2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市江陰市三校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省無錫市江陰市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每題5分，計(jì)40分）1.物體運(yùn)動的方程為，則時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A.5 B.25 C.125 D.625〖答案〗C〖解析〗物體運(yùn)動的方程為，則，代入，得時(shí)的瞬時(shí)速度為.故選：C2.某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（）A.4種 B.6種 C.7種 D.9種〖答案〗A〖解析〗買兩本，有種方案；買三本，有1種方案；因此共有方案(種)．故選：A.3.若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，定義域?yàn)?，，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.4.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以，又，故曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.故選：A.5.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得．因?yàn)?，所以．故選：C．6.有4位游客來某地旅游，若每人只能從此處甲、乙、丙三個(gè)不同景錄點(diǎn)中選擇一處游覽，則每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽的概率為A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，4為游客到甲乙丙三個(gè)不同的景點(diǎn)游覽的不同的方法，其中每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽共有中不同的方法，即可求解概率.詳析：由題意，4為游客到甲乙丙三個(gè)不同的景點(diǎn)游覽，共有中不同的方法，其中每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽共有中不同的方法，所以所求概率為，故選D.7.已知，則的大關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上遞增；當(dāng)時(shí)，，在上遞減,故.則，即；由可知，故.故選：B.8.若函數(shù)，在其定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)a的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，在存在唯一零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)時(shí)，，令，則，時(shí)，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是時(shí)，有最小值依題意，，解得，所以最小整數(shù)為故選：C二、多選題（本大題共3小題，每題6分，計(jì)18分）9.關(guān)于，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗令，則，即，故A正確；令，則，即，所以，故B錯(cuò)誤；根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式：，故C錯(cuò)誤；令，則，令，則，兩式相加可得，①兩式相減可得，②②①可得，所以，故D正確.故選：AD10.下列正確的是（）A.由數(shù)字1，2，3，4能夠組成24個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B.由數(shù)字1，2，3，4，能夠組成16個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)C.由數(shù)字1，2，3，4能夠組成64個(gè)三位密碼D.由數(shù)字1，2，3，4能夠組成28個(gè)比320大的三位數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗由數(shù)字1，2，3，4能夠組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有個(gè)，故A正確；若三個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則個(gè)位可以是2，4，則共有沒有重復(fù)數(shù)字有個(gè)，故B錯(cuò)誤；數(shù)字1，2，3，4能夠組成三位密碼有個(gè)，故C正確；若三位數(shù)比320大，則百位是4時(shí)，有個(gè)，若百位是3，則十位可以是2，3，4時(shí)，個(gè)位可以是1，2，3，4，共有個(gè)，則比320大的三位數(shù)有個(gè)，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)有極小值B.函數(shù)在處切線的斜率為4C.當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)實(shí)根D.若時(shí)，，則的最小值為2〖答案〗AD〖解析〗由題意可得：，令，解得；令，解得或；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知的極大值為，極小值為，且當(dāng)x趨近于，趨近于，當(dāng)x趨近于，趨近于，可得的圖象如下：對于選項(xiàng)A：可知極小值為，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋院瘮?shù)在處切線的斜率為，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：對于方程根的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖象可知：時(shí)，恰有三個(gè)實(shí)根，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：若時(shí)，，則，所以的最小值為2，故D正確；故選：AD.三、填空題（本大題共3小題，每題5分，計(jì)15分）12.計(jì)算：___________.（用數(shù)字作答）〖答案〗65〖解析〗因?yàn)?，所?故〖答案〗為：6513.已知隨機(jī)變量的分布列如下，則______.〖答案〗9〖解析〗，，所以.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，根據(jù)題意可作出圖象如下：若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令，，則有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，故與都有2個(gè)交點(diǎn)，或者與有1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)與都有2個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得，不滿足，舍去；當(dāng)與有1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，解得，故，解得或，舍去；故，兩個(gè)實(shí)數(shù)根的范圍為，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故〖答案〗為：．四、解答題（本大題共5小題，計(jì)77分）15.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．（1）求的〖解析〗式；（2）求在區(qū)間上的最值．解：（1）依題意可得，又當(dāng)時(shí)，取得極值，所以，即；解得；所以；（2）由（1）可知，令，可得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為.16.已知在的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求：（1）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．解：（1）的展開式的通項(xiàng)為，（，1，…，n），因?yàn)榍?項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，所以，化簡得，解得或（舍）．展開式共有9項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.（2）由（1）知，展開式的通項(xiàng)為，（，1，…，8），設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，即，解得，則或，所以展開式的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)系數(shù)最大，即和.17.“國家反詐中心”APP集合報(bào)案助手、舉報(bào)線索、風(fēng)險(xiǎn)查詢、詐騙預(yù)警、騙局曝光、身份核實(shí)等多種功能于一體，是名副其實(shí)的“反詐戰(zhàn)艦”.2021年該APP于各大官方應(yīng)用平臺正式上線，某地組織全體村民下載注冊，并組織了一場線下反電信詐騙問卷測試，隨機(jī)抽取其中100份問卷，統(tǒng)計(jì)測試得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)按照，，…，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值及這100份問卷的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）若界定問卷得分低于70分的村民“防范意識差”，不低于90分的村民“防范意識強(qiáng)”．現(xiàn)從樣本的“防范意識差”和“防范意識強(qiáng)”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人開座談會，再從這7人中隨機(jī)抽取3人，記抽取的3人中“防范意識強(qiáng)”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）由頻率分布直方圖可得，，解得．100份問卷的平均分為：（分）．（2）從樣本的“防范意識差”和“防范意識強(qiáng)”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人，則“防范意識差”的人數(shù)為，“防范意識強(qiáng)”的人數(shù)為．則的所有可能的值為0，1，2．則，，，故的分布列為012.18.6位同學(xué)報(bào)名參加2022年杭州亞運(yùn)會4個(gè)不同的項(xiàng)目（記為）的志愿者活動，每位同學(xué)恰報(bào)1個(gè)項(xiàng)目.（1）6位同學(xué)站成一排拍照，如果甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，丙丁兩位同學(xué)不相鄰，求不同的排隊(duì)方式有多少種？（2）若每個(gè)項(xiàng)目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報(bào)名方式？（3）若每個(gè)項(xiàng)目只招一名志愿者，且同學(xué)甲不參加項(xiàng)目，同學(xué)乙不參加項(xiàng)目，求一共有多少種不同錄用方式？解：（1）根據(jù)題意先把甲乙看成整體，與除了甲、乙、丙、丁之外的兩人進(jìn)行排列，再把丙丁插空進(jìn)行排列，所以共有.（2）先分為4組，則按人數(shù)可分為1，1，1，3和1，1，2，2兩種分組方式，共有種；再分到4個(gè)項(xiàng)目，即可得共有；（3）先考慮全部，則共有種排列方式，其中甲參加項(xiàng)目共有種，同學(xué)乙參加項(xiàng)目共有種；甲參加項(xiàng)目同時(shí)乙參加項(xiàng)目共有種，根據(jù)題意減去不滿足題意的情況共有種.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.解：（1），定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上遞增，上遞減；當(dāng)時(shí)，，若，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；若，即時(shí)，令，得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上遞增，上遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上遞增，上遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞增，上遞減；（2），∵函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴在上有解，∵，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，顯然在上有解；當(dāng)時(shí)，，，由韋達(dá)定理知，，所以必有一個(gè)正根，滿足條件，當(dāng)時(shí)，有，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）由題意可知，，∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴是的兩個(gè)根，則，

∴，∴要證，即證，即證，即證，即證，令，則證明，令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，即，所以原不等式成立.江蘇省無錫市江陰市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每題5分，計(jì)40分）1.物體運(yùn)動的方程為，則時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A.5 B.25 C.125 D.625〖答案〗C〖解析〗物體運(yùn)動的方程為，則，代入，得時(shí)的瞬時(shí)速度為.故選：C2.某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（）A.4種 B.6種 C.7種 D.9種〖答案〗A〖解析〗買兩本，有種方案；買三本，有1種方案；因此共有方案(種)．故選：A.3.若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，定義域?yàn)椋?，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.4.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以，又，故曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.故選：A.5.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得．因?yàn)?，所以．故選：C．6.有4位游客來某地旅游，若每人只能從此處甲、乙、丙三個(gè)不同景錄點(diǎn)中選擇一處游覽，則每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽的概率為A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，4為游客到甲乙丙三個(gè)不同的景點(diǎn)游覽的不同的方法，其中每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽共有中不同的方法，即可求解概率.詳析：由題意，4為游客到甲乙丙三個(gè)不同的景點(diǎn)游覽，共有中不同的方法，其中每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽共有中不同的方法，所以所求概率為，故選D.7.已知，則的大關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上遞增；當(dāng)時(shí)，，在上遞減,故.則，即；由可知，故.故選：B.8.若函數(shù)，在其定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)a的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，在存在唯一零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)時(shí)，，令，則，時(shí)，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是時(shí)，有最小值依題意，，解得，所以最小整數(shù)為故選：C二、多選題（本大題共3小題，每題6分，計(jì)18分）9.關(guān)于，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗令，則，即，故A正確；令，則，即，所以，故B錯(cuò)誤；根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式：，故C錯(cuò)誤；令，則，令，則，兩式相加可得，①兩式相減可得，②②①可得，所以，故D正確.故選：AD10.下列正確的是（）A.由數(shù)字1，2，3，4能夠組成24個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B.由數(shù)字1，2，3，4，能夠組成16個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)C.由數(shù)字1，2，3，4能夠組成64個(gè)三位密碼D.由數(shù)字1，2，3，4能夠組成28個(gè)比320大的三位數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗由數(shù)字1，2，3，4能夠組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有個(gè)，故A正確；若三個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則個(gè)位可以是2，4，則共有沒有重復(fù)數(shù)字有個(gè)，故B錯(cuò)誤；數(shù)字1，2，3，4能夠組成三位密碼有個(gè)，故C正確；若三位數(shù)比320大，則百位是4時(shí)，有個(gè)，若百位是3，則十位可以是2，3，4時(shí)，個(gè)位可以是1，2，3，4，共有個(gè)，則比320大的三位數(shù)有個(gè)，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)有極小值B.函數(shù)在處切線的斜率為4C.當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)實(shí)根D.若時(shí)，，則的最小值為2〖答案〗AD〖解析〗由題意可得：，令，解得；令，解得或；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知的極大值為，極小值為，且當(dāng)x趨近于，趨近于，當(dāng)x趨近于，趨近于，可得的圖象如下：對于選項(xiàng)A：可知極小值為，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以函?shù)在處切線的斜率為，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：對于方程根的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖象可知：時(shí)，恰有三個(gè)實(shí)根，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：若時(shí)，，則，所以的最小值為2，故D正確；故選：AD.三、填空題（本大題共3小題，每題5分，計(jì)15分）12.計(jì)算：___________.（用數(shù)字作答）〖答案〗65〖解析〗因?yàn)?，所?故〖答案〗為：6513.已知隨機(jī)變量的分布列如下，則______.〖答案〗9〖解析〗，，所以.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，根據(jù)題意可作出圖象如下：若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令，，則有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，故與都有2個(gè)交點(diǎn)，或者與有1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)與都有2個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得，不滿足，舍去；當(dāng)與有1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，解得，故，解得或，舍去；故，兩個(gè)實(shí)數(shù)根的范圍為，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故〖答案〗為：．四、解答題（本大題共5小題，計(jì)77分）15.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．（1）求的〖解析〗式；（2）求在區(qū)間上的最值．解：（1）依題意可得，又當(dāng)時(shí)，取得極值，所以，即；解得；所以；（2）由（1）可知，令，可得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為.16.已知在的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求：（1）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．解：（1）的展開式的通項(xiàng)為，（，1，…，n），因?yàn)榍?項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，所以，化簡得，解得或（舍）．展開式共有9項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.（2）由（1）知，展開式的通項(xiàng)為，（，1，…，8），設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，即，解得，則或，所以展開式的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)系數(shù)最大，即和.17.“國家反詐中心”APP集合報(bào)案助手、舉報(bào)線索、風(fēng)險(xiǎn)查詢、詐騙預(yù)警、騙局曝光、身份核實(shí)等多種功能于一體，是名副其實(shí)的“反詐戰(zhàn)艦”.2021年該APP于各大官方應(yīng)用平臺正式上線，某地組織全體村民下載注冊，并組織了一場線下反電信詐騙問卷測試，隨機(jī)抽取其中100份問卷，統(tǒng)計(jì)測試得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)按照，，…，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值及這100份問卷的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）若界定問卷得分低于70分的村民“防范意識差”，不低于90分的村民“防范意識強(qiáng)”．現(xiàn)從樣本的“防范意識差”和“防范意識強(qiáng)”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人開座談會，再從這7人中隨機(jī)抽取3人，記抽取的3人中“防范意識強(qiáng)”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）由頻率分布直方圖可得，，解得．100份問卷的平均分為：（分）．（2）從樣本的“防范意識差”和“防范意識強(qiáng)”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人，則“防范意識差”的人數(shù)為，“防范意識強(qiáng)”的人數(shù)為．則的所有可能的值為0，1，2．則，，，故的分布列為012.18.6位同學(xué)報(bào)名參加2022年杭州亞