函數(shù)研究簡單的實際問題.3.通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí),初步學(xué)會由圖象求函數(shù)解析式的方法.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點

解答三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟解答三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟可分為四步:審題、建模、解模、回歸實際問題.(1)審題:審題是解題的基礎(chǔ),它包括閱讀理解、翻譯、挖掘等,通過閱讀,真正理解用文字語言表述的實際問題的類型、思想內(nèi)涵、問題的實質(zhì),初步預(yù)測所屬數(shù)學(xué)模型.有些問題中采用即時定義解釋某些概念或?qū)I(yè)術(shù)語,要仔細閱讀,準確把握,同時,注意挖掘一些隱含條件.(2)建模:在細心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上,引進數(shù)學(xué)符號,將試題中的非數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,然后根據(jù)題意,列出數(shù)量關(guān)系,建立三角函數(shù)模型.這時要注意三角函數(shù)的定義域應(yīng)符合實際問題的要求,這樣便將實際問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題.(3)解模:運用三角函數(shù)的有關(guān)公式進行推理、運算,使問題得到解決.(4)回歸實際問題:應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題,既要符合數(shù)學(xué)科學(xué),又要符合實際背景,因此,對于解出的結(jié)果要代入原問題中進行檢驗.名師點睛1.三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型,可以用來研究很多問題,在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測未來等方面發(fā)揮著重要作用.2.三角函數(shù)模型的三種模式在現(xiàn)實生活中,許多變化的現(xiàn)象都具有周期性,因此,可以用三角函數(shù)模型來描述.如氣象方面有溫度的變化,天文學(xué)方面有白晝時間的變化,物理學(xué)方面有各種各樣的振動波,生理方面有人的情緒、智力、體力的變化等.研究這些應(yīng)用問題,主要有以下三種模式:①給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型,根據(jù)所給模型,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),解決一些實際問題;②給定呈周期變化的圖象,利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式,再解決其他問題;③搜集一個實際問題的調(diào)查數(shù)據(jù),根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖,通過擬合函數(shù)圖象,求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)解析式,進一步用函數(shù)性質(zhì)來解決相應(yīng)的實際問題.過關(guān)自診[人教A版教材例題]摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.如圖,某摩天輪最高點距離地面高度為120m,轉(zhuǎn)盤直徑為110m,設(shè)置有48個座艙,開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn),游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙,轉(zhuǎn)一周大約需要30min.(1)游客甲坐上摩天輪的座艙,開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm,求在轉(zhuǎn)動一周的過程中,H關(guān)于t的函數(shù)解析式;(2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度;(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里,在運行一周的過程中,求兩人距離地面的高度差h(單位:m)關(guān)于t的函數(shù)解析式,并求高度差的最大值(精確到0.1).解

如圖,設(shè)座艙距離地面最近的位置為點P,以軸心O為原點,與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一已知三角函數(shù)解析式解決實際問題【例1】

心臟跳動時,血壓在增加或減少.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)=115+25sin160πt,其中p(t)為血壓(單位:mmHg),t為時間(單位:min),試回答下列問題:(1)求函數(shù)p(t)的周期;(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù);(3)畫出函數(shù)p(t)的草圖;(4)求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù).描點、連線并向左右擴展得到函數(shù)p(t)的簡圖如圖所示:(4)由圖可知此人的收縮壓為140

mmHg,舒張壓為90

mmHg.規(guī)律方法

用建模方法解決函數(shù)圖象與解析式問題解決此類問題的關(guān)鍵是將實際意義與函數(shù)模型y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)相結(jié)合,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題再解決.變式訓(xùn)練1某地昆蟲種群數(shù)量在七月份1~13日的變化如圖所示,且滿足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ<0).(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求函數(shù)解析式;(2)從7月1日開始,每隔多長時間種群數(shù)量就出現(xiàn)一個低谷或一個高峰?探究點二已知函數(shù)模型確定函數(shù)解析式【例2】

如圖,風(fēng)車葉輪的最高頂點離地面14.5m,葉輪旋轉(zhuǎn)所成圓的直徑為14m,風(fēng)葉輪以每分鐘旋轉(zhuǎn)2周的速度勻速轉(zhuǎn)動,葉輪頂點從離地面最低點經(jīng)15s后到達最高點.以葉輪頂點離地面的高度y(單位:m)與葉輪頂點離地面最低點開始轉(zhuǎn)的時間t(單位:s)建立一個數(shù)學(xué)模型,用函數(shù)y=asin[ω·(t-b)]+c來表示,求參數(shù)a,b,c,ω的值,并寫出函數(shù)解析式.因為葉輪旋轉(zhuǎn)所成圓的直徑為14

m,所以葉輪頂點應(yīng)該在離圓心上下、左右7

m范圍內(nèi)變化,即函數(shù)振幅a=7.規(guī)律方法

三角函數(shù)解析式的求法求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式時,一定要清楚影響A,ω,φ,b的因素,,ω與周期有關(guān),φ可用特殊點來求,當(dāng)已知A,b時,也可以根據(jù)相位對應(yīng)法列出方程組求ω,φ的值.變式訓(xùn)練2右圖為某地一天從6時到14時的溫度變化曲線,其圖象近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0).(1)求這段時間的最大溫差;(2)寫出這段曲線的一個函數(shù)解析式;(3)請預(yù)測16時的溫度(精確到1℃).解

(1)由題圖知,這段時間的最大溫差是30-10=20(℃).(2)因為題圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的半個周期的圖象.(3)根據(jù)(2)中得出的解析式知,當(dāng)x=16時,y=20+5≈27,即16時的溫度約為27

℃.探究點三建立三角函數(shù)模型解決實際問題【例3】

如圖為一輛觀覽車示意圖,該觀覽車半徑為4.8m,圓上最低點與地面的距離為0.8m,60s轉(zhuǎn)動一圈,圖中OA與地面垂直,以O(shè)A為始邊,逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB,設(shè)B點與地面的距離為hm.(1)求h(單位:m)與θ(單位:rad)之間的函數(shù)解析式;(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動,經(jīng)過ts到達OB,求h(單位:m)與t(單位:s)之間的函數(shù)解析式.規(guī)律方法

解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟

變式訓(xùn)練3已知某海濱浴場海浪的高度y(單位:m)是時間t(0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),記作y=f(t).下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù):t/h03691215182124y/m1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測,y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acosωt+b.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T,振幅A及函數(shù)解析式;(2)依據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度高于1.25m時才對沖浪愛好者開放,請依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)有多少時間可供沖浪者進行運動.即12k-2<t<12k+2,k∈Z.因為0≤t≤24,故當(dāng)k的值分別為0,1,2時可得0≤t<2或10<t<14或22<t≤24.所以一天內(nèi)有8個小時的時間可供沖浪運動.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)已知三角函數(shù)解析式解決實際問題;(2)構(gòu)造三角函數(shù)模型解決實際問題.2.方法歸納:數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):選擇三角函數(shù)模型時,最后結(jié)果忘記回歸實際生活.成果驗收·課堂達標(biāo)檢測12345678A級必備知識基礎(chǔ)練1.(多選)如圖所示是一質(zhì)點做簡諧運動的圖象,則下列結(jié)論正確的是(

)A.該質(zhì)點的運動周期為0.8sB.該質(zhì)點的振幅為1cmC.該質(zhì)點在0.1s和0.5s時運動速度最大D.該質(zhì)點在0.1s和0.5s時運動速度為零ABD解析

由題圖可知,=0.7-0.3=0.4,所以T=0.8;最小值為-1,所以振幅為1

cm;在0.1

s和0.5

s時,質(zhì)點到達運動的端點,所以速度為0.123456782.如圖所示的是一個半徑為3米的水輪,水輪的圓心O距離水面2米,已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈,水輪上的點P到水面的距離y(單位:米)與時間t(單位:秒)滿足關(guān)系式y(tǒng)=Asin(ωt+φ)+2,則(

)B12345678等邊三角形123456784.交流電的電壓E(單位:V)與時間t(單位:s)的關(guān)系可用求:(1)開始時的電壓;(2)電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時間間隔;(3)電壓的最大值和第一次獲得這個最大值的時間.123456785.為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系,建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)秒針位置P(x,y).若初始位置為,當(dāng)秒針從P0(注:此時t=0s)開始走時,點P的縱坐標(biāo)y與時間t(單位:s)的函數(shù)解析式為(

)B級關(guān)鍵能力提升練C12345678123456786.某時鐘的秒針端點A到中心點O的距離為5cm,秒針均勻地繞點O旋轉(zhuǎn),當(dāng)時間t=0時,點A與鐘面上標(biāo)12的點B重合,將A,B兩點的距離d(單位:cm)表示成時間t(單位:s)的函數(shù),則d=

,其中t∈[0,60].

123456787.春節(jié)期間,某地晝夜氣溫呈周期性變化,溫度y(單位:℃)隨時間x(單位:h)變化近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,-π<φ≤π),且在每天凌晨2時達到最低溫度-3℃,在下午14時達到最高溫度9℃,從2時到14時為半個周期.(1)求這段時間氣溫隨時間變化的函數(shù)解析式.(2)這段時間該地一晝夜內(nèi)哪幾個時刻的氣溫為0℃?注:一晝夜指從凌晨0時(含)到午夜24時(不含).1234567812345678C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練8.在某景區(qū)的一家專門為游客提供住宿的客棧中,工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準備的食物有些月份剩余較多,浪費很嚴重.為了控制經(jīng)營成本,減少浪費,計劃適時調(diào)整投入.為此他們統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù),發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)呈周期性變化,并且有以下規(guī)律:①每年相同的月份,入住客棧的游客人數(shù)基本相同;②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少,在8月份最多,相差約400人;③2月份入住客棧的游客約為100人,隨后逐月遞增,在8月份達到最多.(1)試用一個正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系;(2)請問客棧在哪幾個月份要準備400份以上的食物?12345678解(1)設(shè)該函數(shù)為f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π),其中x=