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文檔簡(jiǎn)介
第一章集合與常用邏輯用語第4節(jié)充分條件與必要條件第一課時(shí)充分條件與必要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解命題的概念,會(huì)判斷命題的真假;2、理解充分條件、必要條件的意義;3、會(huì)判斷充分條件和必要條件.
一般地,我們把用語言、符號(hào)或式子,表達(dá)的,可以判斷真假的陳述句叫做命題.
判斷為真的語句叫做真命題,
判斷為假的語句叫做假命題.中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多命題可以寫成“若p,則q”“如果p,那么q”等形式.其中p稱為命題的條件,q稱為命題的結(jié)論.本節(jié)主要討論這種形式的命題.下面我們將進(jìn)一步考查“若p,則q”形式的命題中p和q的關(guān)系,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的三個(gè)常用的邏輯用語—充分條件、必要條件和充要條件.在初中,我們已經(jīng)對(duì)命題有了初步的認(rèn)識(shí).命題:例1:下列“若p,則q
”形式的命題中,哪些是真命題?哪些是假命題?
(1)若平行四邊形的對(duì)角線互相垂直,
則這個(gè)平行四邊形是菱形;
(2)若兩個(gè)三角形的周長相等,
則這兩個(gè)三角形全等;
(3)若x2-4x+3=0,則x=1;
(4)若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直
于直線l,則a//b.真命題假命題假命題真命題練習(xí)1:下列“若p,則q
”形式的命題中,哪些是真命題?哪些是假命題?
(1)若兩個(gè)三角形全等,
則這兩個(gè)三角形相似;
(2)若x>5,則x>10.真命題假命題練習(xí)1:下列“若p,則q
”形式的命題中,哪些是真命題?哪些是假命題?
(1)若兩個(gè)三角形全等,
則這兩個(gè)三角形相似;
(2)若x>5,則x>10.
在真命題(1)中,如果p成立,那么q一定成立.即:只要有p就能充分地保證q的成立.
此時(shí),如果q不成立,則p一定不成立,所以,
q對(duì)于p成立而言是必要的.pq練習(xí)1:下列“若p,則q
”形式的命題中,哪些是真命題?哪些是假命題?
(1)若兩個(gè)三角形全等,
則這兩個(gè)三角形相似;
(2)若x>5,則x>10.
在假命題(2)中,條件p
不充分,所以,q對(duì)于p成立而言是不必要的.pq2、充分條件與必要條件一般地,“若p,則q”為真命題,是指由p通過推理能推出q. 這時(shí),我們就說,由p可以推出q,記作:
p?q
,讀作:
p推出q.并且說,p是q的充分條件,
q是p的必要條件.充分條件與必要條件會(huì)同時(shí)出現(xiàn),但是要分清楚誰是誰的什么條件,即p是q的還是q是p的什么條件。
如果“若p,則q”為假命題,那么由條件p不能推出結(jié)論q,記作:
p?q
.此時(shí),我們就說,p不是q的充分條件,
q不是p的必要條件.也可以說,p是q的不充分條件,
q是p的不必要條件.例2下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的p是q的充分條件?(1)若四邊形的兩組對(duì)角分別相等,則這個(gè)四邊形是平行四邊形;(2)若兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例,則這兩個(gè)三角形相似;(3)若四邊形為菱形,則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直;解:(1)這是一條平行四邊形的判定定理,p?q,所以p是q的充分條件.(2)這是一條相似三角形的判定定理,p?q,所以p是q的充分條件.(3)這是一條菱形的性質(zhì)定理,
p?q,所以p是q的充分條件.(4)若x2=1,則x=1;(5)若a=b,則ac=bc;(6)若x,y為無理數(shù),則xy為無理數(shù).解:(4)由于(-1)2=1,但-1≠1,p?q,所以p不是q的充分條件.(5)由等式性質(zhì)知,p?q,所以p是q的充分條件.(6)是無理數(shù),但
為有理數(shù),p?q,所以p不是q的充分條件.
舉反例是判斷一個(gè)命題是假命題的重要方法.思考例2中命題(1)若四邊形的兩組對(duì)角分別相等,則這個(gè)四邊形是平行四邊形.給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件,即“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”.這樣的充分條件唯一嗎?如果不唯一,那么你能再給出幾個(gè)不同的充分條件嗎?例如,我們知道,下列命題均為真命題:①若四邊形的兩組對(duì)邊分別相等,則這個(gè)四邊形是平行四邊形;②若四邊形的一組對(duì)邊平行且相等,則這個(gè)四邊形是平行四邊形;③若四邊形的兩條對(duì)角線互相平分,則這個(gè)四邊形是平行四邊形.所以,“四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”“四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”“四邊形的兩條對(duì)角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的充分條件.我們說p是q的充分條件,是指由條件p可以推出結(jié)論q,但這并不意味著只能由這個(gè)條件p才能推出結(jié)論q.一般來說,對(duì)給定結(jié)論q,使得q成立的條件p是不唯一的.事實(shí)上,例1中命題(1)及上述命題①②③均是平行四邊形的判定定理.所以,平行四邊形的每一條判定定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件,即這個(gè)條件能充分保證四邊形是平行四邊形.類似地,平行線的每一條判定定理都給出了“兩直線平行”的一個(gè)充分條件,例如“內(nèi)錯(cuò)角相等”這個(gè)條件就充分保證了“兩條直線平行”.深化概念
充分性:條件是充足的,條件是足夠的,條件是足以保證結(jié)論成立的,但不是唯一的.
“有之必成立,無之未必不成立”
一般地,數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件.練習(xí)2:下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的p是q的充分條件?
(1)若平面內(nèi)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,則PA=PB;
(2)若兩個(gè)三角形的兩邊及一邊所對(duì)的角分別相等,則這兩個(gè)三角形全等;
(3)若兩個(gè)三角形相似,則這兩個(gè)三角形的面積比等于周長比的平方.p是q的充分條件.p不是q的充分條件.p是q的充分條件.
例3下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的q是p的必要條件?(1)若四邊形為平行四邊形,則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分
別相等;(2)若兩個(gè)三角形相似,則這兩個(gè)三角形的三邊成比例;(3)若四邊形的對(duì)角線互相垂直,則這個(gè)四邊形是菱形;解:(1)這是平行四邊形的一條性質(zhì)定理,p?q,所以,q是p的必要條件.(2)這是三角形相似的一條性質(zhì)定理,p?q,所以,q是p的必要條件.(3)如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直,但它不是菱形,P?q,所以q不是p的必要條件.(4)若x=1,則x2=1;(5)若ac=bc,則a=b;(6)若xy為無理數(shù),則x,y為無理數(shù).思考:例3中命題(1)若四邊形為平行四邊形,則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等.給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)必要條件,即“這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角分別相等”.這樣的必要條件是唯一的嗎?如果不唯一,你能給出“四邊形是平行四邊形”的幾個(gè)其他必要條件嗎?例如,下列命題都是真命題.①若四邊形是平行四邊形,則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等;②若四邊形是平行四邊形,則這個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等.③若四邊形是平行四邊形,則這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分.這表明,“四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”“這個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”“四邊形的兩條對(duì)角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的必要條件.我們知道,例3中命題(1)及上述命題①②③均為平行四邊形的性質(zhì)定理.所以,平行四邊形的每條性質(zhì)定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)必要條件.我們說q是p的必要條件,是指以p為條件可以推出結(jié)論q,但這并不意味著由p只能推出結(jié)論q.一般來說,給定條件p,由p可以推出的結(jié)論q是不唯一的.
類似地,平行線的每條性質(zhì)定理都給出了“兩直線平行”的一個(gè)必要條件.例如“同位角相等”是“兩直線平行”的必要條件,也就是說,如果同位角不相等,那么就不可能有“兩直線平行”.深化概念必要性:必要就是必須的,必不可少的,
但不是唯一的.“有之未必成立,無之必不成立”
一般地,數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件.練習(xí)3:下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的q是p的必要條件?
(1)若直線l
與?O有且僅有一個(gè)交點(diǎn),
則l
為?O的一條切線;
(2)若x是無理數(shù),則x2也是無理數(shù).q是p的必要條件
q不是p的必要條件練習(xí)4:如圖,直線a
與b
被直線l
所截,分別得到了∠1,∠2,∠3和∠4.
請(qǐng)根據(jù)這些信息,寫出幾個(gè)“a//b”的充分條件和必要條件.a(chǎn)bl1234解:充分條件:∠1=∠2,∠1=∠4,∠1+∠3=180o.
必要條件:∠1=∠2,∠1=∠4,∠1+∠3=180o.已知P={x|x滿足條件p},Q={x|x滿足條件q}.如果p?q
,那么p是q的什么條件?q是p的什么條件?P?Q,即
或從集合的角度來理解充分條件、必要條件p是q的充分條件q是p的必要條件概念深化即:p?q,小范圍
?大范圍例下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的p是q的充分條件?(1)若四邊形為菱形,則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直;(2)若x2=1,則x=1;(3)若a=b,則ac=bc;qppq一般地,“若p,則q”為真命題且“若q,則p”為假命題,是指由p通過推理可以得出q,由q推理不出p.記作
并且說,p是q的充分不必要條件.一般地,“若p,則q”為假命題且“若q,則p”為真命題,是指由p通過推理不可以得出q,由q可以推理出p.記作
并且說,p是q的必要不充分條件.pqqppq?≠記法A={x|p(x)},B={x|q(x)}關(guān)系A(chǔ)BBA圖示
結(jié)論?≠集合法p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件充分必要充分必要1.充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題“若p,則q”是假命題推出關(guān)系p
q
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