6-1-線性空間的定義與簡單性質(zhì)

線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作向量空間，進(jìn)而通過研究向量空間來解決實際問題．一、線性空間的定義

若對于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個元素與之對應(yīng)，稱為與的積，記作定義１設(shè)是一個非空集合，為實數(shù)域．如果對于任意兩個元素，總有唯一的一個元素與之對應(yīng)，稱為與的和，記作如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律，那么就稱為數(shù)域上的向量空間（或線性空間）．2．向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組．3．判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．說明1．凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運算，稱為線性運算．（１）一個集合，如果定義的加法和乘數(shù)運算是通常的實數(shù)間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性．例１

實數(shù)域上的全體矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間，記作．線性空間的判定方法通常的多項式加法、數(shù)乘多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規(guī)律．例４

正弦函數(shù)的集合對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間．是一個線性空間.例５

在區(qū)間上全體實連續(xù)函數(shù)，對函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間．一般地例６

正實數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運算為驗證對上述加法與乘數(shù)運算構(gòu)成線性空間．（２）一個集合，如果定義的加法和乘數(shù)運算不是通常的實數(shù)間的加乘運算，則必需檢驗是否滿足八條線性運算規(guī)律．證明所以對定義的加法與乘數(shù)運算封閉．下面一一驗證八條線性運算規(guī)律：所以對所定義的運算構(gòu)成線性空間．不構(gòu)成線性空間．對于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例７

個有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體1．零元素是唯一的．證明

假設(shè)是線性空間V中的兩個零元素，由于所以則對任何，有二、線性空間的性質(zhì)2．負(fù)元素是唯一的．證明假設(shè)有兩個負(fù)元素與，那么則有向量的負(fù)元素記為證明4．如果，則或.證明假設(shè)那么又同理可證：若則有線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數(shù)等.線性空間是一個集合對所定義的加法及數(shù)乘運算封閉所定義的加法及數(shù)