2023-2024學(xué)年黑龍江省九校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2黑龍江省九校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將〖答案〗答在答題卡上.選擇題每小顆選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由題意可知，，.故選：D.2.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選:C3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，解得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.16 B.17 C.18 D.20〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，且，所以，則.故選:C.5.設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以即，解得，所以，由，?故選：A6.第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日在北京召開，二十大報(bào)告提出：尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然，是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的內(nèi)在要求．必須牢固樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，站在人與自然和諧共生的高度謀劃發(fā)展．某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，計(jì)劃通過(guò)五年時(shí)間治理市區(qū)湖泊污染，并將其建造成環(huán)湖風(fēng)光帶，預(yù)計(jì)第一年投入資金81萬(wàn)元，以后每年投入資金是上一年的倍；第一年的旅游收入為20萬(wàn)元，以后每年旅游收入比上一年增加10萬(wàn)元，則這五年的投入資金總額與旅游收入總額分別為（）．A.781萬(wàn)元，60萬(wàn)元 B.525萬(wàn)元，200萬(wàn)元C.781萬(wàn)元，200萬(wàn)元 D.1122萬(wàn)元，270萬(wàn)元〖答案〗C〖解析〗由題意知這五年投入的資金構(gòu)成首項(xiàng)為81，公比為，項(xiàng)數(shù)為5的等比數(shù)列，所以這五年投入的資金總額是（萬(wàn)元）．由題意知這五年的旅游收入構(gòu)成首項(xiàng)為20，公差為10，項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列，所以這五年的旅游收入總額是（萬(wàn)元）．故選：C．7.已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，則，且定義域?yàn)?，所以可?gòu)造函數(shù)，則，所以為增函數(shù)，則，則，故B正確.故選：B.8.已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榈炔顢?shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，所以，又，所以，因此要為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)是正整數(shù)，又，則是36的大于1的約數(shù)，又36的非1的正約數(shù)有2，3，4，6，9，12，18，36，共8個(gè)，則的值有1，2，3，5，8，11，17，35，共8個(gè)，所以使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為8.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.有極小值C.有3個(gè)極值點(diǎn) D.在處取得最大值〖答案〗ABC〖解析〗由的圖象可知時(shí)，，則單調(diào)遞減，故A正確；又時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，故B正確；由的圖象可知時(shí)，有極值，所以有3個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以，則在處不能取得最大值，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.已知等比數(shù)列前項(xiàng)積為，公比，則（）A. B.C.當(dāng)時(shí)，最小 D.當(dāng)時(shí)，最大〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，B：由題意知，由，得，所以，得，所以，且，所以，故A錯(cuò)誤，B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，D：因?yàn)?，，所以?shù)列為遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，最小，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知，若關(guān)于x的方程恰好有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值可以是（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗當(dāng)時(shí)，，.，為增函數(shù),，為減函數(shù),且.其簡(jiǎn)圖如下，設(shè)，由圖可知當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根，因?yàn)榉匠糖『糜?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則，解得.故選：CD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則直線的傾斜角為___________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋渲?，則，則，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以．故〖答案〗為：.13.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，若，且，則____，當(dāng)取得最小值時(shí)，___.〖答案〗①②6〖解析〗由題意知，因?yàn)?，所以，故為公比為的等比?shù)列，由得，，解得，所以，則，當(dāng)取得最小值時(shí)，則為奇數(shù)，且取得最小值，所以或（舍）.故〖答案〗為：；14.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與（）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則______.〖答案〗348〖解析〗設(shè)公差為，由題意得，即，解得，解得或（舍去），故，，則，，，，，，，，，，，，故故〖答案〗為：348四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)，且.（1）求的值；（2）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程.解：（1）由，得，又，所以，解得.（2）由，得，所以，即切點(diǎn)為，又切線的斜率為，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.16.已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，由得即即，解得或．當(dāng)時(shí)，，不滿足單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，滿足單調(diào)遞增，故，所以．又，所以，所以，即數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（2）利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，即17.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求a，b的值；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．解：（1），因?yàn)楹瘮?shù)在處取到極值，所以，即，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，在處取到極值，所以，．（2）因?yàn)榇嬖冢沟贸闪?，所以，由?）知，，令，得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以．又，所以，所以．所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是．18.已知數(shù)列的首項(xiàng)且滿足．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）數(shù)列滿足，，記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由題意，得，所以，又，所以，所以，所以是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．（2）由（1），得，所以，由，得，所以，，…，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以，，所以，①，②①-②得，所以．19.給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的.“固點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“固點(diǎn)”，且該“固點(diǎn)”也是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心.根據(jù)以上信息和相關(guān)知識(shí)回答下列問(wèn)題：已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，試求的對(duì)稱中心.（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.解：（1），，，令，，，故的對(duì)稱中心為.（2），令，則，，當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在，上，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在，上，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3），，令，，，所以對(duì)稱中心為，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；；，要使得有三個(gè)解，故，，且，，是方程的根，由于對(duì)稱性，為了簡(jiǎn)化研究，只研究的情況，，根據(jù)常數(shù)項(xiàng)知：，根據(jù)對(duì)稱性知：，，且，故，即，.當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí).黑龍江省九校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將〖答案〗答在答題卡上.選擇題每小顆選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由題意可知，，.故選：D.2.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選:C3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，解得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.16 B.17 C.18 D.20〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，且，所以，則.故選:C.5.設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所以即，解得，所以，由，?故選：A6.第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日在北京召開，二十大報(bào)告提出：尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然，是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的內(nèi)在要求．必須牢固樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，站在人與自然和諧共生的高度謀劃發(fā)展．某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，計(jì)劃通過(guò)五年時(shí)間治理市區(qū)湖泊污染，并將其建造成環(huán)湖風(fēng)光帶，預(yù)計(jì)第一年投入資金81萬(wàn)元，以后每年投入資金是上一年的倍；第一年的旅游收入為20萬(wàn)元，以后每年旅游收入比上一年增加10萬(wàn)元，則這五年的投入資金總額與旅游收入總額分別為（）．A.781萬(wàn)元，60萬(wàn)元 B.525萬(wàn)元，200萬(wàn)元C.781萬(wàn)元，200萬(wàn)元 D.1122萬(wàn)元，270萬(wàn)元〖答案〗C〖解析〗由題意知這五年投入的資金構(gòu)成首項(xiàng)為81，公比為，項(xiàng)數(shù)為5的等比數(shù)列，所以這五年投入的資金總額是（萬(wàn)元）．由題意知這五年的旅游收入構(gòu)成首項(xiàng)為20，公差為10，項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列，所以這五年的旅游收入總額是（萬(wàn)元）．故選：C．7.已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，則，且定義域?yàn)?，所以可?gòu)造函數(shù)，則，所以為增函數(shù)，則，則，故B正確.故選：B.8.已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榈炔顢?shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，所以，又，所以，因此要為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)是正整數(shù)，又，則是36的大于1的約數(shù)，又36的非1的正約數(shù)有2，3，4，6，9，12，18，36，共8個(gè)，則的值有1，2，3，5，8，11，17，35，共8個(gè)，所以使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為8.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.有極小值C.有3個(gè)極值點(diǎn) D.在處取得最大值〖答案〗ABC〖解析〗由的圖象可知時(shí)，，則單調(diào)遞減，故A正確；又時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，故B正確；由的圖象可知時(shí)，有極值，所以有3個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以，則在處不能取得最大值，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.已知等比數(shù)列前項(xiàng)積為，公比，則（）A. B.C.當(dāng)時(shí)，最小 D.當(dāng)時(shí)，最大〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，B：由題意知，由，得，所以，得，所以，且，所以，故A錯(cuò)誤，B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，D：因?yàn)?，，所以?shù)列為遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，最小，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知，若關(guān)于x的方程恰好有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值可以是（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗當(dāng)時(shí)，，.，為增函數(shù),，為減函數(shù),且.其簡(jiǎn)圖如下，設(shè)，由圖可知當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根，因?yàn)榉匠糖『糜?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則，解得.故選：CD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則直線的傾斜角為___________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，其中，則，則，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以．故〖答案〗為：.13.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，若，且，則____，當(dāng)取得最小值時(shí)，___.〖答案〗①②6〖解析〗由題意知，因?yàn)?，所以，故為公比為的等比?shù)列，由得，，解得，所以，則，當(dāng)取得最小值時(shí)，則為奇數(shù)，且取得最小值，所以或（舍）.故〖答案〗為：；14.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與（）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則______.〖答案〗348〖解析〗設(shè)公差為，由題意得，即，解得，解得或（舍去），故，，則，，，，，，，，，，，，故故〖答案〗為：348四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)，且.（1）求的值；（2）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程.解：（1）由，得，又，所以，解得.（2）由，得，所以，即切點(diǎn)為，又切線的斜率為，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.16.已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，由得即即，解得或．當(dāng)時(shí)，，不滿足單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，滿足單調(diào)遞增，故，所以．又，所以，所以，即數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（2）利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，即17.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求a，b的值；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．解：（1），因?yàn)楹瘮?shù)在處取到極值，所以，即，解